立体几何创新题分类解析
立体几何中的创新题型分类解析
Ｊ ．
则 ／Ｐ ｘ ＡＣ 在该 正 方 体 ．
各 个 面上 的射 影 可能 是
．
— —
（ 求 ： 可 要 把
Ａ
图 ｌ
能的 图的 序号 都 填上 ）
①
解 析 ／ Ｐ ｘ ＡＣ在 正方 体某 一个 面 上 的射 影 ， 应 当是 连结 三个 顶 点 Ｐ， Ｃ在 这个 面 上 的 射 影所 得 Ａ，
的对 角线 、
③ ④
ｌ 璺５ ｌ
因为 Ｃ ∥ Ｂ Ｂ 与 Ｂ 成 ６ 。 ， 以 Ｃ Ｎ Ｅ， Ｅ Ｍ ０角 所 Ｎ
解 析 经 过 侧棱 与 高 的 截 面 是 一 个 不 等 边 的 斜三 角 形 （ Ｂ、 Ｄ 图 ） 其 上 底 面 是 底 面 正 三 角 如 Ｃ、 ， 形 的高 ， 两边 分 别为侧 棱 与斜 高 （ 棱较 长 ） 截 面 另 侧 ．
截球 得球 的 大 圆 ， 圆 与侧 面的 斜 高相 切 ， 该 与侧 棱 相
维普资讯
３ ２
《 中学 数学 杂 志》 高 中 ） ２ ０ （ ０ ２年第 ６期
立 体 几 何 中 的 创 新 题 型 分 类 解 析
湖北省襄 樊市第一 中学
纵 观近 年 来 全 国高 考 试 题 和各 省 市 高 考 模 拟 试 题 ， 体几 何 一直 是创 新改 革题 型 的 “ 验 田” 一 立 试 ， 些 构 思精 巧 ， 颖别致 ， 富思 考性 和挑 战 性 的立 体 新 极
２ ① ③④ （ 即 轴 截 面 ， 为平 行 于轴 截 面 ① ③
Ａ． Ｂ Ｃ． Ｄ
的横断 面 ， 为 与 圆 柱 侧 面 相 切 的 平 面 所 截 的 图 ④
形 ． ）
图 ４
３ 图复 原状 例 ３ 如 图 ７是正 方体 的平 面 展开 图 ， 这个 正 在 方 体 中 ， Ｂ 与Ｅ ① Ｍ Ｄ平行 ， Ｃ ② Ｎ与 Ｂ Ｅ是 异面 直线 ， ③ Ｃ 与Ｂ 成 ６ 。 ， ＤＭ 与Ｂ 垂 直 ， Ｎ Ｍ ０角 ④ Ｎ 以上 四个
2023年新高考ⅰ卷数学知识点分布
2023年新高考ⅰ卷数学知识点分布一、引言随着高考改革的深入推进，2023年新高考ⅰ卷数学试题在知识点分布上呈现出新的特点和趋势。
本文基于百度搜索结果，对2023年新高考ⅰ卷数学试题的知识点分布进行梳理和分析，旨在帮助考生和教师更好地把握高考数学命题规律，提高备考效率。
二、总体概述2023年新高考ⅰ卷数学试题在知识点分布上具有以下特点：1. 知识点覆盖面广：试题涵盖了高中数学的主要知识点，包括代数、几何、概率与统计、数论与组合等多个方面。
2. 难度适中：试题整体难度适中，既有基础题，也有一定难度的综合题和创新题。
3. 注重数学思维：试题注重考查学生的数学思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等思想方法。
三、具体知识点分布1. 代数部分代数部分是高考数学的重要组成部分，主要包括函数、方程与不等式、数列与数学归纳法等内容。
在2023年新高考ⅰ卷中，代数部分的试题占比约为40%。
具体知识点包括：（1）函数的概念与性质：如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。
（2）基本初等函数：如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
（3）方程与不等式：如一元二次方程、一元高次方程、分式方程、无理方程等；不等式的性质与解法，以及与方程的综合应用。
（4）数列与数学归纳法：如等差数列、等比数列的性质与应用，数学归纳法的证明与应用等。
2. 几何部分几何部分也是高考数学的重要考点之一，主要包括平面几何和立体几何两部分。
在2023年新高考ⅰ卷中，几何部分的试题占比约为30%。
具体知识点包括：（1）平面几何：如直线与圆的位置关系、三角形的性质与判定、四边形的性质与判定等。
（2）立体几何：如空间直线与平面的位置关系、空间几何体的性质与判定等；空间中点、线、面的位置关系及距离计算等。
（3）解析几何初步：如直线的方程、圆的方程及其应用等。
3. 概率与统计部分概率与统计部分是高考数学中的另一重要考点，主要涉及概率论和数理统计的基础知识。
2020高考全国二卷数学试题分析解析解读
2020高考全国二卷数学试题分析解析解读2020年1月，教育部发布《中国高考评价体系》，明确“一核”、“四层”、“四翼”的高考评价体系，即高考要体现“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，考查“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”四层内容考查要求，考查“基础性、综合性、应用性、创新性”的四翼要求。
2020年全国Ⅱ卷高考文理科数学试题，依托高考评价体系，充分落实了“一核”“四层”“四翼”的要求，在试题整体结构稳定的基础上，有适度创新，突出数学学科特色，突出学科素养导向，有时代特色，注重能力考查，着重考查学生的思维能力，综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力。
试题主要呈现以下特点：一、试题稳中有变，大题结构动态调整2020年的高考数学保持题型、考点、难度的相对稳定，但是为了对接新高考，以学科素养立意命题，增加了阅读量、信息量，学生明显表现出不适应，感觉难度增大。
尤其是在题的顺序上打破常规，文理科的第3、4题新颖试题过早出现，出乎学生意料，耽误了一定的答题时间，在感觉和信心上受挫。
若学生能及时调整答题策略，后面的选择填空题都很常规，多数学生都能轻松解决。
此试卷对学生和教师的提醒是，困难的试题可能会在试卷的任何地方出现，不能再坚持难题一定在后面的观念了。
全国Ⅱ卷的理科和文科试题，对主观题的结构布局及考查难度也都进行了动态调整，文理科的解答题顺序均为：17题解三角形、18题概率统计，19题圆锥曲线，20题立体几何，21题函数导数；22、23题为二选一。
其中第一道大题第17题考查解三角形的相关知识，替换了2019年的立体几何大题的位置；而立体几何大题后移至第20题，仍然考查平行、垂直关系，直线和平面所成的角及体积的计算，但灵活性加大；解析几何大题前移至第19题的位置，难度有所降低。
大题结构的调整主要考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力。
对重点内容的考查，在整体符合考试大纲的前提下，各部分内容和难度进行动态设计，这种设计有助于学生全面学习和掌握重点知识和重点内容，同时破解应试教育，指导高中教学。
2024年高考评析-新结构,新思想,新导向
新结构，新思想，新教学——2024年高考数学试题评析主要内容1.“三新”背景下的高考改革2.减量增质的新高考试题分析3.考生主观题答题的情况分析4.试题对未来数学教学的启示1.“三新”背景下的高考改革•新课标2017年修订版：内容领域，核心素养，学业质量要求，命题建议，教学评等。
（附录有多个考查核心素养的案例）•新教材“主线-主题一单元一核心内容”：预备知识、函数主线、几何与代数、概率与统计、数学建模与探究、数学文化•新高考依据《课标》、无考纲、《高考评价体系》三新新高考新教材新课标•新高考命题的演变•情境化•新题型2020年•考本质•重探究2021年•强运算•用结论2022年•回教材•导衔接2023年•2020年•情境丰富；•阅读量大；•题型较多；•难度较大。
•2021年•强调数学本质；•重视数学探究。
•2022年•运算要求较高；•多次运用结论。
•2023年•回归教材•教考衔接•演变的特点（1）打破常规，敢于尝试（2020）文理不分科，情境化试题，增多选题，结构不良问题，等。
（2）稳中求变，重视本质（2021）稳定题型，情境简化，强调探究，重视数学本质。
（3）运算繁杂，回调过猛（2022）运算技巧性强，过多二级结论，分析思想，代数思维。
（4）简单回归，思维加大（2023）基础题目增多，考查概念和原理，注重数学思维过程。
2020创新2021调整2022挑战2023思维2024再创新九省联考2024省一模•新高考命题就是要优化情境设计，增强试题开放性、灵活性，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，引导减少死记硬背和“机械刷题”现象。
•高考数学就是要发挥数学学科特点，以测试数学综合能力、发展数学核心素养为目标，通过创新试卷结构与试题形式，创新试题形式，加强情境设计，注重联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题。
•考题的方向既清晰又模糊清晰的要按照“九省联考”的模式，题量减少，难度加大；模糊的是，难度究竟有多大？特别是最后的压轴，将是怎样的“大咖”？•复习的策略随之如何改变基础题，达到怎样的基础性？中档题又有多少？如何应对摸不着边际的“压轴题”？2. 减量增质的新高考试题分析•教育部考试院三考：“考主干、考能力、考素养”三重：“重思维、重创新、重应用”三突出：考查思维过程、思维方法和创新能力•关于试题的相关数据（1）考查内容的分布表 1 2024年与2023年新高考数学I 卷试卷考查内容与分值分布年份函数与导数解析几何三角立体几何概率统计数列集合复数向量计数原理2024462223201283556 202327272022171755555101520253035404550函数与导数解析几何三角立体几何概率统计数列集合复数向量计数原理知识点内容2024年2023年•函数与导数、几何、三角、概率统计是此次考查的主干内容, 分值在111分左右.•尤其在几何方面, 解析几何和立体几何分别占22分和20分, 如果将解三角形也归入几何领域, 那么分值达到了65分, 占比接近全卷的十分之三.•与2023年高考试题相比较, 函数与导数的占比从18%提升到30.7%, 函数与导数在单项选择题、多项选择题、填空题以及简答题四种类型的题目都有所考查, 题量分别为3、2、1、1, 考查的内容包括幂函数、分段函数单调性、指对函数的概念与性质、二次函数的单调性、抽象函数的单调性、三次函数的极值与最值和单调性、切线方程、函数的奇偶性及对称性等。
高中数学必修2——立体几何平行和垂直(教案)
立体几何平行和垂直知识讲解知识点1 点、线、面一、平面的基本性质二、空间直线的位置关系1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设ba,是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线bbaa//',//'，把'a与'b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．I,,Pl P l且且三、直线与平面的位置关系llAα//l知识点2 线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭注意：⑴三垂线指AO PO PA ,,都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
知识点3 线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平面α垂直记作：α⊥l 。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
知识点4 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析
教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析2023年教育部教育考试院命制4套高考数学试卷，分别是全国甲卷(文、理科)、全国乙卷(文、理科)、新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷。
高考数学全国卷全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展;反映新时代基础教育课程理念，落实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥数学学科在人才选拔中的重要作用。
一、发挥基础学科作用助力创新人才选拔高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。
一是重点考查逻辑推理素养。
如新课标Ⅰ卷第7题，以等差数列为材料考查充要条件的推证，要求考生判别充分性和必要性，然后分别进行证明，解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证。
又如新课标Ⅱ卷第11题，其本质是根据一元二次方程根的性质判定方程系数之间的关系，题中函数经过求导后既有极大值又有极小值的性质，可以转化为一元二次方程的两个正根。
再如全国乙卷理科第21题，要求考生根据参数的性质进行分类推理讨论，考查考生思维的条理性、严谨性。
二是深入考查直观想象素养。
如全国甲卷理科第15题，要求通过想象与简单计算，确定球面与正方体棱的公共点的个数。
又如全国乙卷理科第19题，以几何体为依托，考查空间线面关系。
再如新课标Ⅱ卷第9题，以多选题的形式考查圆锥的内容，4个选项设问逐次递进，前面选项为后面选项提供条件，各选项分别考查圆锥的不同性质，互相联系，重点突出。
三是扎实考查数学运算素养。
试题要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。
如新课标Ⅰ卷第17题，以正弦定理、同角三角函数基本关系式、解三角形等数学内容，考查数学运算素养。
高中立体几何知识点总结
高中立体几何知识点总结学好立几并不难，空间想象是关键。
点线面体是一家，共筑立几百花园。
点在线面用属于，线在面内用包含。
四个公理是基础，推证演算巧周旋。
下面是为大家整理的关于高中立体几何知识点总结，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!高中立体几何知识点总结1点在线面用属于，线在面内用包含。
四个公理是基础，推证演算巧周旋。
空间之中两条线，平行相交和异面。
线线平行同方向，等角定理进空间。
判定线和面平行，面中找条平行线。
已知线与面平行，过线作面找交线。
要证面和面平行，面中找出两交线，线面平行若成立，面面平行不用看。
已知面与面平行，线面平行是必然;若与三面都相交，则得两条平行线。
判定线和面垂直，线垂面中两交线。
两线垂直同一面，相互平行共伸展。
两面垂直同一线，一面平行另一面。
要让面与面垂直，面过另面一垂线。
面面垂直成直角，线面垂直记心间。
一面四线定射影，找出斜射一垂线，线线垂直得巧证，三垂定理风采显。
空间距离和夹角，平行转化在平面，一找二证三构造，三角形中求答案。
引进向量新工具，计算证明开新篇。
空间建系求坐标，向量运算更简便。
知识创新无止境，学问思辨勇攀登。
多面体和旋转体，上述内容的延续。
扮演载体新角色，位置关系全在里。
算面积来求体积，基本公式是依据。
规则形体用公式，非规形体靠化归。
展开分割好办法，化难为易新天地。
高中立体几何知识点总结2三角函数。
注意归一公式、诱导公式的正确性数列题。
1.证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，要建系;3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系。
高考数学试题主观题分类剖析
2009年高考数学试题主观题分类剖析马兴奎 （云南省文山州砚山一中，663100）在高考数学试卷中，主观题包括计算题、证明题、应用题等。
其基本架构是：给出一定的题设(即已知条件)，然后提出一定的要求(即要达到的目标)，让考生解答。
考生解答时，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚。
纵观近几年高考命题情况，可以发现，主观题在高考卷中的考查呈现以下特点：(1)对基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合。
(2)对数学思想和方法的考查，数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在高考中，常将它们与数学知识的考查结合进行考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。
(3) 对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调探究性、综合性、应用性，突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向。
(4) 在强调综合性的同时，注重试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查。
(5)出现一些背景新颖的创新题、开放题、富有时代特色的应用题，并有越演越烈的趋势.一、三角与三角函数的综合问题【例1】已知函数.32sin sin 32)(2++-=x x x f（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数],0[)(π在区间x f y =上的图象.命题意图：三角与三角函数的综合问题主要考点是三角变换、图像、解析式、向量或三角应用题，重点是三角、向量基本知识的综合应用能力。
数形结合、函数与方程思想、化归转化的思想是解决三角函数问题时经常使用的基本思想方法。
属于基础题或中档题的层面，高考中一定要尽量拿满分。
【分析及解】（Ⅰ）)32sin(22cos 32sin 2sin )sin 21(3)(2π+=+=+-=x x x x x x f 所以，)(x f 的最小正周期ππ==22T ，最小值为2-（Ⅱ）列表：故画出函数],0[)(π在区间x f y =上的图象为评注：三角函数的训练应当立足课本，紧扣高考真题，不需要加深加宽．解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形，其解题通法是：发现差异（角度，函数，运算），寻找联系（套用、变用、活用公式，技巧，方法），合理转化（由因导果，由果探因）．其解题技巧有：常值代换：特别是用“1”的代换；项的分拆与角的配凑；化弦（切）法；降次与升次；引入辅助角：asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan b aϕ=确定．此类题目的特点是主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性、“五点法”作图，以及求三角函数的最大(最小)值等.二、概率与统计的综合问题【例2】如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到D ）. 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止. （I ）求点P 恰好返回到A 点的概率；（II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望.命题意图：概率与统计的综合问题主要考点是概率、分布列、期望，文科重点是概率，理科重点是概率、分布列、期望，考查从摸球、掷骰子、体育活动、射击及生产生活中抽象出的数学模型的能力，分类讨论的思想。
飞翔上海数学周周练四年级上
飞翔上海数学周周练四年级上飞翔上海数学周周练四年级上册旨在帮助学生们巩固和提高数学知识，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
以下为四年级上册数学周周练的主要内容提纲。
一、引言数学作为基础学科，在整个学习过程中具有举足轻重的地位。
飞翔上海数学周周练以四年级上册教材为依托，围绕课程标准，设计了一系列具有针对性、实用性和趣味性的练习题，旨在帮助学生们巩固课堂所学知识，提高数学素养。
二、练习题分类及解析1.算术题算术题主要包括加减乘除运算、简便计算方法和算术题解题技巧。
在做这类题目时，要注意运算顺序、运算定律的运用以及灵活运用简便方法。
2.几何题几何题分为平面几何和立体几何。
平面几何主要涉及面积和周长计算、角度和三角形分类以及几何图形的性质和判定。
立体几何包括立方体和球体的体积和表面积计算以及几何体之间的转换。
3.应用题应用题分为生活场景应用和数学知识应用。
生活场景应用包括购物、费用计算、时间和日期问题以及行程问题。
数学知识应用主要涉及方程和比例、逻辑推理以及数据分析和统计。
三、解题方法和技巧1.解题步骤规范化在做题时，要遵循解题步骤规范化，确保解答过程清晰、简洁。
2.善用数学公式和定理熟练掌握数学公式和定理，能够提高解题效率。
3.提高解题思维能力通过培养观察能力、逻辑思维能力和创新能力，提高解题思维能力。
四、课后巩固与拓展1.定期进行复习和总结课后要定期复习所学知识，做好知识点梳理和总结。
2.参加线上和线下的数学辅导班可以参加线上和线下的数学辅导班，以进一步提高数学水平。
3.参加数学竞赛和活动，提高数学素养积极参与数学竞赛和活动，有助于提高数学素养和培养数学兴趣。
五、结语数学学习是一项长期且充满挑战的过程。
我们要强调数学练习的重要性，鼓励学生积极参与数学学习，不断提高自己的数学水平。
2020年全国高考数学试题及解析
2020年全国高考数学试题及解析一、试题综述2020年全国高考数学试题遵循了《普通高中数学课程标准》的要求，试题结构稳定，难度适中，突出对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查。
同时，试题注重考查学生的数学核心素养和创新意识，体现了数学的应用价值和时代特色。
二、试题分析选择题选择题部分主要考查学生对基础知识的掌握情况，包括函数、导数、三角函数、数列、概率统计等知识点。
其中，有些题目设置了一定的思维难度，需要学生灵活运用所学知识进行分析和判断。
填空题填空题部分主要考查学生的计算能力和思维严密性。
题目涉及的知识点包括解析几何、立体几何、数列求和、不等式求解等。
要求学生能够准确地运用所学知识进行计算和推理。
解答题解答题部分共有六道大题，分别考查了函数与导数、三角函数与解三角形、数列与不等式、立体几何、概率统计等知识点。
这些题目不仅要求学生掌握扎实的基础知识，还需要具备较高的分析问题和解决问题的能力。
其中，最后一道压轴题难度较大，考查了学生的创新思维和综合运用能力。
三、试题特点突出基础知识考查试题注重对基础知识的考查，包括数学概念、性质、定理等。
要求学生能够熟练掌握并准确运用这些知识解决问题。
强调数学思想方法试题在考查基础知识的同时，也注重对数学思想方法的考查。
如分类讨论、数形结合、化归等思想方法在解题过程中的运用。
注重数学应用试题结合生活实际和社会热点，设置了一些具有实际背景的数学问题，体现了数学的应用价值。
如概率统计部分的题目涉及到疫情防控背景下的数据分析和预测。
创新题型设计试题在保持传统题型的基础上，进行了一些创新设计。
如填空题中出现了多空填写的题型，要求学生能够更加灵活地运用所学知识进行求解。
四、备考建议重视基础知识的学习和理解学生在备考过程中应重视基础知识的学习和理解，熟练掌握数学概念、性质、定理等基础知识，并能够准确运用这些知识解决问题。
加强数学思想方法的培养和训练学生在备考过程中应加强数学思想方法的培养和训练，熟练掌握分类讨论、数形结合、化归等数学思想方法，并能够灵活运用这些方法解决复杂问题。
六年级数学16个题型
六年级数学16个题型摘要：一、引言二、六年级数学题型分类1.算术题型2.几何题型3.代数题型4.逻辑题型5.应用题型6.数据分析题型7.数学推理题型8.空间想象题型9.数学表达题型10.数学概念题型11.数学规律题型12.数学策略题型13.数学问题解决题型14.创新思维题型15.数学竞赛题型16.综合题型三、总结与建议正文：一、引言六年级是小学阶段的最后一年，数学学科的题型丰富多样，对于学生来说，掌握这些题型有助于提高解题能力和应对各类考试。
下面我们将对六年级数学的16个题型进行详细解析，以帮助同学们更好地理解和掌握。
二、六年级数学题型分类1.算术题型：主要包括四则运算、整数和小数运算、分数运算、百分数运算等，要求同学们熟练掌握运算规则和运算定律。
2.几何题型：涉及平面几何和立体几何的知识，如直线、角、三角形、四边形、圆等图形的性质和判定，以及图形的变换和组合。
3.代数题型：包括代数式的书写、计算和应用，如代数式的加减、乘除、乘方、开方等运算。
4.逻辑题型：要求同学们具有较强的逻辑思维能力，通过观察、分析、判断、推理等方法解决问题。
5.应用题型：结合实际生活情境，运用数学知识解决问题的题型，要求同学们具备将实际问题抽象为数学问题的能力。
6.数据分析题型：涉及数据的收集、整理、分析、表达和应用，要求同学们掌握统计图表的阅读和分析方法。
7.数学推理题型：通过逻辑推理、归纳、演绎等方法解决问题的题型，锻炼同学们的思维能力。
8.空间想象题型：要求同学们具备较强的空间想象力，识别和分析几何图形及空间关系。
9.数学表达题型：要求同学们能够用数学语言表达问题和答案，熟练掌握数学符号和公式。
10.数学概念题型：考察同学们对数学概念的理解和应用，如数的概念、运算律、性质等。
11.数学规律题型：要求同学们通过观察、归纳等方法发现和应用数学规律。
12.数学策略题型：涉及解题策略和思维方法，如画图、列表、猜想、验证等。
深度解析小学数学图形与几何
深度解析小学数学图形与几何1. 引言图形与几何是小学数学中的重要组成部分，它帮助学生建立对空间和图形的直观认识，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
本文将深度解析小学数学图形与几何的相关知识，希望能为教师和学生提供有益的参考。
2. 小学数学图形与几何的主要内容2.1 平面图形平面图形是小学数学图形与几何的第一部分，主要包括以下内容：- 基本图形的认识：三角形、四边形、五边形、六边形等；- 图形的性质：边长、角度、对角线等；- 图形的分类：平行四边形、梯形、圆形等；- 图形的变换：平移、旋转、轴对称等。
2.2 立体图形立体图形是小学数学图形与几何的第二部分，主要包括以下内容：- 基本立体图形的认识：正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等；- 立体图形的性质：表面积、体积、对角线等；- 立体图形的分类：棱柱、棱锥、球体等；- 立体图形的变换：旋转、翻转等。
2.3 图形与几何问题解决图形与几何问题解决是小学数学图形与几何的第三部分，主要包括以下内容：- 平面几何问题：求面积、周长、角度等；- 立体几何问题：求体积、表面积等；- 几何图形的拼接与组合：求拼接后的图形面积、体积等。
3. 教学策略与方法3.1 图形与几何的教学策略- 直观教学：通过实物、模型、图片等直观教具，帮助学生建立对图形的直观认识；- 操作教学：让学生动手操作，培养学生的动手能力和空间想象力；- 推理教学：引导学生运用逻辑推理的方法，解决图形与几何问题。
3.2 图形与几何的教学方法- 启发式教学：引导学生主动探索、发现和总结图形的性质和规律；- 案例教学：通过分析典型实例，帮助学生理解和掌握图形的性质和运用；- 问题解决教学：设计具有挑战性的问题，培养学生解决问题的能力和创新思维。
4. 总结小学数学图形与几何是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容。
教师应根据学生的认知特点，采用有效的教学策略和方法，帮助学生深度理解和掌握图形与几何的知识，提高解决问题的能力。
2013年高考山东卷数学(文)试题评析
曲阜师 范大 学附属 中学 盛春 芳
２ ０ １ ３年高考 山东卷数学 （ 文 ）试题 ，题 目较类型较往年并没有太 必考 内容 ，考察形式也没有大变化。第 １ ９ 题 ，立体几何题考察方 向
大改变 ，试卷结构、题型、题 量察空间平行与垂直位置关系的证
２ １ 难
如第 １ １ 题是抛物线 、双曲线和导数 中切线的综合 ，计算较复杂 ， 学生容易丢分 。第 １ ２ 题巧妙地整合 了函数与方程的转化 、基本不等式 和二次函数求最值 问题。第 ２ ２ 题是解析几何与向量的综合。
３ ． 在保持相对稳定的基础上 ，进行 了适度创新 如第 ８ 题简易逻辑，往年的简易逻辑 多与三角函数、立体几何 、
一
二 、试 卷题 目特 点
１ ． 试卷立足教材 ，回归课本，注重基本知识与技能考查
选择题的第 １ 题， 复数的四则运算和模 ； 第２ 题， 集合 的交、 并、 补运算 ；第 ３ 题 ，函数 的奇偶性；第 ４ 题， 三视图还原几何体，求正 四 棱锥 的侧 面积和体积 ； 第５ 题 ，函数 的定义域 ； 第６ 题， 算法与框 图； 第７ 题， 正余弦定理解 三角形的考察都 比 较基础而常规。第 ９ 题， 函 数 图像 的判定就可以使用我们一轮复习时讲过的 “ 三步走”方法， 即“ 函数性质、特殊点、极限假设”的方法 ， 通过 函数的奇偶性判断 ， 可排除 Ｂ ， 通过特殊点位置的判断排除 Ａ ，通过极限位置假设在靠近 ０
现偏题怪题 ，整套试卷的制定 ，严格按 照 （ ２ ０ １ ３ 年普通高等学校招生
明，而且今年 的线面平行 的证明用平行四边形的线线平行和面面平行
全国统一考试大纲 （ 课程标准实验版 ） 》 和 ｛ ２ ｏ １ ３ 年普通高等学校招生 证明都 可以 ， 学生 比 较熟悉 ，比去年简单。第 ２ ０ 题，第一条件 中出现 ４ ＝ ４ ｓ ２ ， ＝ ２ ａ ｎ 往往误导学生采用 ａ ｎ 与ｓ ｎ的转化去求通项公式 ，而 全国统一考试 山东卷考试说 明》（ 以下简称 《 考试说明》） 的要求。试 Ｓ 题难度与往年相 比 基本维持在稳定水平，应该说考得比较常规 。
求二面角的八法及其证明
求二面角的八法及其证明
王金涛;柯美俭
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）（上半月）》
【年(卷),期】2024()1
【摘要】二面角在高中立体几何中扮演着重要角色,是高考的高频考点,主要考查学生的空间想象能力和计算能力.本文对求二面角已有的方法进行了系统全面的整理归纳,其中涉及三垂线法、三面角余弦定理法、三正弦定理法等八种方法,部分方法还补充了详细的证明以及对应的例题解析,其中还对向量法进行了变形,并通过公式方法给出.本文所做的工作对于提升学生空间想象能力和思维创新能力具有重要意义.
【总页数】3页(P32-34)
【作者】王金涛;柯美俭
【作者单位】湖北省石首市第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.“棱法向量法”求二面角——有棱二面角的“另类”向量解
2.求线面角及二面角大小的又一种方法——公式法——谈用公式法解高考题中的有关问题
3.换一个视角看向量法求二面角问题的新思路
4.六法求“二面角”
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稳中见变务实创新 题简义丰培能选贤——２０２２年高考数学甲卷(理科)试卷评析
㊀㊀㊀试卷评析比赛特等奖获奖论文之二:稳中见变务实创新㊀题简义丰培能选贤∗２０２２年高考数学甲卷(理科)试卷评析◉四川省双流中学㊀邓㊀明㊀赵一凡㊀曹军才１试卷分析２０２２年全国甲卷(理科)试卷落实高考改革的总体要求,贯彻德智体美劳全面发展的教育方针,聚焦核心素养,突出阅读理解㊁信息整理㊁语言表达㊁批判性思维四项关键能力的考查,体现了高考数学的科学选拔功能和全面育人导向作用．试题体现以下特点．１．１构建丰富情境,发挥育人功能１．１．１统计图表创设生活情境如第２题考查统计图表．统计图表在生产与生活中应用非常广泛,前些年是高考热点,沉寂两年之后,又出现在了高考试卷中．高考对统计图表的考查不局限于频率分布直方图㊁茎叶图,生产与生活中的折线图㊁柱形图㊁扇形图㊁雷达图在高考中都考查过．本题以社区环境建设中的 垃圾分类 为背景考查学生的数据分析能力,对数据处理与数学运算素养也作了相应的考查．１．１．２扇形弧长浸润数学文化如第８题取材于我国古代科学家沈括的杰作«梦溪笔谈»,以沈括研究的圆弧长计算方法 会圆术 为背景,以中华优秀传统文化为情境材料设置试题,让学生直观感受我国古代科学家探究问题和解决问题的过程,让学生领略中华民族的智慧和数学研究成果,进一步树立民族自信心和自豪感,培育爱国主义情感．１．１．３概率统计体现应用价值如第１９题以校园体育比赛为背景考查随机事件的概率计算㊁随机变量的概率分布列和期望．考查学生在现实情境下解决实际问题的能力,在试题的设计引导中加强体育锻炼㊁劳动教育的理念．统计概率解答题注重知识的综合应用与实际应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集㊁整理㊁分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断,进而做到由样本数据估计总体特征．１．２重视基础知识,考查关键能力１．２．１立体几何回归基础模型如第１８题,从题干来看,为常见的四棱锥模型,且底面特殊,对初中平面几何的考查是本题的关键．设问为证明两条直线垂直和求线面角的正弦值,主要考查基础知识㊁基本方法,难度不大,属于得分题．利用空间向量求空间角,运算错误是失分主要原因．１．２．２压轴小题狠抓关键方法如第１２题:已知a ＝３１３２,b ＝c o s １４,c ＝４s i n １４,比较a ,b ,c 的大小．以三角函数㊁二次函数为载体,主要考查不等式性质㊁三角函数㊁不等式的证明㊁导数法判断单调性等．考查了转化与化归方法㊁数形结合方法和运算能力,属于把关题,能够有效区分不同水平的学生．一方面,比较大小是高考热点题型,常用的比较大小的方法如作差法㊁作商法㊁单调性法㊁放缩法是学生重点要掌握的．另一方面,需要学生较强的观察能力,抓住１４这个数字非常关键,据此对三个数有效关联,构造合适的函数,通过函数单调性等来解决问题．构造函数是本题的难点．其中b 与c 大小的比较,是源于教材习题中的s i n α＜α＜t a n α０＜α＜π２æèçöø÷．具体而言,a ＝３１３１＝１－１３２＝１－１２ˑ１４æèçöø÷２＝f １４æèçöø÷,其中f (x )＝１－１２x ２;３１２０２２年１２月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀考卷评说命题考试∗基金项目:本文系四川省教育科研重点课题 分享 创生 教学的理论与实践 (课题编号:[２０１９]５１４Ｇ１６)的研究成果．Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀b＝c o s１４＝g１４æèçöø÷,其中g(x)＝c o s x;c＝４s i n１４＝s i n１４１４＝h１４æèçöø÷,其中h(x)＝s i n x x．由F(x)＝f(x)－g(x)＝１－１２x２－c o s x和G(x)＝g(x)－h(x)＝c o s x－s i n x x的单调性即可比较a,b,c的大小．以往比较大小的问题,常表现为某函数当自变量取不同值时,比较函数值的大小．例如２０２１年新高考全国Ⅱ卷第７题:已知a＝l o g５２,b＝l o g８３,c＝１２,则下列判断正确的是(㊀㊀)．A．c＜b＜a㊀㊀㊀㊀B．b＜a＜cC．a＜c＜b D．a＜b＜c本题中,由于c＝１２＝l o g５５＞l o g５２＝a,c＝１２＝l o g８２２＜l o g８３＝b,因此把分别a,c看作函数y＝l o g５x的函数值,把b,c分别看作y＝l o g８x的函数值,利用这两个对数函数的单调性即可比较大小．高考不断推陈出新,在这类问题中增加了放缩的成分,所比较的数据结构不完全一致,但可以通过放缩达到一致．例如２０２０年全国高考Ⅰ卷第１２题:若２a＋l o g２a＝４b＋２l o g４b,则(㊀㊀)．A．a＞２b B．a＜２bC．a＞b２D．a＜b２本题中,２a＋l o g２a＝２２b＋l o g２b＝２２b＋l o g２２b()－１＜２２b＋l o g２２b(),结合函数y＝２x＋l o g２x在(０,＋ɕ)上是增函数,可知a＜２b．该题仍然没有走出上述表现形式．直到２０２１年全国乙卷理科第１２题,其比较大小的理念发生了变化,添加了新的思想,即不同函数当自变量取同一值时的函数值的大小关系,这样构造函数的难度有所提升,并且函数单调性的判断难度也显著升高．例如２０２１年全国乙卷理科第１２题:设a＝２l n１．０１,b＝l n１．０２,c＝１．０４－１．则(㊀㊀)．A．a＜b＜c㊀㊀㊀㊀B．b＜c＜aC．b＜a＜c D．c＜a＜b本题中,a,b大小关系的判断仍可根据a＝２l n１．０１＝l n１．０１２(),利用y＝l n x的单调性,转化为比较１．０１２与１．０２的大小关系,就可以判断a与b的大小关系．但c与对数函数没有关系,不得不采用以下策略:设f(x)＝２l n１＋x(),h(x)＝１＋４x－１,则a＝f０．０１(),c＝h０．０１()．a与c的大小,等价于f０．０１()与h０．０１()的大小,等价于f０．０１()－h０．０１()与０的大小,构造F(x)＝f(x)－h(x)＝２l n１＋x()－１＋４x＋１后,则等价于F０．０１()的正负．自然要探究F(x)的单调性了．同理可比较b与c的大小．２０２２年全国甲卷的第１２题,明显继承了２０２１年全国乙卷的第１２题的上述思想,事实上,２０２２新高考Ⅰ卷第７题亦如此．比较大小作为高考热门题型,几乎每年都会命制．甚至同一年中好几套卷子都会命制,看似屡见不鲜的比较大小,实际上其中蕴含的方法和思想已经发生了变化,体现了高考题稳中见变,务实创新的命题风格．１．２．３关键位置 落实计算基础如第１６题:已知әA B C中,点D在边B C上,øA D B＝１２０ʎ,A D＝２,C D＝２B D．当A C A B取得最小值时,B D＝．设B D＝m,由余弦定理,得A C２A B２＝４m２－４m＋４m２＋２m＋４．函数f m()＝４m２＋４－４mm２＋４＋２m的最值探究是本题的一个难点,也是学生的一个痛点．因为较少有学生系统掌握分式函数的最值问题,没有形成方法体系,所以有不少学生依赖导数 普适性㊁通用性 的优势来探究分式函数的相关性质．杀鸡焉用宰牛刀,这类函数往往将其解析式变形为一次函数㊁二次函数㊁反比例函数㊁ 双勾 函数㊁ 飘带 函数的复合函数,利用这些基本初等函数的图象与性质即可解决．１．３突出理性思维,考查学科素养１．３．１函数导数 突出转化思想如第２１题第(２)问,已知函数f(x)＝e x x－l n x＋x－a,求证:若f(x)有两个零点x１,x２,则x１x２＜１．极值点偏移是近年高考热点,本题除了用常见的构造对称函数㊁比值换元㊁差值换元㊁对数均值不等式等手段转化待证不等式外,也考查了 函数同构 ,即复合函数的换元法．f(x)＝e x x－l n x＋x－a＝e x x＋l n e x x－a＝u＋l n u－a,其中u＝e x x;或者f(x)＝e x x－l n x＋x－a＝e x－l n x＋x－l n x()－a＝e v＋l n v－a,其中v＝x－l n x．换元转化后的函数解析式明显简化,计算量骤然减小．可谓一题多考㊁活考．转化化归的途径方式多样,可谓题简义丰,综合考查．４１命题考试考卷评说㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年１２月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１．３．２解析几何检验综合能力如第２０题(２)问,设抛物线C :y ２＝２px p ＞０()的焦点为F ,点D p ,０(),过F 的直线交C 于M ,N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时,M F ＝３．设直线MD ,N D 与C 的另一个交点分别为A ,B ,记直线MN ,A B 的倾斜角分别为α,β．当α－β取得最大值时,求直线A B 的方程．需要将α－β最大,转化为t a n α－β()最大,进而转化为t a n α－t a n β１＋t a n α t a n β最大,而t a n α与t a n β即直线MN ,A B 的斜率,回归到基本的斜率概念．再利用k MN 与k A B 的坐标表示,转化为函数问题,回归到常见的最值范围问题．这一系列转化过程综合了两角差的正切公式㊁直线倾斜角与斜率关系㊁斜率的坐标表示㊁函数的单调性与最值等知识．其中还综合了蝴蝶定理㊁米勒问题㊁配极变换等著名数学问题．表面上考查最值范围,其实暗中综合定值㊁定点,体现了考查学生综合素养的要求．另外,试题还可以推广到一般圆锥曲线中,同样题简义丰．具体而言,由F ,D 均为定点,以及抛物线的性质可知直线A B 与x 轴的交点T 也为定点,从而本题综合了定值㊁定点问题;如图１,直线X Y 垂直x 轴于点D ,交直线MN 于点X ,交直线A B 于点Y ,交抛物线于P ,Q 两点．由蝴蝶定理知X D ＝Y D ,可据此简化运算．如图２,直线MN 与A B 交于点Q ,直线P Q 是点D 的极线,从而本题综合了配极变换;由D 为定点得P Q 为定直线,从而本题综合了米勒问题．图１㊀㊀图２全国甲卷连续三年以直线和抛物线为载体考查解析几何的基础知识以及基本思想方法,且分别以阿基米德三角形㊁彭赛列闭合定理㊁蝴蝶定理和米勒问题为问题背景,不仅丰富了高考试题的文化背景,也体现了稳中见变,务实创新的命题风格．总之,２０２２年高考数学甲卷(理科)试题稳步过渡新㊁旧高考,继续推进题型和试卷结构的改革,注重对基础知识㊁基本能力的考查,对数学抽象㊁直观想象㊁逻辑推理等核心素养都有较高的要求．２反思教学,指导备考２．１查漏补缺,夯实基础高考试卷中大量的试题考查四基,因此,储备基础知识,掌握基本方法,熟练基本题型,仍是备考工作永恒不变的首要任务．从本次考卷中呈现出的全集与补集㊁扇形弧长公式㊁分式函数值域问题等,都是高中阶段最基本的数学知识,但是以往的考卷中并不多见,导致教学中对此不够重视．因此备考时,特别需要注意对基础知识查漏补缺．２．２关注热点,强化训练近年来的高考试卷,都表现出比较大小㊁极值点偏移㊁函数同构是高考的热点,它们虽然年年都考,但由于其综合性强,学生掌握起来还是很有挑战性．通过强化训练可以克服这种困难,做到有备无患,这对于考场发挥和考试信心都有积极的作用．２．３思想引领,理论提升试卷中第１２题比较大小,第２０题解析几何问题,第２１题导数问题作为试卷中的关键题目,它们呈现的共同规律就是转化化归㊁数形结合㊁函数与方程的思想和方法．数学作为解决问题的工具学科,其基本做法就是对问题进行转化,把复杂问题简单化,陌生问题熟悉化,而各种各样的数学概念㊁公式㊁定理就是实现转化的工具．因此,有必要提升学生转化化归的思想和能力,并且掌握常见的转化技巧．２．４推陈出新,开拓进取高考试卷虽然年年保持稳定性,但是总有局部创新的地方．本试卷中第１２题比较大小就一反往日套路,其比较大小的思路与模式可谓 出乎意料之外,又在情理之中 ．比较大小这类题小巧灵活,其创新的突破口更为多样．又比如第２０题解析几何问题,把蝴蝶定理和米勒问题融入之中,这也是以往的试题所未见到的．因此,有必要精研考题,寻找考法的变化点与创新点,把握考向动态,融入更多元的考试素材,命制更具有选拔功能的模拟试题,这对于培养并发掘创新型人才大有裨益．２．５素养导向,综合培育高考试卷的关键题目往往集中为几个比较综合的问题．比如该卷中第２０题解析几何问题,除通性通法外,又可以用蝴蝶定理㊁米勒问题的视角欣赏此题,此题虽然题面表现为最值问题,实际上其中蕴含着不少的定值㊁定点㊁定直线,深入研究不难发现其综合性很强．又如第２１题导数问题,除了通性通法外,又可以从极值点偏移㊁函数同构等视角欣赏并解答,综合性可见一斑．因此,培养学生的综合能力,提高学生的核心素养,是提升学生关键竞争力所必需的．Z５１２０２２年１２月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀考卷评说命题考试Copyright ©博看网. 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例析立体几何与解析几何的交汇
A . 直线 B . 双曲线 C. 抛物线 D. 椭圆
解析 : 根据角平分线性质 , 到角两边距离 相等的点在角的平分线上 , 故选 A . 【例 8】 若三棱锥 A - B CD 的侧面 A B C 内一动点 P 到底面 B CD 的距离与到棱 A B 的距离相等 , 则动点 P 的轨迹与 △A B C 组成
(2 2 + 2) + (2 2 - 2) = 4 2 .
四、 以曲线方程为基础的旋转问题 【例 6 】 由曲线 x 2 = 4 y , x 2 = - 4 y , x =
4 , x = - 4 围成的图形绕 y 轴旋转一周可得
解析 : ( 特殊法 ) 利用上题结论 , 排除 A 、
B ; ( 极端原理 ) 若三棱锥 A - B CD 的顶点接
2006 . 第 4 期 9
y = x - 1, y2 = 4 x ,
所以 S 1 = S 2 . 由祖日恒原理可知 , 这两个旋转体的体积 相等 . 故选 C . 五、 与圆锥曲线定义的交汇 【例 7】 三棱锥 A - B CD 中 , 已知 A C ⊥ 面 B CD , 侧面 A B C 内一动点 P 到底面 B CD 的距离与到棱 A B 的距离相等 , 则动点 P 的
). 轨迹是 (
得
A ( 3 + 2 2 , 2 + 2 2 ) , B ( 3 - 2 2 , 2 - 2 2) .
由
y = - ( x - 1) , y2 = 4 x ,
得
D (3 + 2 2 , - 2 - 2 2) , C(3 - 2 2 , - 2 + 2 2) .
考点3.2 空间向量与空间角的计算问题(解析版)
考点3.2 空间向量与空间角的计算问题空间向量与空间角的计算问题是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的空间角问题在高考中逐步成为热点。
通过具体的问题背景，考察空间角、空间向量等在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。
本专题以单选题，多选题，填空题及解答题等形式体现空间向量与空间角的计算问题的实际应用。
解决基于问题情境的空间向量与空间角的计算问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决实际问题。
解题要点：根据题目要求，建立立体几何模型，利用几何法或向量法进行实际问题分析求解。
基础知识a ，b ，a ，b >|＝a b a b与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平的法向量为n ，则sin θ＝|cos<a ,n >|＝a n a n的平面角为θ，平面α，β的法向量分别1n ，2n ，则|cos θ|＝|cos<1n ,2n >|＝1212n n n n空间向量与空间角的计算问题实际应用 （1） 单选题1．（2020山东4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒【答案】B【思路导引】画出截面图，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角．【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线．m 是晷面的截线，依题意可知//m CD 、AB m ⊥． 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒，故选：B ．2．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒则tan θ的最大值ABCD【答案】D【解析】作PH BC ⊥，垂足为H ，设PH x =，则CH =，由余弦定理AH =1tan tan(0)PHPAHAH xθ=∠==>，故当1x=tanθ，故选D．3．（2020·山东临沂市·高二期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同.若重力加速度g取29.8m/s，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（）A．2.25N B．2.45N C．2.5N D．2.75N【答案】B【分析】根据8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等可构造方程求得结果.【详解】由题意知：8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等，设每根绳子的拉力为T，则8cos6019.8T=⨯，解得： 2.45T=（N）.故选：B.4．（2020·济南市·山东省实验中学高二期中）空间直角坐标系O xyz-中，经过点()000,,P x y z，且法向量为(),,m A B C=的平面方程为()()()000A x xB y yC z z-+-+-=，经过点()000,,P x y z且一个方向向量为()(),,0nμυωμυω=≠的直线l的方程为000x x y y z zμυω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3570x y z-+-=，经过()0,0,0的直线l的方程为321x y z==-，则直线l与平面a 所成角的正弦值为（）AB．35CD．7【答案】B【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线l 与平面a 所成角的正弦值. 【详解】因为平面α的方程为3570x y z -+-=，故其法向量为()3,5,1n =-， 因为直线l 的方程为321x y z ==-，故其方向向量为()3,2,1m =-， 故直线l 与平面a35==，故选：B. 【点睛】关键点点睛：此题为材料题，需从给定的材料中提炼出平面的法向量和直线的方向向量的求法，这是解决此题的关键.5．（2020·全国高二课时练习）在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为0Ax By Cz D +++=（,,,A B C D R ∈，且A ，B ，C 不同时为零），点()000,,P x y z 到平面α的距离d =，则在底面边长与高都为2的正四棱锥P ABCD -中，底面中心O 到侧面PAB 的距离d 等于（ ） ABC ．2D ．5【答案】B 【分析】欲求底面中心O 到侧面的距离，先利用建立空间直角坐标系求出点A ，B ，P 的坐标，及侧面的方程，最后利用所给公式计算即可． 【详解】以底面中心O 为原点，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示：则(0,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)O A B P -，设平面PAB 的方程为0Ax By Cz D +++=，将点A ，B ，P 的坐标代入计算得0A =，B D =-，12C D =-，所以方程可化为102Dy Dz D --+=，即220y z +-=，所以d ==． 故选：B.【点睛】本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．（2） 多选题6．（2020·长沙市·湖南师大附中）如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园.设备启动后，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.今年国庆，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，以下结论正确的有（ ）A ．点A 在某个定球面上运动；B ．线段AB 在水平地面上的正投影的长度为定值；C ．直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为37D ．β与水平地面所成角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，当02πθ<<时，θδ+为定值【答案】ACD 【分析】计算出OA 判断A ，考虑AB 分别与水平面平行和垂直时在水平面上的投影可判断B ，由OA 最大时，得线面角最大，从而得其正弦值判断C ，结合直观图可判断D ． 【详解】A．∵OB β⊥，∴OB AB ⊥，∴OA ，∴点A 在以O 的球面运动，A 正确；B ．由题意知A 在平面β内绕点B 作圆周运动，当AB 垂直于水平面时，投影长度为0，当AB 平行于水平面时，投影长度为AB ，∴线段AB 在水平地面上的正投影长度范围为[0,]AB ，B 错误；C ．当AB α⊥时，直线OA 与平面α的所成的角的正弦值为最大值，此时线面角为AOB ∠，sinAB AOB OA ∠===，C 正确． D ．画出该模型的直观图，∵β与水平面所成的角为θ，且02πθ<<，∴DCE θ∠=，∵直线OB 与水平面所成的角为δ，且//FC OB ，∴FCG δ∠=， ∵OB CD ⊥，∴FC CD ⊥，∴2FCG DCE π∠+∠=，即θδ+为定值，定值为2π，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查考查以实际问题为背景的立体几何题，明确线面关系，线面角的求解是解题关键，考查空间想象能力．运算与推理能力．7．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知单位向量i ，j ，k 两两的夹角均为0,2πθθπθ⎛⎫<<≠⎪⎝⎭，若空间向量a 满足(,,)a xi y j zk x y z R =++∈，则有序实数组(,,)x y z 称为向量a 在“仿射”坐标系Oxyz （O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=，则下列命题是真命题的有（ ）. A ．已知(1,3,2)a θ=-，(4,0,2)b θ=，则0a b ⋅= B ．已知(,,0)3a x y π=，(0,0,)3b z π=，其中,,0x y z >，则当且仅当x y =时，向量a ，b 的夹角取得最小值C ．已知()111,,a x y z θ=，()222,,b x y z θ=，则()121212,,a b x x y y z z θ+=+++D ．已知(1,0,0)3OA π=，(0,1,0)3OB π=，(0,0,1)3OC π=，则三棱锥O ABC -的表面积S =【答案】BC 【分析】根据“仿射”坐标的定义逐项判断即可. 【详解】(1,3,2)(4,0,2)(32)(42)421268412cos a b i j k i k i k i j j k k i θθθ⋅=-⋅=+-⋅+=+⋅+⋅+⋅-⋅-=因为0θπ<<，且2πθ≠，所以0a b ⋅≠，故A 错误；如图所示，设OB b =，OA a =，则点A 在平面xOy 上，点B 在z 轴上，由图易知当x y =时，AOB ∠取得最小值，即向量a 与b 的夹角取得最小值，故B 正确； 根据“仿射”坐标的定义可得，()()()()()()()()111222111222121212121212,,,,,,a b x y z x y z x i y j z k x i y j z k x x i y y j z z k x x y y z z θθθ+=+=+++++=+++++=+++，故C 正确；由已知可得三棱锥O ABC -为正四面体，棱长为1，其表面积214122S =⨯⨯⨯=D 错误. 故选：BC. 【点睛】新定义概念题，考查对新概念的理解能力以及运算求解能力，基础题.8．（2020·江苏南通市·海安高级中学高一月考）平面中两条直线l 和n 相交于O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 和n 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”.则下列说法正确的（ ）A ．若p =q =0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有一个B ．若pq =0，且p +q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个C ．若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个D ．若p =q ，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线 【答案】ABC 【分析】根据“距离坐标”的定义对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】首先点到直线的距离是唯一确定的.对于A 选项，由于0p q ==，所以()0,0表示O 点，有且仅有一个，故A 选项正确. 对于B 选项，由于0pq =，且0p q +≠，当00p q =⎧⎨≠⎩或0p q ≠⎧⎨=⎩时，分别表示点()0,q 或(),0p ，有且仅有两个，故B 选项正确.对于C 选项，由于l 和n 相交与O ，所以直线l 和直线n 确定一个平面α，根据对称性可知，在平面α的上方和下方，各有两个“距离坐标”为(),p q 的点.故“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，所以C 选项正确. 对于D 选项，设l 和n 相交与O ，直线l 和直线n 相交所形成的两组对角的角平分线上的点，都满足p q =，所以点M 的轨迹不只是一条过O 点的直线，所以D 选项错误. 由于p q =，故选：ABC 【点睛】本小题主要考查空间点与直线的位置关系，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.（3） 填空题9．（2016·上海金山区·高三一模）某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→ ，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB 1→ ，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是________________． 【答案】【解析】试题分析：黑电子狗爬行的路径为111111AA A D DC C C CB BA →→→→→，黄电子狗爬行的路径为111111AB BB B C C D D D DA →→→→→，周期均为6，因此黑“电子狗”爬完2015段即爬完第5段，此时位于B 点，黄“电子狗”爬完2014段即爬完第4段，此时位于1D ,1BD 考点：1．数列周期；2．异面直线；3．空间两点间距离10．（2019·全国高三其他模拟（文））半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体．如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体（如图所示），余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为4，则这个半正多面体的外接球的半径为__________．【分析】先求出BC ，BG ，BF 的长度，在BFA ，求出正四面体的高AF ，在Rt BFO 中，求BO ；Rt BFA 中，求cos BAF ；EAO 中，由余弦定理求EO 即可. 【详解】 解：正四面体的棱长12BC =，且正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，设为O ，F 为底面BCD 的中心，G 是边CD 中点，E 是半正多面体的一个顶点23BG BC BF BG ====AF ∴===设OA OB R ==，OF AF R R =-=在Rt OBF 中，222OB BF OF =+，2248)R R =+，R =Rt ABF中，cos 123AF BAF AB ∠===EAO中，cos cos 3EAO BAF ∠=∠= 由余弦定理，(222222cos 82822OE AE AO AE AO EAO =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯=OE =【点睛】考查半正多面体的外接球的半径的求法，中档题.11．（2021·江苏宿迁市·高二期末）自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a 、b 、c 及棱间交角α、β、γ（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中2a =，1b c ==，60α=︒，90β=︒，120γ=︒，则该晶胞的对角线1AC 的长为__________.【分析】数形结合以及使用向量的方法，可得11AC AB AD AA =++，然后先平方再开方可得结果.【详解】如图所示：所以1111=+AC AC CC AB AD CC AB AD AA =++=++ 依题可知：1=21AB AA AD ==，， 11=60,90,18060A AB A AD BAD αβγ∠=∠=∠=-== 所以22221111=+2+22AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA ++⋅⋅+⋅所以21=411+221cos 60+221cos 60211cos90AC ++⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯则21=10AC ，故1=10AC12．（2020·全国高三专题练习（理））我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(3,4)A -，且法向量为(1,2)=-n 的直线方程为1(3)(2)(4)0x y ⨯++-⨯-=，即2110x y -+=．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,2,3)A ，且法向量为(1,2,1)=--m 的平面的方程为___________．【答案】220x y z +--=【解析】试题分析：根据法向量的定义，若n 为平面α的法向量，则n ⊥α，任取平面α内一点P （x ，y ，z ），则PA ⊥n ，∵PA =（1-x ，2-y ，3-z ），n =(-1，-2，1)，∴（x -1）+2（y -2）+（3-z ）=0，即x+2y -z -2=0，故答案为x+2y -z -2=0．考点：本题主要考查类比推理的概念和方法，向量的坐标运算．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．由于平面向量与空间向量的坐标运算类似，因此可以利用求平面曲线方程的办法，通过构造向量，利用向量的运算确定空间平面方程．13．（2020·福建省泉州市泉港区第一中学高二期中）如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111D C B A 是下底面最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点，则线段PQ 长度的最小值为_______．【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标PQ 的表达式，从而可得最小值.【详解】以1B 为坐标原点，1111,B C B A 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,2,3,2,1,3,2,2,3B A C D ,设11BQ B D λ=,AP AC μ=,[],0,1λμ∈. ()12,2,3B Q λλλ=,()1111,2,3B P B A AP B A AC μμμ=+=+=+-.()1112,22,33QP B P B Q μλμλλ=-=+----,()()()2222122233QP μλμλλ=+-+--+-222215191730221417217234λλμμλμ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1517λ=且12μ=时，2QP 取到最小值934，所以线段PQ . 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.（4） 解答题14．（2018·上海市南洋模范中学高三期末）已知111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，333(,,)c x y z =，定义一种运算：123231312132213321()a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⨯⋅=++---，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一个平行四边形，(2,1,4)AB =-，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =-（1）试计算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的值，并求证PA ⊥面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积，说明()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的值与四棱锥P ABCD -体积的关系，并由此猜想向量这一运算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的几何意义.【答案】（1）48，证明见解析；（2）体积为16，()3P ABCD AB AD AP V -⨯⋅=，()AB AD AP ⨯⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积．【分析】（1）根据新定义直接计算，由向量法证明线线垂直，得线面垂直；（2）计算出棱锥体积后，根据数据确定关系．【详解】（1）由题意()AB AD AP ⨯⋅221424(1)(1)0=⨯⨯+⨯⨯+-⨯-⨯202-⨯⨯4(1)1-⨯-⨯(1)24--⨯⨯＝48．122(1)140AP AB ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，1422100AP AD ⋅=-⨯+⨯+⨯=，∴,AP AB AP AD ⊥⊥，即,AP AB AP AD ⊥⊥．,AB AD 是平面ABCD 内两相交直线，∴AP ⊥平面ABCD ．（2）由题意2221,20AB AD ==，24(1)2406AB AD ⋅=⨯+-⨯+⨯=， 222sin ()ABCD S AB AD BAD AB AD AB AD =∠=-⋅== 6AP =∴111633P ABCD ABCD V S PA -==⨯． ∴()3P ABCD AB AD AP V -⨯⋅=，猜想：()AB AD AP ⨯⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题时根据新定义的规则运算即可．考查学生的创新意识，同时考查学生的归纳推理能力．。
新人教A版高中数学必修2课件：8.1 第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台……
[微思考] (1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 提示：根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行四边形． (2)棱台的上、下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？ 提示：根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．
(二)基本知能小试 1．判断正误：
(1)棱柱的底面互相平行． (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥． (3)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体． 2．下面多面体中，是棱柱的有
第八章|立体几何初步
8．1 基本立体图形
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
明确目标
发展素养
1.利用实物模型、计算机软件等 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的
观察空间图形，认识棱柱、 理解，培养直观想象、数学抽象素养．
棱锥、棱台的结构特征． 2.通过认识棱柱、棱锥、棱台的关系，及
2.能运用这些结构特征描述现实 利用它们的结构特征描述简单物体的结构，
[解] (1)平面展开图如图所示：
(2)沿长方体的一条棱剪开，使 A 和 C1 展在同一平面上， 求线段 AC1 的长即可，有如图所示的三种剪法：
①若将 C1D1 剪开，使面 AB1 与面 A1C1 共面，可求得 AC1 ＝ 42＋5＋32＝ 80＝4 5.
②若将 AD 剪开，使面 AC 与面 BC1 共面，可求得 AC1＝ 32＋5＋42＝ 90＝3 10.
(2)A 中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以 A 不 是棱台；B 不是棱台；C 中的几何体是棱锥；D 中的几何体前、后两个面平行，其他 面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以 D 是棱柱．判断正 确的是 C、D.
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立体几何创新题分类解析
新高考试题每年都是新面目考查，“新”在哪里是每位考生关注的热点，如何把握新问题的求解策略更是我们最关心的地方，下面就对这类题目进行分析。
一、新定义出现的考题
新定义问题关键是读懂新定义，把新问题转化为旧知识解决。
例1：两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．
（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线DE 与CF 所成的角；
（2）问此正子体的体积V 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围．
【解题思路】求异面直线所成角一般通过平移转化为平面角解决，或利用向量法也是求解这类问题的重要方法，可以使问题转化为代数运算解决。
第二问通过设出边长，可以列出关于体积的目标函数，最终转化为二次函数来解决。
【解析】：（1）记正方体为1111H G N M MNGH -，记棱MN 中点为P ，1MM 中点为Q 则PQ DM FC PQ //,//1，所以FC DM //1 ，
异面直线DE 与CF 所成的角即为DE M 1∠ 又因为2
211===EM DM DE ，故DE M 1∠=ο60 ， 异面直线DE 与CF 所成的角为ο60
（2）正子体体积不是定值．
设ABCD 与正方体的截面四边形为 D C B A ''''，
设x A A =')10(≤≤x 则x B A -='1，
2
1)21(2)1(2222+-=-+=x x x AD A B E D F C A B E D F C · · · · · ·
故]1,21[2
∈=AD S ABCD ]31,61[3122131231∈=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=ABCD ABCD ABCD S S h S V
【评注】本题考查了组合问题，这类问题一般涉及两类几何体组合在一起，由于组合体能考查学生更多的几何体知识，能够更好考查空间想象能力，符合大纲能力要求的“空间考查能力”，组合体已成为近几年高考命题的新热点。
需要抓住组合体之间的联系，把空间问题转化为平面问题解决是处理空间几何问题常见的方法。
二、探索性――让题目活起来
探究性试题是考查学生综合分析能力、归纳综合能力、发散性思维和创造性思维的重要题型，近几年涌现了许多这样的好题目，如：规律探究、方法探究、条件与结论探究、方案探究等等。
解决这类问题需要具备一定的知识基础、能力基础。
这类题目能够反映学生的思维差异，给学生较大的发挥空间，有利于学生的创造性学习。
例2、如图，设△ABC 内接于⊙O ，PA 垂直于⊙O 所在的平面．
（Ⅰ）请指出图中互相垂直的平面；（要求：必须列出所有的情形，但不要求证明） （Ⅱ）若要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，那么
在△ABC 中须添加一个．．
什么条件？（要求：添加你认为正确的一个条件即可， 不必考虑所有可能的情形，但必须证明你添加的条件的正确性）
（Ⅲ）设D 是PC 的中点，AC=AB=a （a 是常数）,试探究在PA 上是否存在点M,使MD+MB 最小？若存在，试确定点M 的位置，若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）图中互相垂直的平面有：
平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面ABC .
（Ⅱ）要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，在△ABC 中须添加：AB BC ⊥
(或添加90ABC ∠=o
,或AC 是圆O 的直径，或AC 过圆心O 等)
证明： ∵PA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC PA ⊥，
又∵AB BC ⊥，PA AB A =I ，∴BC ⊥平面PAB ，又BC ⊂平面PBC ，
∴平面PBC ⊥平面PAB ，可见以上添加的条件正确。
(或在△ABC 中添加：AC BC ⊥ 或90ACB ∠=o ,或AB 是圆O 的直径，或AB 过圆A
B E
D F C
A B E D F C · · · · · ·
心O 等，可得平面PBC ⊥平面PAC ．或在△ABC 中添加：AC AB ⊥ 或90CAB ∠=o ,或BC 是圆O 的直径，或BC 过圆心O 等，可得平面PAB ⊥平面PAC ．证明略）
E M D B C A P （Ⅲ）将平面PAB 绕PA 沿逆时针方向旋转到与平面
PAC 在同一平面上如右图
∵,PA AC PA AB ⊥⊥ ∴C 、A 、B 三点在同一直线上
连结DB 交PA 于点M ，则点M 就是所求的点，
过点D 作DE∥BC 交PA 于E ，∵D 是PC 的中点∴E 为PA 中点
∵AM AB ME DE =且AC=AB ∴2AM ME = ∴2133
AM AE AP == 即点M 为AP 方向上AP 的第一个三等分点
点评：本题命题巧妙，是以教材中的一道题目的素材经过加工而成，考查了面面垂直的判断定理，考查了转化思想（空间转化为平面；线线、线面、面面垂直之间的转化），整个解题过程都充满开放性，探索性，题目难度又不很大，是一道难得的好题。
三、交汇考查体现知识之间的联系
交汇问题首先明确考查哪些知识点，并且找到相应知识点的求解思路，用哪些知识把它们联系起来，这样才能够找到最佳解题思路。
例3：如图，三棱锥P —ABC 的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM=x ，PN=2CM ，则下面四个图象中 大致描绘了三棱锥N —AMC 的体积V 与x 变化关系（x ∈])3,0(
解析：=
-AMC N V ）－（▲x 2830sin 2
131310⨯⨯⨯=⨯CM AC NO S AMC ＝2)2(21212x 283413122+--=-=⨯⨯⨯⨯x x x x ）－（
由解析式可知应该选择A
点评：解决本题的关键是列出目标函数的解析式，本题综合考查了锥体的体积、二次函数、面积公式等，考查了数形结合思想，符合高考要求的多考一点想，少考一点计算的意图。
这类题目是高考命题的方向，应该引起我们的关注。