正余弦定理大题(一)

π
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详解： （Ⅰ）∵ bcosC + ccosB = 2acosB，由正弦定理得：sinBcosC + sinCcosB = 2sinAcosB， 即 sin(B + C) = sinA = 2sinAcosB，于是 cosB = 2， 从而 B = ；
正余弦定理大题（一）
姓名：___________班级：___________ 1．在ΔABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且a = cosA = (1)求 C;(2)若 b = 6 + 2,求ΔABC 的周长.
c sinC 2 2
.
2．已知ΔABC 的内角分别为 A,B,C，其对应边分别是 a,b,c，且满足 bcosC + c cosB = 2acosB． （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 b = 3，求 a + 2c 的最大值.
线，求ΔABC 的面积.
6．已知ΔABC 的内切圆面积为π，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 2b − c cosA = acosC. （1）求角 A； （2）当AB·AC的值最小时，求ΔABC 的面积.
7．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 asinB − bcosC = ccosB． （1）判断△ABC 的形状； （2）若 f(x) = cos2x − cosx + ，求 f(A)的取值范围．
a c sinC sinA 6+ 2 4 π
， 再由正弦定理求出 a 和 c，
=
sinC cosA π 4
,又 sinC ≠ 0,所以 sinA = cosA，
从而 tanA = 1,因为 0 < A < π,所以 A = . 又因为 sinC = 所以 C = .
6 π 2 2
cosA = ，a > c，
2 6 4 4 2 6 4 2 1 π 1 3 1 π 1 1 3
得 sin(2A + ) = 2，从而得 A = ，由2 bcsinA = 4 3，b + c = 10，求得 b、c 的值，
6 3
π
1
π
1
根据余弦定理得 a = 2 13. 【详解】 （1）f(x) = sinx
3 2
cosx + 2 sinx + cos2 x − 2 3 1 sinxcosx + cos2 x 2 2 1 3 1 1 = sin2x + cos2x + 2 2 2 4 =
,ϕ ∈ (0, ))，
所以当 A = − ϕ时，a + 2c 的最大值是 2 7. 点睛：考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用转化为解题关键，属于 中档题. 3．(1)4;(2)a = 2 13. 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数 f x 化 为= sin(2x + ) + ，可得函数 f(x)的最大值为 ； （2）由题意 f(A) = sin(2A + ) + = ，化简
3．已知函数 f(x) = sinxcos(x − 6 ) + 2 cos2x.（1）求函数 f(x)的最大值； （2）已知ΔABC 的面积为 4 3，且角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f(A) = ，b + c = 10，求 a 的值.
2 1
π
1
4．在ΔABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 acos B − C = cosA 2 3bsinC − a . （1）求角 A； （2）若ΔABC 的周长为 8，外接圆半径为 3，求ΔABC 的面积.
2
1
(2)由(1)得 sinB = sin A + C = sin 由正弦定理得
a sinA
π 4
+
π 6
=
6+ 2 4
=
b sinB
=
c sinC
，可得 a = 2 2,c = 2.
所以ΔABC 的周长为 2 2 + 6 + 2 + 2 = 3 2 + 6 + 2. 点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用.正弦定理是解三角形的有力工具，其常 见用法有以下四种： （1）已知两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角） ； （2）已知两角与一个角的对边，求另一个角的对边； （3）证明化简过程中边角互化； （4）求三角形外接圆半径. 2．(1) B = 3. (2)2 7. 【解析】分析： （1）先根据正弦定理进行边化角，然后结合三角函数正弦的和差公式逆运 用即可； （2）先由正弦定理得出 a = 2sinA，c = sinC，然后统一角度转化为三角函数求最值 问题即可.
2 3 2 1 2 1
8．已知函数 f x = sinx·sin x +
π 6
.
（1）求 f x 的对称轴所在直线方程及其对称中心； （2）在△ ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 f
A 2
=
3 2
，a = 4，求△ ABC 周长的取值范围．
参考答案 （1）C = ； （2）3 2 + 6 + 2 1． 6 【解析】 【详解】 分析： （1）利用正弦定理，求得 tanA，即可求出 A，根据已知条件算出 sinC，再由大边对大 角，即可求出 C； （2） 易得 sinB = sin(A + C)， 根据两角和正弦公式求出 sinB = 即可得到答案. 详解：解：(1)由正弦定理得 =
3 π 1
（Ⅱ）由正弦定理得：
a sinA
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=
c sinC
=
b sinB
=
3
3 2
= 2，∴ a = 2sinA，c = sinC，
∴ a + 2c = 2sinA + 4sinC = 2sinA + 4sin(
2 7sin(A + ϕ)， （其中 tanϕ =
π 2 3 2
2π 3 π 2
− A) = 2(2sinA + 3cosA) =
5．已知函数 f x = a ⋅ b （1）求函数 （2）在ΔABC
,其中 a=(2cosx, − 3sin2x) b = (cosx,1),x ∈ R
y = f(x)的单调递减区间； 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，f A =− 1，a = 7且向量 m = (3,sinB)与向量 n = (2,sinC)共