第一部分专题五 微中微 解析几何中的常用转化技巧19张ppt-2021届高三数学二轮专题复习课件
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两点的距离公式
两点的距离公式
微中微 解析几何中的常用转化技巧
(3)等腰三角形条件的转化 几何性质 ①两边相等
代数实现 两点的距离公式
②两角相等
Байду номын сангаас
底边水平或竖直时，两腰斜 率相反
③三线合一(垂直且 垂直：斜率或向量
平分)
平分：中点坐标公式
(4)菱形条件的转化
几何性质 ①对边平行 ②对边相等
③对角线互相 垂直平分
(1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在圆心在原点的定圆与直线 MN 总相切？ 若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由． 分析：第(1)问较为容易，解答本题的第(2)问时，应 用“肯定顺推法”，即首先假设存在圆心在原点的定圆与 直线 MN 总相切，然后转化为代数式子进行代数推理，
微中微 解析几何中的常用转化技巧
其难点是把两个几何条件“过坐标原点 O 作两条互相垂直的射 线与椭圆 C 分别相交于 M，N 两点”和“存在圆心在原点的定 圆与直线 MN 总相切”转化为代数式子，根据垂直的性质可得： OM⊥ON⇒O→M·O→N＝0⇒x1x2＋y1y2＝0；根据直线与圆位置关 系的性质可得 O 到直线 MN 的距离为 d＝ k|m2＋| 1＝r.
微中微 解析几何中的常用转化技巧
所
以
(k2
＋
4m2－12 1)·3＋4k2
－
8k2m2 3＋4k2
＋
m2
＝
0
，
即
7m2 ＝
12(k2＋1)．
所以 O 到直线 MN 的距离为 d＝ k|m2＋| 1＝ 172＝
2 721， 故存在定圆 x2＋y2＝172与直线 MN 总相切．
微中微 解析几何中的常用转化技巧
微中微 解析几何中的常用转化技巧
分析：本题中几何条件的转化： 第(2)问，由于三角形△PAF 与△PMF 有共同的定点 F， 且 A，P，M 三点在同一条直线上，所以△PAF 与△PMF 的面积之比可转化为线段 PA 与线段 PM 的长度之比，再转 化为向量的共线问题，进而转化为相关点的坐标之间的关 系． 第(3)问中，有两个关键的几何条件，一是“P，F，Q 三点共线”，需要转化为斜率相等或向量共线，进而转化为 坐标间的关系；二是“∠MFR＝∠FNR”，结合图形可知把 角相等转化为两个角的正切值相等进行计算并推证．
(6)角条件的转化
几何性质
代数实现
①锐角，直角，钝角
角的余弦(向量数量积)的 符号
②倍角，半角，平分角 角平分线性质，定理
③等角(相等或相似) 比例线段或斜率
微中微 解析几何中的常用转化技巧
已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)过点1，32，且 其离心率为12，过坐标原点 O 作两条互相垂直的射线与椭 圆 C 分别相交于 M，N 两点．
微中微 解析几何中的常用转化技巧
(1)解：由题意得cac＝＝112，，解得ac＝＝12.，因为 a2－b2＝ c2，所以 b2＝3.
所以椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
微中微 解析几何中的常用转化技巧
(2)解：因为△PAF 与△PMF 的面积之比为15，所以|AP|＝ 1 5|PM|.
所以A→P＝16A→M.设 M(4，m)(m≠0)，P(x0，y0)，则(x0＋2， y0)＝16(6，m)，
已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点为 F(1，0)，离心率为12.A 为椭圆 C 的左顶点，P，Q 为椭圆 C 上异于 A 的两个动点，直线 AP，AQ 与直线 l：x＝4 分别交于 M，N 两点．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若△PAF 与△PMF 的面积之比为15，求 M 的坐标； (3)设直线 l 与 x 轴交于点 R，若 P，F，Q 三点共线， 求证：∠MFR＝∠FNR.
专题五 解析几何
微中微 解析几何中的常用转化技巧
解析几何就是利用代数方法来研究几何问题，即研 究的过程是：几何问题→代数问题→代数结论→几何结 论，所以它的两大任务是：
1．把几何问题转化为代数问题． 2．研究代数问题，得出代数结论． 其中把几何问题转化为代数问题是解题的起始环 节，是最为关键的一个步骤，下面是最基本的几种转化 方法：
微中微 解析几何中的常用转化技巧
y＝kx＋m， 由x42＋y32＝1， 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝－3＋8k4mk2，x1x2＝ 4m2－12 3＋4k2 . 因为 OM⊥ON，所以 x1x2＋y1y2＝0， 所以 x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋ m2＝0.
解：(1)椭圆 C 经过点1，32，所以a12＋49b2＝1，又因 为ac＝12，解之得 a2＝4，b2＝3.
微中微 解析几何中的常用转化技巧
所以椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1. (2)当直线 MN 的斜率不存在时，由对称性，设 M(x0， x0)，N(x0，－x0)． 因为 M，N 在椭圆 C 上，所以x420＋x320＝1，所以 x20＝172. 所以 O 到直线 MN 的距离为 d＝|x0|＝2 721，所以 x2＋ y2＝172. 当直线 MN 的斜率存在时，设 MN 的方程为 y＝kx＋m，
代数实现 斜率相等，或向量平行 长度相等，横(纵)坐标差相等 垂直：斜率或向量 平分：中点坐标公式、中点重合
微中微 解析几何中的常用转化技巧
(5)圆条件的转化
几何性质 ①点在圆上 ②点在圆外 ③点在圆内
代数实现 点与直径端点向量数量积为零 点与直径端点向量数量积为正数 点与直径端点向量数量积为负数
解得 x0＝－1，y0＝m6 .将其代入x42＋y32＝1，解得 m＝±9. 所以 M 的坐标为(4，9)或(4，－9)．
微中微 解析几何中的常用转化技巧
(3)证明：设 M(4，m)，N(4，n)，P(x0，y0)， 若 m＝0，则 P 为椭圆 C 的右顶点，由 P，F，Q 三点共 线知，则 Q 为椭圆 C 的左顶点，不符合题意．所以 m≠0. 同理 n≠0.直线 AM 的方程为 y＝m6 (x＋2)． 由xy4＝2＋m6y3（2＝x1＋，2），消去 y，整理得(27＋m2)x2＋4m2x＋ (4m2－108)＝0.
微中微 解析几何中的常用转化技巧
(1)平行四边形条件的转化
几何性质
代数实现
①对边平行
斜率相等，或向量平行
②对边相等
长度相等，横(纵)坐标差相等
③对角线互相平分
中点重合
(2)直角三角形条件的转化 几何性质
①两边垂直
②勾股定理 ③斜边中线性质(中线等 于斜边一半)
代数实现 斜率乘积为－1或向量 数量积为0
两点的距离公式
微中微 解析几何中的常用转化技巧
(3)等腰三角形条件的转化 几何性质 ①两边相等
代数实现 两点的距离公式
②两角相等
Байду номын сангаас
底边水平或竖直时，两腰斜 率相反
③三线合一(垂直且 垂直：斜率或向量
平分)
平分：中点坐标公式
(4)菱形条件的转化
几何性质 ①对边平行 ②对边相等
③对角线互相 垂直平分
(1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在圆心在原点的定圆与直线 MN 总相切？ 若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由． 分析：第(1)问较为容易，解答本题的第(2)问时，应 用“肯定顺推法”，即首先假设存在圆心在原点的定圆与 直线 MN 总相切，然后转化为代数式子进行代数推理，
微中微 解析几何中的常用转化技巧
其难点是把两个几何条件“过坐标原点 O 作两条互相垂直的射 线与椭圆 C 分别相交于 M，N 两点”和“存在圆心在原点的定 圆与直线 MN 总相切”转化为代数式子，根据垂直的性质可得： OM⊥ON⇒O→M·O→N＝0⇒x1x2＋y1y2＝0；根据直线与圆位置关 系的性质可得 O 到直线 MN 的距离为 d＝ k|m2＋| 1＝r.
微中微 解析几何中的常用转化技巧
所
以
(k2
＋
4m2－12 1)·3＋4k2
－
8k2m2 3＋4k2
＋
m2
＝
0
，
即
7m2 ＝
12(k2＋1)．
所以 O 到直线 MN 的距离为 d＝ k|m2＋| 1＝ 172＝
2 721， 故存在定圆 x2＋y2＝172与直线 MN 总相切．
微中微 解析几何中的常用转化技巧
微中微 解析几何中的常用转化技巧
分析：本题中几何条件的转化： 第(2)问，由于三角形△PAF 与△PMF 有共同的定点 F， 且 A，P，M 三点在同一条直线上，所以△PAF 与△PMF 的面积之比可转化为线段 PA 与线段 PM 的长度之比，再转 化为向量的共线问题，进而转化为相关点的坐标之间的关 系． 第(3)问中，有两个关键的几何条件，一是“P，F，Q 三点共线”，需要转化为斜率相等或向量共线，进而转化为 坐标间的关系；二是“∠MFR＝∠FNR”，结合图形可知把 角相等转化为两个角的正切值相等进行计算并推证．
(6)角条件的转化
几何性质
代数实现
①锐角，直角，钝角
角的余弦(向量数量积)的 符号
②倍角，半角，平分角 角平分线性质，定理
③等角(相等或相似) 比例线段或斜率
微中微 解析几何中的常用转化技巧
已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)过点1，32，且 其离心率为12，过坐标原点 O 作两条互相垂直的射线与椭 圆 C 分别相交于 M，N 两点．
微中微 解析几何中的常用转化技巧
(1)解：由题意得cac＝＝112，，解得ac＝＝12.，因为 a2－b2＝ c2，所以 b2＝3.
所以椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
微中微 解析几何中的常用转化技巧
(2)解：因为△PAF 与△PMF 的面积之比为15，所以|AP|＝ 1 5|PM|.
所以A→P＝16A→M.设 M(4，m)(m≠0)，P(x0，y0)，则(x0＋2， y0)＝16(6，m)，
已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点为 F(1，0)，离心率为12.A 为椭圆 C 的左顶点，P，Q 为椭圆 C 上异于 A 的两个动点，直线 AP，AQ 与直线 l：x＝4 分别交于 M，N 两点．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若△PAF 与△PMF 的面积之比为15，求 M 的坐标； (3)设直线 l 与 x 轴交于点 R，若 P，F，Q 三点共线， 求证：∠MFR＝∠FNR.
专题五 解析几何
微中微 解析几何中的常用转化技巧
解析几何就是利用代数方法来研究几何问题，即研 究的过程是：几何问题→代数问题→代数结论→几何结 论，所以它的两大任务是：
1．把几何问题转化为代数问题． 2．研究代数问题，得出代数结论． 其中把几何问题转化为代数问题是解题的起始环 节，是最为关键的一个步骤，下面是最基本的几种转化 方法：
微中微 解析几何中的常用转化技巧
y＝kx＋m， 由x42＋y32＝1， 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝－3＋8k4mk2，x1x2＝ 4m2－12 3＋4k2 . 因为 OM⊥ON，所以 x1x2＋y1y2＝0， 所以 x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋ m2＝0.
解：(1)椭圆 C 经过点1，32，所以a12＋49b2＝1，又因 为ac＝12，解之得 a2＝4，b2＝3.
微中微 解析几何中的常用转化技巧
所以椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1. (2)当直线 MN 的斜率不存在时，由对称性，设 M(x0， x0)，N(x0，－x0)． 因为 M，N 在椭圆 C 上，所以x420＋x320＝1，所以 x20＝172. 所以 O 到直线 MN 的距离为 d＝|x0|＝2 721，所以 x2＋ y2＝172. 当直线 MN 的斜率存在时，设 MN 的方程为 y＝kx＋m，
代数实现 斜率相等，或向量平行 长度相等，横(纵)坐标差相等 垂直：斜率或向量 平分：中点坐标公式、中点重合
微中微 解析几何中的常用转化技巧
(5)圆条件的转化
几何性质 ①点在圆上 ②点在圆外 ③点在圆内
代数实现 点与直径端点向量数量积为零 点与直径端点向量数量积为正数 点与直径端点向量数量积为负数
解得 x0＝－1，y0＝m6 .将其代入x42＋y32＝1，解得 m＝±9. 所以 M 的坐标为(4，9)或(4，－9)．
微中微 解析几何中的常用转化技巧
(3)证明：设 M(4，m)，N(4，n)，P(x0，y0)， 若 m＝0，则 P 为椭圆 C 的右顶点，由 P，F，Q 三点共 线知，则 Q 为椭圆 C 的左顶点，不符合题意．所以 m≠0. 同理 n≠0.直线 AM 的方程为 y＝m6 (x＋2)． 由xy4＝2＋m6y3（2＝x1＋，2），消去 y，整理得(27＋m2)x2＋4m2x＋ (4m2－108)＝0.
微中微 解析几何中的常用转化技巧
(1)平行四边形条件的转化
几何性质
代数实现
①对边平行
斜率相等，或向量平行
②对边相等
长度相等，横(纵)坐标差相等
③对角线互相平分
中点重合
(2)直角三角形条件的转化 几何性质
①两边垂直
②勾股定理 ③斜边中线性质(中线等 于斜边一半)
代数实现 斜率乘积为－1或向量 数量积为0