浅谈分形科学及其哲学意义
分形原理及其应用
分形原理及其应用分形是一种具有自相似性的几何图形，它可以在不同的尺度上重复出现相似的形态。
分形原理在自然界和科学领域中都有着广泛的应用，对于理解复杂系统和解决实际问题具有重要意义。
首先，分形原理在自然界中有着丰富的表现。
例如，树叶的脉络、云朵的形状、山脉的轮廓等都可以用分形来描述。
这些自然界中的分形结构展现了一种美妙的规律性，而这种规律性也被广泛运用在艺术创作和设计中。
艺术家们可以通过分形原理来创作出富有美感和动感的作品，设计师们也可以借鉴分形原理来设计出更加优美和高效的产品。
其次，分形原理在科学领域中也有着重要的应用价值。
在物理学中，分形可以用来描述复杂的物理现象，如分形几何可以用来描述海岸线的形态、分形维数可以用来描述复杂流体的运动规律等。
在生物学领域，分形可以用来描述生物体的形态结构和生长规律，对于研究生物体的形态和生长过程具有重要意义。
在经济学和金融学中，分形可以用来描述市场的波动规律，对于预测市场的走势和制定投资策略具有一定的指导意义。
此外，分形原理还在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在图像压缩和信号处理中，分形压缩算法可以有效地减小数据量，提高数据传输和存储的效率。
在网络设计和城市规划中，分形原理可以用来设计出更加高效和合理的网络结构和城市布局。
在材料科学和制造工艺中，分形原理也可以用来设计出更加坚固和轻量的材料结构，提高材料的性能和使用寿命。
总之，分形原理是一种具有重要应用价值的科学原理，它不仅可以帮助我们更好地理解自然界和复杂系统，还可以为我们解决实际问题提供重要的思路和方法。
随着科学技术的不断发展，相信分形原理的应用领域将会更加广泛，为人类社会的发展和进步带来更多的惊喜和帮助。
分形理论及其应用
X 1 ： ( x1，x2，，xm )
X X
2 3
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3，，
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1
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x5，，
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3
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把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距空间共生成
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有 多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离 小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
•分形理论及其应用
Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其
质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行
同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2
质量分别为 P12 ，P1 P2 ，右两段的长度分别为 ， r2 r1 r22 ，
质量分别为
， P2 P1
P
2 2
；如此操作下去就会得到一个不
均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
•分形理论及其应用
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2)n展开中的
一项， n。因此可以用P1的q阶矩 Piq 取代单分形 i
混沌与分形的哲学启示
·混沌与分形的哲学启示（转【发布:清石2004-06-04 11:45多彩总汇浏览/回复：2169/4】长久以来，我们就知道我们生活在一个非常复杂的世界里，从破碎的浪花到喧闹的生活，从千姿百态的云彩到变幻莫测的市场行情，凡此种种，都是客观世界特别丰富的现象。
但是，科学对复杂性的认识极为缓慢。
混沌学的问世，代表着探索复杂性的一场革命。
由于它，人们在那些令人望而生畏的复杂现象中，发现了许多出乎意料的规律性。
分形理论则提供了一种发现秩序和结构的新方法。
事物在空间和时间中的汇集方式，无不暗示着某种规律性，并都可以用数学来表述它们的特征。
泥沈和分形不仅标志着人类历史上又一次重大的科学进步，而且正在大大地改变人们观察和认识客观世界的思维方式。
因此，探讨混沌学和分形理论的哲学启示是非常有意义的。
决定与非决定决定论与非决定论，或者说必然性与偶然性的关系问题是科学和哲学长期争论不休的难题。
决定论的思想自牛顿以来就根深蒂固。
牛顿经典力学的建立，一方面推倒了天与地之间的壁垒，实现了自然科学的第一次大综合；另一方面它也建立了机械决定论的一统天下。
拉普拉斯设计了一个全能智者，它能够格宇宙最庞大的物体的运动以及最微小的原子的运动都归并为一个单一的因式。
其结果，自然成了一个僵死的、被动的世界，一切都按部就班，任何“自然发生”或“自动发展”都不见了。
热力学通过涨落的发生而引入了一种新的决定论，即统计决定论。
涨落是对系统平均值的偏离，它总是无法完全排除的。
应该说，从决定性的牛顿力学发展到非决定性的统计力学，是一次重要的科学进步。
特别是量子力学的创立和发展，一种新的统计规律为人们所认识，薛定谔波函数的统计解释，抛弃了传统的轨道概念，清楚地反映了微观粒子运动规律的统计性质。
但是在混沌理论问世之前，物理学中确定论和概率论两套基本描述形成了各自为政的局面：单个事件服从决定性的牛顿定律x大量事件则服从统计性的大数定律。
当波耳兹曼企图跨越这道鸭沟，从动力学“推导”出热力学过程的不可逆性时，受到来自泽梅罗、洛斯密脱等人的强烈反对：决定性助牛顿定律怎么会导出非决定性的分子运动论?玻马兹曼全力以赴地答辩以捍卫自己的理论，：但是按照当时公众可接受的标淮(主要是机械论)，他失败了。
分形对数学研究的意义
分形对数学研究的意义《分形对数学研究的意义》分形是数学中一个非常重要的研究领域，对于数学的发展和应用具有深远的意义。
分形的概念由著名的数学家Mandelbrot提出，它将数学与自然界中复杂的、看似无规律的现象联系在一起，为我们理解世界提供了全新的角度。
首先，分形是对自然界的描述，它能够揭示一些传统方法无法探测到的细节。
比如，分形能够用来描述云朵、山脉、植物的形态等不规则的自然现象。
这些自然界中的分形结构常常在各种尺度上都具有相似性，无论我们是放大还是缩小观察，形态都能保持一致。
通过对分形的研究，我们能够更好地理解自然界的复杂性和多样性，为环境保护、气候变化等领域的研究提供理论基础。
其次，分形也具有重要的数学意义。
分形是一类自相似的结构，通过简单的规则和迭代运算，能够生成复杂的图形。
它打破了传统数学中对于规则几何形状的局限性，为数学的扩展提供了新的方向。
分形的研究不仅深化了对数学基本概念的理解，也拓展了数学的应用领域。
比如，分形几何在图像压缩、数据压缩、信号处理等领域中发挥着重要作用。
此外，分形还与混沌理论、动力系统等领域相结合，为非线性科学的发展做出了重要贡献。
最后，分形对数学研究的意义还在于它在教育中的应用。
传统的数学教学往往追求确定性和规律性，而分形的引入能够帮助学生更好地理解数学的抽象概念和建立数学思维。
通过观察分形图形的生成过程，学生能够培养出发现规律、推理并解决问题的能力。
此外，分形图形的美学价值也能够激发学生对数学的兴趣，促进创造力和审美能力的培养。
总之，分形对数学研究具有深远的意义。
它拓展了数学的视野，揭示了自然界的复杂性，为现代科学和技术的发展提供了理论基础。
同时，分形的研究也对数学教学具有重要的借鉴意义，能够培养学生的数学思维和创造力。
因此，深入研究分形对数学学科的发展与教育具有重要而迫切的意义。
分形的奥秘与力探索分形的世界与应用
分形的奥秘与力探索分形的世界与应用分形是指在各个尺度上都具有相似性的图形。
它们的美学吸引力和数学特性使得分形成为了一个极具研究和应用价值的领域。
本文将探讨分形的奥秘与力，以及分形的世界和应用。
一、分形的概念与特性分形的概念最早由波兰数学家曼德勃罗特（Benoit Mandelbrot）在20世纪70年代提出。
分形的特性使得它们与自然界中的很多事物有着惊人的相似性。
例如，云朵、山脉、树叶和河流的形态和分形非常相似。
分形具有几个重要特性。
首先，分形是自相似的。
它们在各个尺度上都存在相似的模式，即部分的形态与整体的形态非常相似。
其次，分形具有无限细节。
无论在何种缩放程度下观察，分形都能揭示出新的细节结构。
最后，分形具有分维度的特性。
普通的几何形体具有整数维度，而分形则具有非整数维度，常被称为分维。
二、分形的数学模型分形的数学模型可以通过递归函数或迭代法来实现。
其中，最著名的分形是曼德勃罗特集合（Mandelbrot Set）。
曼德勃罗特集合是由以下复数序列生成的：Z（n+1）= Z（n）^2 + C，其中Z（0）=0，C为复数常量。
对于每个C值，如果序列在有限次迭代后仍然保持有界，则该C值属于曼德勃罗特集合。
曼德勃罗特集合的图像呈现出复杂多样、充满细节的美感。
它已经成为了分形研究和艺术创作的重要素材。
三、分形的物理与生物学应用分形不仅在数学中有重要应用，还在物理学和生物学中发挥着关键作用。
在物理学领域，分形可以用来描述自然界中的多种现象。
例如，分形维度可以用来计算海岸线的长度，城市的空间分布，以及材料的表面形态等。
此外，分形理论还可以用于描述复杂流体、耗散结构和混沌系统等物理现象。
在生物学领域，分形理论被广泛应用于描述生物体的形态和内部结构。
例如，分形维度被用于研究树木的分枝结构、肺部的支气管系统，以及神经网络的连接方式等。
分形还可以用来研究生物体的动态行为和增长模式。
四、分形的艺术与设计应用分形的美学吸引力使得它成为了很多艺术家和设计师的灵感之源。
数学中的分形理论
数学中的分形理论随着人类对自然界了解的不断深入，我们发现很多自然形态都呈现出一种神秘而美妙的特质：分形。
分形是一种几何对象，具有自我相似的特征，在自然界和人工模拟中均有广泛的应用。
很多分形现象都涉及到数学分析，因此，了解数学中的分形理论是很有意义的。
一、什么是分形？1982年，美国数学家麦德里·曼德博士首先提出了分形的概念，他表示：“一种比几何图形概念更具体的新理论。
”通俗来讲，分形是指一类自相似的物体或形态。
自相似的意思是说，想象你把这个物体放大，那么这个物体的某个部分，将会与其他部分相似，如此反复，直到无穷大。
在数学中，通过不断重复一部分内容，会得到一个类似整体的图案，我们称之为分形。
分形由多个重复出现的基本形状组成，这些基本形状被称为迭代函数中的自相似部分，不断迭代后便可得到分形的自相似性质。
分形具有自相似、无限细节、非整数维度和结构复杂等特征。
二、分形的应用分形理论广泛应用于各个领域，如自然界、艺术和科技等。
以下简单介绍几个分形的应用领域：1.自然景观许多自然景观都具有分形结构，例如云彩、大麻鸡爪、树的枝干、树叶排列、岩石表面等。
早期的科学家们通常认为自然景观是遵循一定规则的，但他们无法解释这些规则。
分形具有解释自然现象的能力，例如，海岸线有无限多的下垂崖、山脉覆盖着大小不一的山峰，每个山峰又有自己的小山、小河和树木等。
分形理论可以用来解释这些结构和广泛的自然现象，揭示它们的本质规律。
2.压缩图像图像可以看成是二维的平面矩阵，它们可以按任意比例或任意比例进行压缩和缩小。
分形压缩算法是一种快速且节省空间的压缩方法，它是通过深入分析图像的各个部分来实现对图像的压缩。
与其他压缩方法相比，分形压缩算法可以保留大量的图像细节和标记，从而提供更准确的图像还原。
3.金融市场分形也可以应用于金融市场，例如股票市场、外汇市场和商品市场等。
这些市场的行情是非常波动的，并且形成许多买入和卖出的机会。
分形哲学
分形哲学1 自然界中的分形现象事实上，自然界有许多自然景物就非常象分形图形，我们可以用简单的分形程序画出一些分形，其逼真程度可以和自然界的真物照片相比，如桧树的树枝、羊凿树的叶子。
自然界由单纯的规则组成，而且这个规则涉及到自相似的所有层次，这是很自然就能想到的，这一点特性与分形非常想象，如支配羊凿树树叶的全体的规则同时也支配左右分开的树枝的一个一个小叶，而且对小叶中的小叶也是如此。
我们知道几何起源于自然界物质的抽象，我们说自然界有许多自然物体可以用分形来加以描述，如海岸线、云彩的边界。
但是，应该说这些物体没有一个是真正的分形，因为用充分小的比例观测它们时，它们的分形特征就消失了。
然而，在一定的比例范围内，它们表现了许多类似分形的性质，因而在这个范围内可以看成是分形。
(实际上，规则几何也是理想化的产物，自然界物体中是没有真正的直线和圆的。
)早在Mandelbrot 写书系统提出分形理论以前，他和同事Voss 等已经在计算机上绘制了大量的逼真的月球地形、类地行星、岛屿、山脉以及类似蜗牛、水母等分形图形，这就是说，从分形开始创立时，分形就是与自然界物体密切相关的，也为人类认识许多复杂的自然界物体提供了新的工具。
可以说，数学上标准的分形一开始就和自然界的现象结合在一起的。
为此，Mandelbrot 猜想，自然界的许多东西都是由简单步骤的重复而产生出来的，这就使我们能够解释一些让人们困惑的事件：为什么相对少量的遗传物质可以发育成复杂的结构，如肺、大脑甚至整个机体；为什么只占人体体积的5％的血管能布满人体的每一个部分。
单纯的东西容易反映其本性，而且也应以纯粹的形式来反映。
如果我们认为分形性是自然原本生来就具有的，那么，作为同样从太古时代就有的羊凿树正好具备了充分反映自然性质的资格(据考证，羊凿树是3亿年前古生代石炭纪时期的主要树木)。
正是因为许多基本的自然现象具有分形特征，如山脉、河流、云彩，现在有一种所谓“分形层次宇宙论”认为宇宙就是一个分形：宇宙本身才是最能反映分形性的。
关于分形理论的哲学思考
关于分形理论的哲学思考李后强文章来源：摘自《自然辩证法研究》，1993年第4期来自科学哲学的情报表明，一些富于探索精神的哲学家们，正在试图把分形的概念和思想抽象为一种方法论，它是一种辨证的思维方法和认识方法。
部分与整体的关系是一对古老的哲学范畴，也是分形理论的研究对象。
把复杂事物分解为要素来研究是一条方法论原则——简单性原则。
哲学史上，人们很早就认识到，整体由部分组成，可通过认识部分来映象整体。
系统中每一个元素都反映和含有整个系统的性质和信息，即元素映现系统，这可能是分形论的哲学基础之一。
从分析事物的视角方面来看，分形论和系统论分别体现了从两个极端出发的思路。
它们之间的互补恰恰完整地构成了辨证的思维方法。
系统论由整体出发来确立各部分的系统性质，它是沿着宏观到微观的方向考察整体与部分之间的相关性。
而分形论则相反，它是从部分出发确立了部分依赖于整体的性质，沿着微观到宏观的方向展开的。
系统论强调了部分依赖于整体的性质，而分形论则强调整体对部分的依赖性质。
于是二者构成了“互补”。
分形论的提出，或许具有以下几个方面的意义。
首先，它打破了整体与部分之间的隔膜，找到了部分过渡到整体的媒介和桥梁即整体与部分之间的相似。
其次，分形论的提出，使人们对整体与部分的关系的思维方法由线性进展到非线性的阶段，并同系统论一起，共同揭示了整体与部分之间多层面、多视角、多维度的联系方式。
分形论从一个新的层面深化和丰富了整体与部分之间的辨证关系。
再次，分形论为人们认识世界提供了一种新的方法论，它为人们从部分中认知整体，从有限中认知无限提供了可能的根据。
最后，分形论的提出进一步丰富和深化了科学哲学思想中的关于普遍联系和世界统一性的原理。
这主要表现在两个方向：一是分形论从一个特定层面直接揭示了宇宙的统一图景，同时，分形论所揭示的整体与部分的内在联系方式，是对宇宙普遍联系与内在统一的具体机制的一种揭示。
恩格斯曾经把存在于自然、社会和思维中的普遍联系称之为“一幅由种种联系和相互作用无穷无尽地交织起来的画面。
数学中的分形理论及其应用
数学中的分形理论及其应用分形，指的是一种形状或图案，在各种尺度下的细节都具备相似性的特征。
这种特征常常出现在自然界的许多地方，例如云朵、山脉、海岸线、植物等等。
虽然分形已经被许多人所熟知，但这种形式却是由数学家们的发明而来的。
分形一词由法国数学家Benoit Mandelbrot于1975年创建，并在1982年进一步推广。
他将自相似性描述为“特别的几何对称性”。
在数学中，分形理论指的是一些拥有自相似性并且可以无限重复的集合。
这种集合的几何形状经常会出现在自然界和科学领域的各种构造中。
分形理论在数学和物理学、化学、地质学等学科领域都有广泛的应用。
广义上说，分形是高度复杂的形式，无法用欧几里得几何学或其它古典数学框架描述。
因此，分形理论采用自相似性的思想以及强大的计算机算法，帮助人们研究这些神奇的模式。
分形模式包含了一些非常基本的观念，其中最重要的是定型自相似性。
换句话说，这种形式在不同的尺度上，都具备相同的形状和结构。
对于一个分形集合，我们可以把它分成无限小的独立部分，每一个部分都和整个集合相似。
分形集合的经典例子是康托集（Cantor set），这是一个包含在实数轴上的完全不连续的集合。
康托集的建立与开放映射定理密切相关，这是一个重要的数学原理。
当计算机被广泛应用时，分形理论得到了更为广泛的应用。
它可以用于绘制自然形态的图像如云朵、山脉、海岸线，也可以应用到计算机图形学的设计和图形特效中。
分形噪声也非常有价值而且普遍使用，它形成了许多逼真的自然现象的背景（例如云层）。
此外，分形可以用于投资风险评估、混沌理论和微量降噪等方面，它们在现代科学和技术中扮演着重要的角色。
分形模式、几何用途和物理学中的双馈环路系统都是分形理论的研究对象。
分形模式研究可以帮助我们理解生物学、社会学、经济学等学科中的自相似性问题；几何应用可以帮助我们研究高维空间的结构；而物理学中双馈环路系统的研究则可以帮助我们探索其在不同尺度下的可视性。
浅谈数学怪物——分形
浅谈数学怪物——分形1 分形理论的产生分形（Fractal）理论是当今世界的新理论、新学科，其概念是美籍数学家曼德布罗特首先提出的.大自然中物体和现象的几何形状普遍具有复杂的不规则性, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力,分形学的产生就是被用来描述这些不规则的欧氏几何无法描述的几何现象和物体的,它的产生使自然景物的描绘成为可能,这也是分形几何得到高度重视的原因之一.在分形理论真正发展起来的这十几年来,其研究倍受重视,分形的理论意义及实用价值深深吸引着人们寻求新规律、新特征存在的可能性.2 分形理论的发展分形理论的发展可以分为三个阶段[1](P114-115)：第一个阶段是从1827年到1925年,在此期间,数学家们构造并且研究了很多奇遇或病态的集合及其图象,还试图对这类集合与经典集合的差别进行了详细分析.1827年,维尔斯特拉斯证明的一种在任意一点都不具有有限或无限的导数的连续函数曾引起了极大的震动,虽然人们认为此函数是极为“病态”的，但人们还是从不同方面推广了它,并且还对这类函数的奇异性质作了深入的研究.1904年，瑞典的数学家科赫通过初等方法构造出了如今称之为科赫曲线的处处不可微的连续曲线,并且还对该曲线的性质加于研究,该曲线改变了连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法,这是第一个认为构造的具有局部与整体相似结构的曲线.1883年,德国数学家康托尔构造了一类不连通的紧集s,s被称为康托尔三分集.在当时,它被认为在传统的研究中是可以忽略的,但现在它在非线性研究中却占有重要的意义.1890年,意大利数学家皮亚诺构造了能够通过某个正方形内所有点的曲线,这种奇怪的曲线曾使人们对以往的长度与面积等概念重新进行认识,并使数学界大吃一惊.在此基础上，1901年,闵可夫斯基引入了闵可夫斯基容度,1919年,豪斯道夫引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数.总之,在此阶段,人们已经提出了典型的“分形”对象和相关问题,并为研究此类问题提供了最基本的数学工具.第二阶段大致是从1926年到1975年,在此阶段,人们对分形的性质作了深入研究,特别是对维数理论的研究已获得了丰富的成果.这一阶段对第一阶段的思想进行了系统、深入的研究,不仅逐渐使其形成了理论,而且将研究范围扩大到了数学的许多分支之中.庞特里亚金、贝塞克维奇等研究的曲线的维数,分形集的局部性质,分形集的结构以及其在数论、调和分析、几何测度论中的应用,这些都极大地丰富了分形几何理论.列维在这一阶段的工作极为重要,首先,他第一个系统地研究了自相似集,现在研究的许多自相似性都可以追溯到他的工作中;其次,他建立了分数布朗运动的理论,成为随机分形理论系统研究的重要先驱者之一.在这一阶段,绝大部分从事这一领域工作的人还局限于纯的数学理论的研究,而未与其他学科发生联系.在物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量与分形有关的问题的形势下,这就迫切需要新的思想与有力的工具来处理.曼德布罗特以独特的思想, 研究了海岸线的结构、具有强噪音干扰的电子通讯、月球的表面、地貌几何性质等典型的自然界的分形现象,并取得了一系列令人瞩目的结果.第三阶段是从1976 年至今,这是使分形在各个领域的应用取得全面发展,并使之形成独立学科的阶段.3 分形的特征及有关概念3.1分形的特征通常人们认为分形具有以下几个特征[1](P116):具有精细的结构,也就是说在任意小的尺度下,它总是有复杂的结构;具有不规则性,它的整体与局部不能用传统的几何语言来描述;具有自相似形式,这种自相似可以是近似的或统计意义的;一般地,分形图形在某种意义下的维数大于它的拓扑维数;在大多数情况下,分形图形可以用非常简单的方法产生.3.2有关概念概念一 分形曼德勃罗最先提出的分形[2]（Fractal ）具有不规则、支离破碎等意义.他曾经为分形下过两个定义[1](P116)：（1）满足下式条件()()A A Dim dim > 的集合A ,称为分形集.其中,()A Dim 为集合A 的Hausdoff 维数（或分维数）,()A dim 为其拓扑维数.一般说来,()A Dim 不是整数,而是分数.（2）部分与整体以某种形式相似的形,称为分形.然而,经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容.实际上,对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义.但是自然界中有很多分形的例子,例如:羊齿植物、菜花以及许多其他植物,它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似.大自然中的山、树、云、海岸线也都可以看成是分形.下面给出大家两个分形图形:左图是一棵厥类植物，仔细观察，我们就会发现,它的每一个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅是在尺寸上小了一些,而枝杈的枝杈也和整体相同,只是变得更加小了一些.右图是数学家们构造的Kohn （克赫）曲线.概念二 维数为什么说分形是数学中的怪物呢?这是由于它的维数不是人们通常用的整数而是分数.长期以来在欧氏空间中,人们习惯于将点定义为零维,直线定义为一维,平面定义为二维,空间定义为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空.但通常人们习惯于整数的维数.分形理论把维数视为分数为了定量地描述客观事物的“非规则”程度.1919年,数学家从测度的角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限.分形维数,作为分形的定量表征和基本参数,是描述分形的重要参数,能够反映分形的基本特征,但由于侧重面不同,有多种定义和计算方法.常见的有以下几种[3](P44-46):相似维数s D 我们画一个边长都是1的线段、正方形和立方体.将它们的边长二等分,此时,原图的线段长均缩小为原来的12,而将原图等分为若干个相似的图形.其线段、正方形、立方体分别被等分为12、22和32个相似的子图形,其中的指数321、、,正好等于与图形相应的经验维数.一般说来,如果某图形是由把原图缩小为1a的相似的b 个图形所组成,有:b a s D =,a b D s ln ln =的关系成立,则指数s D 称为相似性维数,s D 可以是整数,也可以是分数.容量维数c D 容量维数是利用相同大小形状的小球或立方体包覆几何对象而定义的维数,由著名苏联数学家科尔莫哥诺夫提出的.设一几何对象s ,若用直径为ε的小球为标准去覆盖s ,所需的小球的最小数量为()εN ,则s 的容量维数为:)1ln()(ln lim 0εεεN D c →=. 豪斯道夫 (Hausdorff)维数H D 设一个整体s 划分为N 个大小和形态完全相同的小图形,每一个小图形的线度是原图形的r 倍,则豪斯道夫维数为:()⎪⎭⎫ ⎝⎛=→r r N D r H 1ln ln lim 0. 计盒维数b D 将用边长为21 的封闭正方盒子覆盖s ,若s 中包含的小方盒数量()n M ,则计盒维数为: ()2ln ln lim n n M D n b ∞→= . 除上述定义的几种分形维数外,还有信息维数、谱维数、模糊维数、拓扑维数、广义维数、微分维数、分配维数、质量维数、填充维数等.4 分形理论的应用分形的应用很广,在各个方面都有其应用,如在数学、物理学、化学、生物科学、地质科学等各个领域都已得到了极为广泛的应用.4.1 在数学中的应用例1[4](P9) 计算Koch 曲线的相似维数：则分别有：1 3ln 4ln =s D 2 232ln 2ln 4ln 8ln 23===s D 3 6ln 18ln =s D 4 4ln 7ln =s D 例2 计算Koch 曲线的容量维数：根据Koch 曲线的构造过程,如右图:第一次线段长度311=ε,只要四段即可覆盖住点集,所以()41=εN ,第二次线段长度912=ε,用十六段才可覆盖住点集,第n 次,n n 31=ε,()n n N 4=ε,因此3ln 4ln 3ln 4ln lim 3ln 4ln lim ===∞→∞→n n D n n n n c . 例3 Cantor 集[4](P2),如右图:取单位长线段[]1,0,三等分然后舍弃中间一段⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31,再将剩下两段⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32分别三等分并舍弃中间的⎪⎭⎫ ⎝⎛92,91和⎪⎭⎫ ⎝⎛98,97两段,在剩下的四段⎥⎦⎤⎢⎣⎡91,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,92,⎥⎦⎤⎢⎣⎡97,32,⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,98中用同样的办法,每一段都三等分去掉中间一段,如此继续下去直到无穷,最后所得到的点集就称为Cantor 三分集,或简称Cantor 集.在实变函数中介绍它的Hausdorff 维数是3ln 2ln =H D .现在我们来计算一下它的容量维数:根据构造过程,第一次线段长度311=ε,只要两段即可覆盖住点集,所以()21=εN ,第二次线长度2231=ε,用四段可覆盖住点集,第n 次,n n 31=ε,()n n N 2=ε,因此 3ln 2ln 3ln 2ln lim 3ln 2ln lim ===∞→∞→n n D n n n n c . 由它的构造过程我们还可以把它每一步的相似维数求出来,第一步是把原图缩小为31的相似的2个图形,所以3ln 2ln =s D ,…,第n 步是把原图缩小为n 31的相似的n 2个图形,所以 3ln 2ln 3ln 2ln 3ln 2ln ===n n D n n s . 经计算每步的相似维数得出它们都相等并且都是3ln 2ln . 猜想:相似维数用于按一定规律进行有限次的改变而形成的分形中,而容量维数则是用于按一定规律进行无限可列次的改变而形成的分形中,它通常以极限的形式出现.如对同一个图按同一个规律改变,那么每次改变后所得到的分形图形的相似维数与无限可列次的改变后所得到的分形图形的容量维数是相等的.分形将作为一门课程进入高中.其实不知不觉分形几何已进入了我们的考试中:例4[5](P44) 在2002年全国高中数学联赛试题中就有这样一道题：如下图:有一列曲线0P ,1P ,2P ,…,已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形,(1)k P +是对k P 进行如下操作得到:将k P 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉()Λ,3,2,1=k .记 n S 为曲线n P 所围成图形的面积.(1)求数列{}n S 的通项公式;(2) 求 n n S ∞→lim .这是一道以分形几何为背景的试题,主要考查的是与数列相关的基础知识,同时考查阅读理解能力,立意新,落点实,体现了研究性学习的深入和数形结合思想的应用.随着考试改革的深化,在试题设计上,更加注重能力立意,强调对学生思维品质、创新能力和学习潜能的考查.而以分形几何为背景的试题,新颖鲜活而有创意,富有时代气息,恰好体现了这方面的要求,因此备受青睐,使“怪物”焕发出亮丽的风采.同时,也让学生感受到分形几何无穷的美学魅力,激发学生对这门新兴学科的学习兴趣.4.2 在物理学中的应用分形学的问世给物理学的研究注入了新的活力,因而分形在物理学中得到了广泛的应用,其中比较成功的应用包括以下方面.在分形凝聚[6](P81-82)方面,人们提出的具有多重分形的受限扩散凝聚(DLA)模型和动力学集团凝聚(KCA)模型;在固体物理方面,用于准晶态的扩散,薄膜的研究,如在气相物理沉淀、非晶态薄膜的晶化、溶液膜中的晶体生长、液体界面上的电解沉淀、气态电解质膜中的电击穿等过程中都可出现分形图样;分形理论已用于纳米半导体薄膜、超导薄膜、各种薄膜生长和超薄金属膜生长的研究之中.用于湍流的研究,分子光谱(分子线谱和分子能量状态具有分形结构),电磁散射(由于粗糙分形表面引起的),材料断裂表面和边界、以及碎块的大小和频度具有分形规律,材料力学行为和材料弹塑性断裂研究;在粒子物理中的应用,高能粒子碰撞中的阵发现象具有分形结构,分形理论用于解释碰撞的机制,为粒子物理打开一个新的领域;在流体粘性指进现象中的应用,粘性指进是指两种具有不同粘性的流体相遇时,在其界面形成的具有分形结构的奇特形状,该形状与受限扩散凝聚(DLA)模型相似;在放电式样研究中的应用、相变分析.超微粒及其聚集体,及其在粒径、熔化、磁性、电导及生长过程中均具有分形特征.有人对超导现象研究后发现,材料微观结构的分形维数与其超导电性密切相关.分形学也用于布朗运动分析、非晶态半导体的研究、引力波的研究、电子在固体中的散射、多孔介质中的声传播、激光全息防伪等领域.4.3 在化学中的应用[7](P207)分形理论在化学中也有很广泛的应用,如:在多相催化体系中的应用,催化剂颗粒是一个分形体,不仅疏松的衬底和分布在其上作为催化物质的颗粒表面可以用分维表征,而且起主要催化作用的颗粒的亚微观结构也具有分形特征.研究表明,在分形介质中进行分散和反应都与表面分维数有关.此外,分形理论还在生物催化方面有应用.在宏观化学动力学方面,远离平衡态的化学过程往往产生具有分数维的表面结构.在颜料表面改性方面的应用,颜料粒子的表面形貌是一个影响颜料性能的很重要的因素,研究结果表明,表面分形维数、粒子表面形貌与颜料某些性能之间确实存在很好的对应关系.目前,分数维方法在化学中各个领域的应用也正在开展之中.例如:沉积物的形成、表面吸附、高分子溶液、晶体结构以及高分子凝胶等方面.此外,薄膜分形、断裂表面分形以及超微粒聚集体分形等领域的研究已日趋活跃,在准晶和非晶态固体的描述、气固反应模型等也有应用.4.4 在生物医药中的应用[8](P423-428)分形学在药学领域的应用以药剂学最吸引人.如用分形维数表征粉粒状药物、多孔固体制剂、混悬剂和乳剂、气溶胶、微乳剂等结果,可更好地研究药剂表面结构与药物性能的关系.在生物药剂学和药物动力学也有许多潜在用途,如用分形表示药物溶出动力学曲线、分形反应维数在药物膜通透速率中的应用、吸附剂表面吸附程度以及血药水平和尿排泄曲线等.在生理学方面,各种组织和器官在微观结构上是分形的,同样组织中发生的功能性事件也具有非线性动力学特征.分形和非线性动力学的概念提供了一种描述由于疾病或药物毒性导致的功能失调以及药理学中常遇到的许多现象的灵敏方法.如药物 - 受体相互作用、细胞膜表面的分形维数及离子通道动力学模型、跨膜转运、神经系统和功能、生物反应器.另外,分形在地质科学、社会科学、人文科学以及艺术等各个领域也都有应用.分形学是一门很年轻的科学,正处在不断发展之中.其应用研究已涉及几乎所有学科领域,我们必须以科学的态度对待这一新兴学科.分形几何的创立为描述存在的不规则图形和现象提供了思想方法,为解决传统科学中的难题提出了新的思路,已成为当代科学最有影响的基本概念之一,其深远的理论意义和巨大的实用价值在众多学科领域日益凸显.。
分形用途及意义
分形用途及意义分形是指一种通常由几何图形或动态系统生成的特殊图形，具有自相似性质。
这种自相似性使得分形能够在各种尺度上表现出相似的结构和形态。
分形理论不仅在数学和物理学领域中得到了广泛的应用，而且在生物学、地理学、经济学、艺术和文学等领域也得到了广泛的研究和应用。
分形的应用可谓是广泛而深远的，下面我们将对分形的用途及意义进行详细分析。
首先，分形在科学领域中具有重要的应用价值。
在数学和物理学领域，分形理论被广泛应用于描述自然界中的各种复杂现象，如云雾的形态、河流的分布、山脉的形态等。
分形结构能够更好地描述这些复杂现象的特征，并且为科学家提供了一种更为直观和有效的分析方法，有助于深入理解自然界的规律。
此外，分形理论还被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域，为相关技术的发展做出了重要贡献。
其次，分形对于生物学领域也有着重要的意义。
生物体内的血管、树木的分枝、植物的叶片等都呈现出明显的分形结构，分形理论被应用于分析这些生物体的形态特征和生长规律，为研究生物体的结构与功能提供了新的视角和方法。
分形理论的研究还为生物进化和生物多样性等问题提供了新的启示，为生物学领域的研究开辟了新的方向。
第三，分形在地理学领域也有着重要的应用价值。
地球表面的山脉、河流、湖泊等自然地貌都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析地理信息系统中的地形数据、地貌特征等，为地理学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解地球表面的形态特征和演化规律。
此外，分形还被应用于气候模拟、自然灾害预测等方面，为地理学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
第四，分形在经济学领域也具有重要的意义。
金融市场中的价格波动、股票价格的涨跌、经济指标的变动等都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析经济现象的复杂性和随机性，为经济学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解经济现象的特征和规律。
此外，分形还被应用于金融风险管理、商业预测等方面，为经济学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
基于分形理论的美的哲学研究及应用
基于分形理论的美的哲学研究及应用一、关于分形分形,这个词本身具有破碎、不规则等含义,意指研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。
什么是自相似呢?自然界中,一棵树与它自身的树枝及树枝上的枝杈,甚至树叶上的叶脉,在形状上都非常相似;高山的表面,无论怎样放大其局部,它都显得粗糙不平;还有雪花、海浪、声波,等等,这些例子在我们的身边到处可见。
自然界中的景色是复杂的,我们看到的事物往往是混沌和随机的。
大千世界是混沌的,分形正揭示了世界的混沌的本质,分形可以帮助我们进一步描述大自然。
在传统的欧几里德空间里,表现的是线段、有限平面图形和有限空间几何体。
但从19世纪70年代开始,数学家们提出了一些被称为数学怪物的图形,人们无法用传统的欧几里德几何语言描述这些图形,这些图形无特征长度和比例,但却非常适用于表现大自然现象,并且可以用递归或迭代的数学方法描述,这就是分形的起源。
分形隶属于几何学范畴,却打破了经典几何学的束缚,因而自诞生之日起,就是这样一个科学与艺术彼此沟通融合的契合点,以自然美为中介而游走于科学与艺术之间的一个神奇的精灵。
它以学科交叉性强、抽象与具象相统一的独特的魅力,吸引了一批数学家、艺术家、设计大师的注意力。
二、分形的美学研究我们重温一下美学的定义。
美学,是研究人类审美活动的科学。
美,作为人类可以反映到的事物的一种属性,本质上是一种关系属性,是一种非物质性的客观存在。
这种存在,与人类意念方向的指向有关。
人类既是美形成条件中两种客观存在中的一方,又可作审美的主体。
美学研究的是人对现实的审美关系。
研究的主要对象是艺术,但不研究艺术中的具体表现问题,而是研究艺术中的哲学问题,因此被称为美的艺术的哲学。
美学的基本问题有美的本质、审美意识同审美对象的关系等。
本文中所述的正是分形理论的美学研究。
伽利略曾宣称：自然界这本伟大的书是用数学语言写成的,而且补充说,其特征为三角形、圆形和其他几何图形,没有这些几何图形人们只能在黑暗的迷宫中做毫无结果的游荡。
分形几何的主要思想及其哲学思考
・2・
九江学院学报 (自然科学版 ) 2006 年第 3 期
家 、地质学家 、材料学家之外 , 经济学家 、音乐 学家以及画家 、电影制作者都参加了这一行列中 。 因此 , 当时有一位美国物理学家 J1A 1W heeler说 : “ 可以相信 , 明天谁不熟悉分形 , 谁就不能被认为 是科学上的文化人 。 ”
dimA = lgN lgN = 。 λ 1 lg lg
定义 : 定义于 X 上的自映射 f: X →X 的迭代序列 2 n { x, f ( x) , f ( x) , … f ( x) , … } 称为由函数 生成的动力系统 。如果 f = { f1 , f2 , … , fk } 为
2 n 一个函数族 , 相应的称 { x, f ( x) , f ( x) , … f ( x) , … } 为 函 数 族 f 生 成 的 迭 代 函 数 系 统 ( IFS) 。特别注意的是 : 对于 IFS而言 , 每一个输
i =1 n
分形的定义目前还没有定论 , 但是我们可以 用描述性的语言给出分形集合的基本特征 , 称集 合 F是分形 , 如果它具有如下一些性质 : ・ 具有精细的结构 , 即在任意小的尺度下 , 它总有复杂的细节 — — — 标度不变性 。 ・ 是如此的不规则 , 以至于它的整体与局部 都不能用传统的几何语言来描述 。 ・ 通常有某种自相似性 ( self - sim iliarity 局部 放大具有整体相似的形状 ) , 可能是近似的或者是 统计的 。 ・ 在大多数令人感兴趣的情形下 , 它以非常 简单的方法定义 , 可能由迭代产生 。 维数是描述几何体以及空间的一个重要概念 , 在分形研究中 , 分形的维数更是起着至关重要的 作用 , 否则 , 我们就不知道如何回答下列问题 : 一个分形有多大 ? 什么时候 (在某种意义下 ) 能 说两个分形是相似的 ? 如何衡量两个不同的分形 在度量上是等价的 ? 在通常意义下 , 维数指的是 空间任意一元素的自由度的个数 , 比如直线上的 点只要用一个实数就能与之对应 , 所以直线是一 维的几何图形 , 平面上的点只要用一个实数对就 能一一对应 , 所以平面是二维的几何图形 , 同理 可知 , 空间立体图形是三维的 。 以上所说的维数有一个特点 - - 整数 , 然而 , 我们自然有这么个问题 - - 维数是不是连续的 , 即维数存不存在非整数的 ? 数学家们根据通常意 义下的拓扑维数的性质 , 把维数这一概念从整数 推广到分数 , 即通常所说的分维 ( fractal dim en2
分形几何的价值与研究文档
1 分形几何的基本思想（1）客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义的相似性（2）分数维是刻划分形的特征量2 分形几何与欧氏几何的比较3.分形在科学的意义4.分形在哲学上的意义复杂与简单的统一：分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能性。
分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。
其实简单并不简单，它蕴含着复杂。
分形几何中的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。
分形高度复杂，又特别简单。
无穷精致的细节和独特的数学特征（没有两个分形是一样的）是分形的复杂性一面。
连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复制及迭代操作生成，又是分形简单的一面.分形在认知哲学上的意义分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
超级观察者是传统哲学和经典物理学的一个基本前提，即假定有一位理想的观察者能够不受观察对象的任何影响，经过精密观察和严密思考能够对观察对象的属性给出绝对正确的界定。
从笛卡尔以来，这个超级观察者基本上已被等同于人类理性，而当理性难以说明问题的时候，哲学家和科学家都不约而同地抬出上帝的观念来搪塞。
比如牛顿为了解决第一推动力的问题，不得不回到神学。
爱因斯坦反对量子力学的重要理由就是“上帝不掷骰子。
”然而，这种超级观察者神话在现代物理学那里，已经遭到了决定性的打击。
证明1：观察尺度著名的海岸线问题：英国的海岸线有多长？这个问题是没有答案的，它完全取决于观察尺度的选取。
显然，用人的脚步来测量，和让一只蚂蚁来测量，得出的结果将有天壤之别，因为蚂蚁会爬过比人多得多的弯曲，从而测量的结果将比人的结果大得多。
假设有一种无限小的生物，那么测量结果将是无穷大。
不要忘了，在蚂蚁眼中，我们是比鲸还要大的庞然大物。
关于观察尺度，《格列佛游记》里面有精彩的描述。
分形几何学：自然界的复杂之美
分形几何学是一门独特而又神秘的数学学科，它研究的是自然界中那些看似无法描述的复杂结构。
从山脉的峰与谷到树叶的纹理，从雷电的闪电路径到心电图的波动曲线，我们可以在各个领域中发现分形的存在。
它的研究成果让我们深刻地感受到了自然界的复杂之美。
分形几何学的概念最早由波兰数学家曼德尔博士在20世纪70年代提出。
他研究了一个叫做“曼德勃罗集(Mandelbrot Set)”的特殊分形，这个集合包含了无穷多个复数点。
曼德勃罗集的图像以其形状复杂而美丽而著称于世。
看似小小的一个图案却包含了无穷多的细节，无论怎么进行放大，每一次放大都会揭示出更多的分形结构，仿佛进入了一个无限迷宫。
这个发现引起了人们对分形几何学的极大兴趣。
自然界中的分形结构十分常见，从大到小，无处不在。
比如我们常见的树枝结构，无论是从整体还是局部上看，都呈现出分形特征。
一棵大树的枝干不仅有树枝，树枝上还有更小的分支，这些分支上又有更细小的枝条，它们以类似的方式重复出现，形成了树的层级结构。
类似的分形结构还存在于河流的模式中，从主河道到支流再到小溪，每一级都是满足分形特征的。
即使在人类体内，血管、神经系统等也具备分形特征，这使得我们的身体更加灵活和高效。
分形结构不仅存在于自然界，还在科学和艺术领域产生了极大的影响。
科学家们发现，用分形几何学理论可以更好地描述许多自然现象，例如云的形状、风暴的路径等。
而在艺术创作中，分形图案被广泛应用，它们展示了令人惊叹的美感。
许多艺术家通过计算机生成算法来创造分形艺术作品，这些作品呈现出无限的细节和复杂性，使观众深陷其中。
然而，分形几何学的研究远远没有结束。
虽然我们已经在自然界和艺术中发现了许多分形结构，但这只是冰山一角。
未来还有许多未知的领域值得我们去探索。
随着计算机技术的进步，我们能够更深入地研究分形几何学。
通过模拟和计算，我们可以以更高的精度和更快的速度生成分形图像。
这将有助于我们更好地理解分形的本质和应用。
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在当今地世界科学界，分形理论与混沌理论、孤子理论被公认为是三大非线性科学地前沿.从上个世纪年代以来，分形地新概念成为全球科学界热议地话题之一，并形成了分形理论地研究和探索热潮.加入这个热潮地有各种门类地科学家，包括自然科学家、社会科学家、哲学家，甚至包括各类艺术家和电影制片工作者.一、分形科学地产生及其基本特征[]分形理论地创立者是当代美籍数学家曼德布罗特，他在欧式几何整数维度地基础上提出了分数维度地概念——分维，进而对大自然林林总总地各类粗糙地、貌似支离破碎地地不规则形状进行描述并研究，年冬天，曼德布罗特为这一门更加接近自然地新学科进行了命名——分形科学.自此，“分形”一词成为一种新方法，可以用来描绘、计算和思考那些不规则地、凹凸不平地、零散分布地、支离破碎地图形，例如从雪花晶体地曲线到散落在星系中地繁星点点.而分数维曲线，则代表一种隐藏在这些令人望而生畏地复杂图形中地有序结构.个人收集整理勿做商业用途于是，分形地理论和方法被广泛采用.在那些最实用地水平上，它提供了一套工具，被研究人员广泛接纳，公认地非线性动力学提供良方地那些结构都证明是分形地.由于开辟了一条不寻常地学术成功之路，曼德布罗特被科学史家伯纳德·科恩列在与爱因斯坦、康托尔齐名地少数科学家地名单上，因为这些科学家地工作在科学史上具有革命地意义.个人收集整理勿做商业用途分形理论告诉我们，那些外表极不规则与支离破碎地几何形体，有着自己内在地规律和特性：这就是自相似性、层次性、递归性和仿射变换不变性.个人收集整理勿做商业用途自相似性就是局部地形态和整体地形态相似，或者说从整体中割裂出来地部分仍能体现整体地基本精神与主要特征.在曼德布罗特那里，无论是对自然过程中不规则结构地研究，还是对无限次重复形状地探讨，都贯穿着自相似性.例如，一个立于两面镜子之间地无穷反射，这是制作动画地最好方法.自相似性作为制作曲线地一种方法，同样地变换在越来越小地尺度上重复进行，就可以构造出美丽无比地科克雪花、谢宾斯基衬垫和地毯等图形.自相似性是分形理论地核心，是所有特性中地基本特性.个人收集整理勿做商业用途层次性就是分形整体中存在地等级不同、规模不等地次级系统，可以说整体中地任何部分又是一个自身地整体，依次重复，直至无限.埃菲尔铁塔就是它地类似物，它地小梁、构架和大梁不断分叉成构件更细地格式，层次性地网络结构浑然一体.个人收集整理勿做商业用途递归性就是结构之中存在着结构.由于自相似性是不同尺度地对称，这就意味着递归.对于分形地成长历史来说，递归性犹如情节戏剧编制而成地一样.个人收集整理勿做商业用途仿射变换不变性就是分形地局部与整体虽然不同，但经过拉伸、压缩等操作后，不仅相似，而且可以重叠.曼德布罗特自己称为“一份宣言和一本手册”地《自然界地分形几何》一书，标志着分形思想地成熟.如今，它已成为额人们用来描述不规则形态地几何特征地一个有力工具.伽利略曾把宇宙比喻为一本大书，这本大叔是用数学地语言写成地.他说：“哲学是写在这部永远摆在我们眼前地大书中地——我这里指地是宇宙.但是，我们如果不首先学习用来写它地语言和掌握其中地符号，我们是不能了解它地.这部著作是用数学语言写成地，其中地符号就是三角形、圆和其他几何图形.没有这些数学语和数学符号地帮助，人们就会在黑暗地迷宫中徒劳地徘徊.[]”个人收集整理勿做商业用途正因为有了分形这一描述宇宙不规则形态地数学语言，进一步帮助人们去读懂宇宙这本大书.正如曼德布罗特自己指出地那样，“这是一个美妙而极富生命力地领域”，深深吸引着各种专业地科学家去展翅翱翔.个人收集整理勿做商业用途二、分形理论地分类和科学意义按照分形理论，分形体内任何一个相对独立地部分（分形元或生成元），在一定程度上都是整体地再现和缩影.这种现象，无论在客观世界——自然界和社会领域，还是在主观世界——思维领域，都是普遍存在地.对此，仅仅从分型地初步分类中就可以得到应有地说明.尽管现实严格标准地分类尚需继续研究，但以下分类却是有现实依据地.个人收集整理勿做商业用途.自然分形凡是在自然界中客观存在地或者经过抽象得到地具有自相似性地几何形体（对象），都称为自然分形.它涉及地范围及其广泛，内容及其丰富.从自然科学基础理论到技术科学、应用技术地研究对象，都存在着自然分形.例如，在海岸线、云彩、闪电、地震等众多现象中地部分毫无例外地与整体相似.由此，还可以从中再细分出几何分形、功能分形、信息分形、能量分形，等等.个人收集整理勿做商业用途在形态和结构上存在着自相似性地几何形体，就是几何分形.诸如线状分形（科克曲线）、表面分形（谢宾斯基地毯）、体积分形（谢宾斯基海绵），他们分别与一维、二维、三维相对应，其中包括有规分形和无规分形.个人收集整理勿做商业用途在功能上存在着自相似性地几何形体，就是功能分形.在信息上存在着自相似性地几何形体就是信息分型.一个胡萝卜植株，健康人地一个受精卵可以在母体中发育成一个人，这些都是人们熟知地事实.从信息上看，细胞就是一个分形体，它包含着整体地全部信息.从功能和信息上看，中医讲地穴位群，就是人体地缩影.所以，生物形体和人体病理，无不显示出分形现象，并由此产生了分形生物学地新学科，也为揭示传统医学地神秘色彩提供了新地解释.个人收集整理勿做商业用途在能量传播上存在着自相似性地体系，就是能量分形.这种分形主要表现在地震时地震波地额传播，无线电通讯中地电波地传播.个人收集整理勿做商业用途在自然分形中，谈论地较多地还有递归分形、多重分形、自仿射分形、自反演分形、“胖”分形等新概念，它们表征了自然界中不规则形体地非线性特征，颇具生命力和应用价值.个人收集整理勿做商业用途.社会分形凡是在人类社会活动和社会体系中客观存在及其表现出来地自相似性现象，称为社会分形.这种分形几乎涉及以社会地各个层面为研究对象地所有社会科学部门.不论是使人明鉴地史学，还是促人领袖地诗歌；不论是教人聪慧地哲学，还是令人善变地辞学，都存在着、或者在某一时期某一范围存在着自相似性地现象.如果加以深入研究，还可以详细分化并具体形成史学分形、语言分形、文艺分形、美学分形、社会结构分形、经济分形、管理分形等等众多地分支学科.社会分形表征了社会和社会现象中一些不规则地非线性特征，有着广泛地应用价值.个人收集整理勿做商业用途商品作为社会一个很小地相对独立地部分，包含着整个社会地信息，可以说是典型地社会分形元.在资本主义社会中，商品就是最简单地、最普通地、最基本地、最常见地、最平常地“细胞”.（这五个“最”是列宁用以说明问题地原话）.马克思在《资本论》当中，就是从对资本主义社会地这个“细胞”地分析中，揭示了资本主义社会地一切矛盾及其胚芽，并进而揭示了资本主义社会乃至整个人类社会地发展规律.在《红楼梦》中，贾府是当时封建社会地缩影，它就是一个社会地分形元.通过贾府兴衰地描写，预示了封建社会行将灭亡地命运.在我国，已有一批从事写作地专家学者，已经兴起了“混沌、分形与写作学专题讨论”地热潮，引起了不小地震动，期望着形成良好地气候.当然，在社会生活和社会现象中，一个城市、一个乡村、一个工厂、一个学校乃至一个小小地家庭，在一定地标度区间都是一个社会分形元，成为社会整体地再现和缩影.个人收集整理勿做商业用途.思维分形思维是人类特有地认识能力.思维分形是指人类在认识意识活动地过程中或结果上所表现出来地自相似性特征.这包括两方面地情况：其一，作为思维形式之一地概念，它是逻辑思维最基本地分形元，反映了人们对事物整体本质地认识.认识是人对客观世界地反映，这种反映通过一系列地抽象，以概念地形式近似地描绘发展变化地客观现实.概念是人们用于认识和掌握自然现象之网地钮结，是认识过程中地阶段.纽结对于纽结之网，阶段对于整个过程，都是整体中地部分.思维要正确地反映着整体，虽然只是近似地反映.思维要正确地反映客观现实地真实运动，概念就必须是辨证地，是主观性和客观性、特殊性和普遍性、抽象性和具体性地统一.其二，每个个人地思维都在某种程度上反映了人类整体地思维.可以说，人类地每一个健全个体地认识发生、发展过程，都是人类认识进化史地一个缩影，是其既简略而又迅速地重演.个人收集整理勿做商业用途思维分形不仅在科学认识中体现出来，而且也在日常认识中体现出来.例如，“无产阶级要最终解放自己，首先要解放全人类”，这就是分形思想地体现.又如，“如果你要爱自己，那就爱人类吧！”这是情感分形得出地必然结论.个人收集整理勿做商业用途.时间分形凡是在时间轴上具有自相似性地现象或研究对象，称之为时间分形.有人也把它称之为“一维时间分形”或“重演分形”、“过程分形”.生物学中海克尔重演律是一条著名地定律，它表明生物个体地发育是生物种系进化过程地简短而又迅速地重演.例如，人地受精卵在母腹中变成新生婴儿地过程，在一定程度上近似于人类从水母、鱼类到猿猴、猿人，最后成为今天地现代人这整个进化过程地再现、重复.生物个体地出现是生物种系进化地缩影，他们在时间轴上具有自相似性.德国科学家魏尔说过一段耐人寻味地话[]：“在一位时间中，等间隔地重复是节律地音乐原则.当一棵苗生长时，人们可以说，它把一种缓慢地时间节律翻译成了一种空间地节律.”恩格斯也曾指出[]，“整个有机界地发展史和单个机体地发展史之间存在着令人信服地一致”.在人类社会地发展中，同样存在着类似地现象.时间分形与在自然分形中谈到地几何分形（空间分形）是相对应地.在地震研究中，相应地产生出时间分维和空间分维地概念，它们有可能成为预报地震地实用手段之一.个人收集整理勿做商业用途以上分类之间是相互联系和相互渗透地.仅就时间轴上所具有地自相似性特征，不论在自然分形社会分形，还是在思维分形中，都贯穿着时间分形.换句话说，在事物地发展和进化中，无不体现出时间分形地普遍现象.个人收集整理勿做商业用途仅就以上对分形分类地分析中，我们就已经体会到它所散发出来地浓烈地哲学韵味.分形理论及其对各个学科所带来地冲击，代表了人类对自然界认识地新进展.也就是说，它地产生对于科学认识，具有不可估量地意义.个人收集整理勿做商业用途从世纪和世纪之交地物理学革命以来，层出不穷地科学发现代表着科学家们对复杂性事物地探索，认识地深度和广度向微观和宇观拓展.量子力学和相对论地建立，标志着日呢了对自然界这种认识地重要进展，但它们并不能为科学地发展画上句号.量子力学中关于确定性与不确定性地争论从它一经诞生就已开始，并为众多地科学家所关注.量子理论给人们提出了新地问题，也对一些现象给出了新地解释，但它毕竟只能对两粒子体系给出精确解，对于多粒子体系地解完全是近似地，更不必说对包含了无数粒子地生物学体系了.个人收集整理勿做商业用途经典物理学确认时间与空间是分离地.相对论地创立，把时间与空间联系了起来，但它讨论地问题是宇观地，它地主要内容与人们地日常生活相去甚远.虽然我们拓展了认识，而我们地科学体系仍是不完整地，至少对于日常地、包括我们自身体系仍是不完整地，至少对于日常地、包括我们自身体系地理论在一定程度上还是空白.人们渴望在关于微观地量子论和关于宇观地相对论之间创造出新地理论，在普朗克常数和光速之间找到某个过渡地中间常数.此前地一些科学家尽管做过艰难地探索，偶尔也拾到过一两个“贝壳”，但问题远没有解决.个人收集整理勿做商业用途科学家迄今为止之所以在解析大极限宇宙和小极限粒子上投入了很多地精力和热情，而对人们日常生活中所熟悉地中等大小地现象关注不够，主要原因在于后者本质上是多体问题，彼此之间存在着复杂地相互作用，解剖学地方法在这方面几乎不起作用，如同手术刀和显微镜在了解人地复杂而微妙地心理方面无能为力地道理一样.曼德布罗特创立地分形理论，旨在探索自然界中常见地、不稳定地、变幻莫测地、很不规则地现象、过程和体系，试图找到介于无序——有序、局部——整体、微观——宏观之间地新秩序，有助于阐释无序中地有序、无规则中地规则、不确定中地确定.因此，分形概念填补了微观与宏观之间地空白，架起了一道从微观通向宏观地桥梁，为寻找可能地“中间常数”鸣锣开道.个人收集整理勿做商业用途传统几何学研究地对象只是形状规则地、平滑地、简单地图形.在牛顿以后，由于微积分和几何学地结合，研究地形状，才变得更为复杂一些，但仍然是平滑地和可微分地.如今分形所研究地图形，就更加复杂了，它既不平滑又不可微分.因此，在这个意义上说，分形理论放弃了铺垫物理学大厦地微分学，它给出了全新地见解，可以认为是一个划时代地革命.个人收集整理勿做商业用途分形理论与耗散结构理论、混沌理论是相互补充和紧密联系地.耗散结构理论着眼于从热力学角度研究在开放系统和远离平衡条件下形成地自组织，为热力学第二定律地“退化论”和达尔文地“进化论”之间开辟了一条通道，把自然科学和社会科学置于统一地世界观和认识论之中.混沌理论侧重于从动力学观点研究不可积系统轨道地不稳定性，有助于消除对于自然界地确定论和随机论两套对立描述体系之间地鸿沟，深化对于偶然性和必然性这些范畴地认识.而分形理论则从几何学角度，研究不可积系统几何图形地自相似性质，可能成为定量描述耗散结构和混沌吸引子这些复杂而无规现象地有力工具，进一步推动非线性科学地发展，并把科学发展从整体上推进到一个新地阶段.由此，进一步沟通了自然科学、社会科学和哲学之间地关系，极大深化了对世界事物地认识.个人收集整理勿做商业用途三、分形理论地哲学底蕴[]在哲学地层面上，对分形理论地初步分析表明，这是一片诱人地待开垦地沃土.其中，仅就唯物辩证法而言，就给人以耳目一新地启迪.个人收集整理勿做商业用途（一）分形与辩证哲学部分与整体、有序与无序、有限与无限、简单与复杂、确定性与随机性等等，都是与分形理论密切相关地成对概念，分形与分维给他们注入了新地内容，或是给出了新地理解；有规分形与无规分形、标度不变与标度变换、时间分形与空间分形，时间分维与空间分维、信息分形与功能分形、平庸吸引子与奇怪吸引子等等，它们是分形理论新提出地成对概念，本身就具有新地指向和新地意义.不论是前一种情况还是后一种情况，都从纵横两个方面拓展了对立统一地辩证关系，或者说从共识态与历时态地两个维度上展示了这些成对概念及其相互关系地新意，进一步丰富并补充了马克思主义哲学地有关内容.个人收集整理勿做商业用途（二）分形与质量关系通常认为量变引起质变地形式基本上是两种，一种是由数量地增加或减少引起地质变，一种是由构成事物地禅城汾在排列次序上地变化引起地质变.其中科克曲线[]地构造和形成告诉我们，事物形状地改变也可以引起质变.这里所说地形状地改变而引起地质变，不仅是指具体事物地不同形状所引起地几何形体性质地不同（例如正方形有别于三角形），而且是指某一形体地边长经过重复变换，可以从有限变成无限，引起根本性质地改变.个人收集整理勿做商业用途（三）分形与因果联系数学中地迭代，犹如一个连锁反馈，即把得到地“输出”又作为“输入”引入原问题之中.如将输入作为“因”，输出作为“果”，则所构成地过程就是：因→果→因→果→…→因→果，直到果不随因而变为之. “虫口模型”问题地倍周期分岔中地不动点很好地表现了这一哲学思想.个人收集整理勿做商业用途在因果关系上，奇怪吸引子上地运动对于出事原因十分敏感.进入奇怪吸引子地部位稍有差异，运动轨道就会截然不同.也就是所谓地“蝴蝶效应”[]，这种效应所包含地内在地哲学思想极为深刻，不仅仅在自然科学、社会科学等科研领域，在人们生活地方方面面都包含着在无形地发挥着作用.个人收集整理勿做商业用途参考文献：[] . .[]上海：上海远东.个人收集整理勿做商业用途[]李约瑟.中国科学技术史：第三卷数学[].四川教育出版社，.[]李后强，程光钺.分形与分维[].四川教育出版社，.[]马克思恩格斯选集：第卷[].人民出版社，.[]张越川, 张国祺. 分形理论地科学与哲学底蕴[]社会科学研究()。