人教版数学高一-人教A必修三 3.3几何概型重点题型解析

几何概型重点题型解析

山东省枣庄市第二中学（277400） 张同军

一、几何概型的基本特性

几何概型与古典概型区别之处就是试验的可能结果不是有限个，它的特点是试验的基本事件数是无限多个，每一个基本事件发生的可能性是等同的，且在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。几何概型中，事件A 的概率计算公式是：

积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P = 与古典概率一样，几何概率也具有非负性（对任意事件A ，有0≤P （A ）≤1）、规范性（必然事件概率为1，不可能事件概率为0）和有限可加性（当事件A 1、A 2 、…、A n 互斥时，P （A 1+A 2 +…+A n ）= P （A 1）+P （A 2）+…+P （A n ）。另外几何概率还具有完全可加性，即当事件A 1、A 2 、A 3 、……互斥时，则∑∑∞=∞

==11i i i

i A P A P ）（）（. 值得注意的是：如果随机事件所在区域是一个单点，因其长度、面积、体积均为0，所以其出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则其出现的概率为1，但它不是必然事件。

二、几何概型的应用

2.1 与(时间)长度有关的几何概型

例1．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min 长的磁带上，从开始30s 处起，有l0s 长的一段内容含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？

分析:包含两个间谋谈话录音的部分在30s 到40s 之间，当按错健的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错健的时刻在0到40s 之间时全部被擦掉，即在Os 到40s 之间，也即Omin 到3

2min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而Omin 到30min 之间的时间段内任一时刻按错健的可能性是相等的，所以按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．

解析: 设事件A"按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”，事件A 发生就是在Omin 到3

2min 时间段内按错键，所以

点评:此题有两个难点:一是等可能的判断;二是事件A 对应的区域是Omin 到32min 的时间段,而不是21min 到3

2min 的时间段. 2.2 与面积有关的几何概型

例2．在集合(){}4y 0,5x 0y ,x ≤≤≤≤且 内任取1个元素，能使代数式

012

193y 4x ≥-+的概率是多少？ 解：如图，集合(){}4y 0,5x 0y ,x ≤≤≤≤且为矩形内（包括边界） 的点的集合，集合{（x,y ）|0121934≥-+y x }表示坐标平面内直 线0121934=-+y x 上方（包括直线）所有点的集合，

所以所求概率为.10

3543421=⨯⨯⨯=矩形阴影

S S 例3.在半径为r 的圆内任掷一质点，求质点落入次圆内接正方形内的概率。

解析：设“质点落入次圆内接正方形内”为事件A 。在次试验中，质点落在此圆内任一点都是一个基本事件，所以基本事件的总数是无限的，但可以用圆的面积表示，

即S=лr 2，构成的A 基本事件的数可以用圆的内接正方形的面积表示，即 S A =2r 2 . 由几何概型概率计算公式有P （A ）=π

π2222==r r S S A . 2.3 与体积有关的几何概型

例4.在1L 高产下麦种子里中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随即取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？

解：取出10mL 麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A ，则P （A ）=.100

1100010==所有种子的体积取出种子的体积 2.4 其他类型的几何概型

例5.已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为 .

解：由于列车每10min 一班,在车站停1min,所以每两次班车的间隔时间再加上在站台的停车时间共计11min ，而乘客到达站台立即乘上车所需的最多时间为1min ，故乘客到达站台立即乘上车的概率为.11

1

2.5 创新应用型几何概型

例6.（会面问题）热恋中的甲、乙两人约定在7时到8时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去。求两人能会面的概率。 012193y 4x =-+ 5 4 O x y

例2题图

解析：以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充

要条件是：

|x-y|≤15，在平面上建立直角坐标系如图，则（x，y）的所有可能结

果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示。

这是一个几何概率问题，由等可能性知两人能会面的概率是

P（A）=

16

7

60

45

60

2

2

2

=

-

=

S

S

A

几何概型中有无限多个试验结果，只要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事

件的概率计算公式，问题是不难解决的。几何概型中的三种基本度量为长度、面积和

体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化。

例4.甲乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有4班公

共汽车，它的开车时刻分别为1:15，1:30，1:45，2:00，如果他们约定：（1）见车就乘；

（2）最多等一辆车．求甲、乙同乘一车的概率．假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不

牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的．、

点拨: 该题属于几何概型，可用坐标轴法，在坐标轴中用区域面积的比表示甲、乙两人

乘同一车的概率．

解析:设x，y分别表示甲乙两人到达的时刻，则样本空间Ω为1≤x≤2,1≤y≤2,满足

这些条件的图形为图〔甲）中大正方形，其面积SΩ=(2-1)2．

(1)设“甲、乙见车就乘，同乘一车”为事件A，则事件A发生的情形必须满足甲乙

两人在同一时间段（1:00~1:15或1:15~1:30或1:30~1:45或1:45~2:00)等车，则满足事件A

的图形如图（甲）阴影部分，其面积4×2)

4

1

(=

4

1

，代入公式得P(A)=0.25.

(2)设甲、乙最多等一辆车，同乘一车的事件为B,这又分三种情况：①见车就乘的情况

（已在(1)中求出）；②甲先到达等一辆车，与乙同乘一车（如图（乙））；③乙先到达等

一辆车，与甲同乘一车（这类似于②）．

在②中，必须满足如果甲在1:00~1:15到达，乙就在1:15~1:30到达，如果甲在1:15~1:30

到达，乙就在1:30~1:45到达，如果甲在1:30~1:45到达，乙就在1:45~2:00到达，如图乙阴

影部分面积3×

16

1

.

综上，代入公式

8

5

2

1

16

1

3

4

1

)

(=

⨯

⨯

+

=

B

P

解后反思:求解几何概率问题的步骤如下：第一步，把样本空间和所求概率的事件

用关系式表示出来，其中又分两类:(1)样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的几

何区域题目中已给出；(2）样本空间所求事件所对应的几何区域没有直接给出，找出它

们成为解这类几何概率题的关键．具体步骤：①根据题设引入适当变量；②利用所引

进的变量，把题设中的有关条件转换成变量所满足的代数条件；③第一步根据所得到

的代数条件找出相应的几何区域；第二步，在坐标系中把几何图形画出来；第三步，

O

x

y

60

60

15

15

例6题图