立体几何创新题分类解析

立体几何创新题分类解析

新高考试题每年都是新面目考查，“新”在哪里是每位考生关注的热点，如何把握新问题的求解策略更是我们最关心的地方，下面就对这类题目进行分析。

一、新定义出现的考题

新定义问题关键是读懂新定义，把新问题转化为旧知识解决。

例1：两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．

（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线DE 与CF 所成的角；

（2）问此正子体的体积V 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围．

【解题思路】求异面直线所成角一般通过平移转化为平面角解决，或利用向量法也是求解这类问题的重要方法，可以使问题转化为代数运算解决。第二问通过设出边长，可以列出关于体积的目标函数，最终转化为二次函数来解决。

【解析】：（1）记正方体为1111H G N M MNGH -，记棱MN 中点为P ，1MM 中点为Q 则PQ DM FC PQ //,//1，所以FC DM //1 ，

异面直线DE 与CF 所成的角即为DE M 1∠ 又因为2

211===EM DM DE ，故DE M 1∠=ο60 ， 异面直线DE 与CF 所成的角为ο60

（2）正子体体积不是定值．

设ABCD 与正方体的截面四边形为 D C B A ''''，

设x A A =')10(≤≤x 则x B A -='1，

2

1)21(2)1(2222+-=-+=x x x AD A B E D F C A B E D F C · · · · · ·

故]1,21[2

∈=AD S ABCD ]31,61[3122131231∈=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=ABCD ABCD ABCD S S h S V

【评注】本题考查了组合问题，这类问题一般涉及两类几何体组合在一起，由于组合体能考查学生更多的几何体知识，能够更好考查空间想象能力，符合大纲能力要求的“空间考查能力”，组合体已成为近几年高考命题的新热点。需要抓住组合体之间的联系，把空间问题转化为平面问题解决是处理空间几何问题常见的方法。

二、探索性――让题目活起来

探究性试题是考查学生综合分析能力、归纳综合能力、发散性思维和创造性思维的重要题型，近几年涌现了许多这样的好题目，如：规律探究、方法探究、条件与结论探究、方案探究等等。解决这类问题需要具备一定的知识基础、能力基础。这类题目能够反映学生的思维差异，给学生较大的发挥空间，有利于学生的创造性学习。

例2、如图，设△ABC 内接于⊙O ，PA 垂直于⊙O 所在的平面．

（Ⅰ）请指出图中互相垂直的平面；（要求：必须列出所有的情形，但不要求证明） （Ⅱ）若要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，那么

在△ABC 中须添加一个．．

什么条件？（要求：添加你认为正确的一个条件即可， 不必考虑所有可能的情形，但必须证明你添加的条件的正确性）

（Ⅲ）设D 是PC 的中点，AC=AB=a （a 是常数）,试探究在PA 上是否存在点M,使MD+MB 最小？若存在，试确定点M 的位置，若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）图中互相垂直的平面有：

平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面ABC .

（Ⅱ）要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，在△ABC 中须添加：AB BC ⊥

(或添加90ABC ∠=o

,或AC 是圆O 的直径，或AC 过圆心O 等)

证明： ∵PA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC PA ⊥，

又∵AB BC ⊥，PA AB A =I ，∴BC ⊥平面PAB ，又BC ⊂平面PBC ，

∴平面PBC ⊥平面PAB ，可见以上添加的条件正确。

(或在△ABC 中添加：AC BC ⊥ 或90ACB ∠=o ,或AB 是圆O 的直径，或AB 过圆A

B E

D F C

A B E D F C · · · · · ·

心O 等，可得平面PBC ⊥平面PAC ．或在△ABC 中添加：AC AB ⊥ 或90CAB ∠=o ,或BC 是圆O 的直径，或BC 过圆心O 等，可得平面PAB ⊥平面PAC ．证明略）

E M D B C A P （Ⅲ）将平面PAB 绕PA 沿逆时针方向旋转到与平面

PAC 在同一平面上如右图

∵,PA AC PA AB ⊥⊥ ∴C 、A 、B 三点在同一直线上

连结DB 交PA 于点M ，则点M 就是所求的点，

过点D 作DE∥BC 交PA 于E ，∵D 是PC 的中点∴E 为PA 中点

∵AM AB ME DE =且AC=AB ∴2AM ME = ∴2133

AM AE AP == 即点M 为AP 方向上AP 的第一个三等分点

点评：本题命题巧妙，是以教材中的一道题目的素材经过加工而成，考查了面面垂直的判断定理，考查了转化思想（空间转化为平面；线线、线面、面面垂直之间的转化），整个解题过程都充满开放性，探索性，题目难度又不很大，是一道难得的好题。

三、交汇考查体现知识之间的联系

交汇问题首先明确考查哪些知识点，并且找到相应知识点的求解思路，用哪些知识把它们联系起来，这样才能够找到最佳解题思路。

例3：如图，三棱锥P —ABC 的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM=x ，PN=2CM ，则下面四个图象中 大致描绘了三棱锥N —AMC 的体积V 与x 变化关系（x ∈])3,0(

解析：=

-AMC N V ）－（▲x 2830sin 2

131310⨯⨯⨯=⨯CM AC NO S AMC ＝2)2(21212x 283413122+--=-=⨯⨯⨯⨯x x x x ）－（