坐标系与参数方程.
坐标系与参数方程
选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ＞0)，y ′＝μ·y ，(μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标． [试一试]1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3.答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x －y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －y ＝01．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)(2)在[0,2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．[练一练]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin (θ－90°)，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．解析：极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin(θ＋π4)＝ρ22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22， 即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：22平面直角坐标系中的伸缩变换1.(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．函数y ＝sin(2x ＋π4)经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.① 将①代入y ＝sin(2x ＋π4)，得2y ′＝sin(2·12x ′＋π4)，即y ′＝12sin(x ′＋π4)．答案：y ′＝12sin(x ′＋π4)3．双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．解析：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．答案：(－5,0)或(5,0) [类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)y ′＝μ·y ，(μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．极坐标与直角坐标的互化[典例] 中，以坐标原点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 24＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．[解] (1)曲线C 1的方程可化为3(x 2＋y 2)＝12x －10， 即(x －2)2＋y 2＝23.(2)依题意可设Q (4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C 1的圆心坐标为C 1(2,0)． 故|QC 1|＝(4cos θ－2)2＋4sin 2θ ＝12cos 2θ－16cos θ＋8＝23⎝⎛⎭⎫cos θ－232＋23， |QC 1|min ＝263，所以|PQ |min ＝63. [类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2013·安徽模拟)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．解析：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．答案：相交极坐标方程及应用[典例]xOy 中，曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] (1)由已知得，曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ. (2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y ＝4，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2 2.解：由曲线C ，C 1极坐标方程联立 ∴cos 2θ＝34，cos θ＝±32，又ρ≥0，θ∈[0，π2)．∴cos θ＝32，θ＝π6，ρ＝23，故交点极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. [类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练](2013·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3.答案：ρcos θ＝3第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． [练一练]1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．A.23 B ．－23C.32D ．－32解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.答案：－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为__________(填“线段”、“双曲线”、“圆弧”或“射线”)．解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段． 答案：线段1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. [练一练]1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．解析：由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t ＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.答案：|t 1＋t 2|22．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．解析：∵⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′，⎝⎛⎭⎫t ′＝22t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫2－22t ′2＋⎝⎛⎭⎫－1＋22t ′2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2－4×1＝14. 答案：14参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．解析：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.答案：2 62．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m的值是________．解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |5＝1，解得m ＝0或m＝10.答案：0或103．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.解析：由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1， 画图可得，|AB |＝4cos 30°×12＝ 3.答案： 3 [类题通法]参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．参数方程的应用[典例] (2013·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcosα)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．a ×3＝－1，故a ＝33. [类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [针对训练](2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α), 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．极坐标、参数方程的综合应用[在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系． [解] (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[针对训练](2013·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM |＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)． (2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t (t 为参数)．。
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程直角坐标系是由X轴和Y轴组成的二维平面。
在直角坐标系中，一个点的位置可以通过它在X轴和Y轴上的坐标值来确定。
例如，点P的坐标为(x,y)，其中x是点P在X轴上的位置，y是点P在Y轴上的位置。
直角坐标系可以方便地表示直线、抛物线、圆等曲线。
参数方程是一种描述曲线的数学表达方式，其中曲线上的每个点都是由参数变量的函数关系决定的。
参数方程中通常有两个参数变量，例如t和s，分别表示曲线上一些点的位置。
通过固定其中一个参数变量并对另一个参数变量进行取值，可以得到曲线上的一系列坐标点，从而描绘出整个曲线。
参数方程可以用于描述比较复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。
与直角坐标系不同，参数方程可以很方便地表示曲线上的点的倾斜和弯曲程度。
通过调整参数变量的取值范围，还可以对曲线进行调整和变形。
举一个简单的例子来说明直角坐标系和参数方程的区别和应用。
考虑一条直线y=2x+1、在直角坐标系中，我们可以通过给定的函数关系来确定直线上任意点的坐标。
例如，当x=0时，y=1，这表示直线过点(0,1)。
当x=2时，y=5，这表示直线过点(2,5)。
而在参数方程中，我们可以将直线表示为x=t，y=2t+1，其中t是参数变量。
通过对参数变量t进行取值，可以得到直线上的一系列坐标点。
例如，当t=0时，x=0，y=1，这表示直线过点(0,1)；当t=1时，x=1，y=3，这表示直线过点(1,3)。
可以看出，直角坐标系和参数方程在表示曲线上的点的方式上有所不同。
直角坐标系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，而参数方程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标。
在实际应用中，根据不同的需要和问题，我们可以选择使用直角坐标系或参数方程来描述曲线。
直角坐标系更适用于描述直线、抛物线和圆等简单的曲线，而参数方程更适用于描述复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。
通过选择适当的表示方式，我们可以更方便地理解和分析曲线的形状和特性。
总之，坐标系与参数方程是数学中常用的表示曲线的方式。
坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程知识点在数学中，坐标系与参数方程是两个重要且密切相关的概念。
坐标系是我们描述点的位置和相互关系的工具，而参数方程则是一种表示曲线或曲面的常用方法。
让我们来深入了解这两个知识点，它们的应用领域和一些实际问题的解决方法。
一、坐标系在平面几何学和空间几何学中，坐标系用于表示点的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系之一，由两条相互垂直的直线组成。
通常，水平直线被称为x轴，垂直直线被称为y轴。
任何点P都可以通过其与这两条轴的交点来表示，用一个有序数对(x, y)表示。
其中，x 称为横坐标，y称为纵坐标。
这种表示方法可以简化许多几何问题的求解，如计算两点之间的距离、判断点是否在某一区域内等。
2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，用于描述平面上的点。
与直角坐标系不同，它使用极径和极角来表示点的位置。
极径表示点到坐标原点的距离，极角则表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系下，点的坐标用一个有序数对(r, θ)表示。
这种坐标系在描述圆形运动、天文学等领域具有重要应用。
二、参数方程参数方程是一种常用的表示曲线或曲面的方法，它使用一个或多个参数来描述点的位置。
通常，参数方程将x和y（或x、y、z）用一个或多个参数t表示。
1. 二维参数方程对于二维参数方程，曲线上的点可以用参数t与x、y的关系表示。
例如，对于抛物线y = x^2，我们可以使用参数方程x = t和y = t^2来表示。
通过改变参数t的值，我们可以得到这条曲线上的各个点。
参数方程的优势在于它可以描述一些传统的直角坐标系难以表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
此外，参数方程还可以用于描述运动轨迹、弹道轨迹等。
2. 三维参数方程三维参数方程与二维参数方程类似，不同之处在于曲面上的点需要用参数t与x、y、z的关系表示。
例如，对于球体的参数方程x = r *sinθ * cosφ，y = r * sinθ * sinφ，z = r * cosθ，其中r、θ和φ是参数，描述了点与球心的关系。
参数方程
坐标系与参数方程1、平面直角坐标系中的伸缩变换：//,(0),(0)x x y y λλμμ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩2、 ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标。
[注] ：①一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)ρθ建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。
极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角，②负极径的规定：在极坐标系中，（ρ-， θ）与（ρ，θ）关于原点对称。
4、极坐标与直角坐标互化公式：)0(n t ,sin ,cos ,222≠===+=x xya y x y x θθρθρρ 5、球坐标系：空间点P 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 的变换关系：2222sin cos sin sin cos x y z r x r y r z r θϕθϕθ⎧++=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩；6、柱坐标系：空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ的变换关系为：cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；7、参数方程化为普通方程，常见方法有三种：（1）代入法（2）三角消元（注：范围易错） 圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；在极坐标系中，以)2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
坐标系与参数方程
φ， φ
(φ 为参数)．
1．参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三
角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用
解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式 sin2θ＋cos2θ＝1 等． 2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则：曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；
离．
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3．在极坐标系中，求直线 ρ( 3cos θ－sin θ)＝2 与圆 ρ＝4sin θ 的交点的极坐标．
4．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线 C 的方程为 ρ2＝1＋23sin2θ，点 R2 2，π4.
(1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程 化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
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6．已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：x＋y＝2.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同
的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程；
(2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，
在 C3 上，求 a.
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2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－ 2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面 积．
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程坐标系是一种在数学和物理学中使用的图示工具，用于表示和分析平面或空间中的点和图形。
它使用坐标来确定每个点的位置，从而使我们可以准确地描述和研究空间关系和几何图形。
常见的坐标系包括笛卡尔坐标系、极坐标系和参数方程。
笛卡尔坐标系是最常用的坐标系之一、它是由法国哲学家和数学家笛卡尔于17世纪提出的，用于描述平面中的点。
这个坐标系是由两个垂直的轴线组成的，分别称为x轴和y轴。
x轴和y轴的交点称为坐标原点，用(0,0)表示。
通过在x轴和y轴上确定一个点的位置，我们可以使用有序对(x,y)来表示这个点的坐标。
与笛卡尔坐标系不同的是，极坐标系使用极径和极角来表示一个点的位置。
极径是从原点到点的距离，通常用r表示，而极角是从极轴（通常是x轴正方向）到线段的角度，通常用θ表示。
用有序对(r,θ)来表示一个点的极坐标。
参数方程也是一种描述平面中的点的方法，它是通过将x和y的坐标表示为关于一个参数t的函数来定义点的位置。
参数方程通常用来表示曲线和图形的轨迹。
例如，对于一个二维平面上的曲线，我们可以将其参数化为x=f(t)和y=g(t)，其中f和g是关于t的函数。
通过改变参数t的值，我们可以获得曲线上的各个点。
参数方程可以提供更具灵活性的描述方法，而且可以轻松地表达一些复杂的图形。
在实际应用中，坐标系和参数方程都具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以使用坐标系来描述质点在空间中的位置和运动。
在工程学中，坐标系可以用来定位和设计结构物。
在计算机图形学中，坐标系和参数方程可以用来描述和生成图像。
此外，坐标系和参数方程还在统计学、经济学和生物学等领域中得到广泛应用。
总之，坐标系和参数方程是描述和分析平面和空间中点和图形的重要方法。
它们提供了灵活和精确的方式来表示和研究几何图形和物体的位置和运动。
通过了解和应用这些概念，我们能够更好地理解和解决与空间相关的问题。
2024高考数学坐标系与参数方程
2024高考数学坐标系与参数方程数学一直是高考中重要的一门科目，而在数学中，坐标系与参数方程是常见的概念与应用。
本文将围绕2024年高考数学坐标系与参数方程这一题目展开讨论，并通过几个例子来加深我们对这一知识点的理解。
一、坐标系的概念与应用坐标系是数学中表示点的位置的一种方法，常见的有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系由x轴和y轴组成，通过确定点与坐标轴的交点来确定点的位置；而极坐标系则通过半径和极角来表示点的位置。
在解决实际问题中，坐标系有着广泛的应用。
例如，在地图上，我们可以利用坐标系确定两个城市之间的距离；在物理学中，通过坐标系可以确定物体在空间中的位置等。
因此，对坐标系的理解与应用非常重要。
二、参数方程的概念与应用参数方程是一种描述曲线、曲面等几何对象的方法。
它通过一个或多个参数的变化来表示对象上的点的坐标。
常见的参数方程有二维参数方程和三维参数方程。
在数学中，参数方程的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们可以通过参数方程描述质点在空间中的运动轨迹；在计算机图形学中，参数方程可以用来描述各种曲线和曲面等。
因此，对参数方程的理解与应用也是非常重要的。
三、坐标系与参数方程的联系与区别虽然坐标系和参数方程都是描述几何对象的方法，但它们之间存在一定的联系与区别。
首先，坐标系可以通过确定坐标轴和交点来确定点的位置，而参数方程则通过参数的变化来表示点的位置。
其次，坐标系通常是直角坐标系或极坐标系，而参数方程可以是二维参数方程或三维参数方程。
此外，在解决问题时，选择使用坐标系还是参数方程，取决于问题的特点和需要。
对于某些问题，坐标系可能更直观、更方便，而对于另一些问题，参数方程则可能更简洁、更易于处理。
四、案例分析为了更好地理解坐标系与参数方程的应用，我们通过几个案例进行分析。
案例一：求解直线与圆的交点已知直线的方程为y = 2x + 1，圆的方程为x^2 + y^2 = 9。
我们可以将直线和圆的方程转化为参数方程，求解它们的交点。
高中数学坐标系与参数方程
高中数学坐标系与参数方程数学中的坐标系与参数方程是高中数学中的重要概念和工具。
坐标系是一种用于描述和定位点的系统，而参数方程是一种利用参数来描述曲线和图形的方程。
本文将详细介绍坐标系和参数方程的概念、性质以及在解决实际问题中的应用。
一、坐标系坐标系是一种用于描述和定位点的系统。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和空间坐标系等。
其中，直角坐标系是最常用的一种坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系又称笛卡尔坐标系，由两个相互垂直的数轴组成，分别为x轴和y轴。
通过给每个点分配一个唯一的有序数对(x, y)，可以精确定位平面上的任意一点。
2. 极坐标系极坐标系以原点O和极轴作为基准，通过极径r和极角θ来描述平面上的点。
其中，极径r表示原点O到点P的距离，极角θ表示OP 与极轴的正向夹角。
3. 空间坐标系空间坐标系用于描述三维空间中的点。
最常用的空间坐标系是直角坐标系，由三条相互垂直的坐标轴x、y和z组成。
二、参数方程参数方程是一种利用参数来描述曲线、图形或曲面的方程。
通过引入参数，可以更方便地描述和分析不同类型的曲线和图形。
1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，一般使用参数t来描述。
平面曲线的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别是x和y关于参数t的函数。
2. 三维空间曲线的参数方程对于三维空间曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。
通过给定的参数值t，可以确定空间曲线上的每个点的坐标。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u 和v是两个参数。
通过给定不同的参数值，可以得到曲面上的各个点的坐标。
三、坐标系和参数方程的应用坐标系和参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在几何和解析几何中的问题求解过程中起到关键作用。
以下是坐标系和参数方程在实际问题中的应用示例。
1. 几何图形分析通过在直角坐标系或极坐标系中表示几何图形的方程，可以对其进行分析和研究。
直角坐标系与参数方程
直角坐标系与参数方程1. 引言直角坐标系和参数方程是数学中常用的两种描述点、线、曲面等几何对象的方式。
直角坐标系是我们通常使用的坐标系，由x、y、z三个坐标轴组成。
而参数方程是用参数表示点的坐标，通过设定参数的范围，可以绘制出特定曲线或曲面。
在本文中，我们将对直角坐标系和参数方程进行详细介绍，并比较它们在几何描述中的优缺点。
2. 直角坐标系2.1 坐标轴直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别是x轴、y轴和z轴。
x轴与y轴的交点称为原点，通常记为O。
我们可以用(x, y, z)表示直角坐标系中的一个点P，其中x、y、z分别是点P在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2.2 坐标表示在直角坐标系中，我们可以通过两点之间的距离和角度来计算点的坐标。
例如，对于二维坐标系，给定点P的极坐标表示(r, θ)，其中r是点P到原点O的距离，θ是向量OP与x轴的夹角。
对于三维坐标系，我们可以使用球坐标或柱坐标来表示点的位置。
球坐标表示为(r, θ, φ)，其中r是点P到原点O的距离，θ是向量OP在xy平面上的投影与x轴的夹角，φ是向量OP与z轴的夹角。
柱坐标则表示为(r, θ, z)，其中r是点P在xy平面上到原点O的距离，θ是向量OP与x轴的夹角，z是点P在z轴上的投影长度。
2.3 坐标转换在直角坐标系中，我们可以通过坐标之间的转换关系，在不同的坐标系之间进行转换。
例如，球坐标和直角坐标的转换公式为：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ通过这些转换公式，我们可以方便地在直角坐标系中描述各类点、线、曲面等几何对象。
3. 参数方程3.1 参数方程的定义参数方程是用参数表示点的坐标的方式。
给定参数t的范围，我们可以通过参数方程来描述出一条曲线或曲面。
参数方程可以是二维的，用于描述曲线，也可以是三维的，用于描述曲面。
3.2 参数方程与解析几何参数方程与直角坐标系相比，更加灵活且简洁。
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程_知识点总结一、坐标系1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2.极坐标系3.球坐标系球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。
一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。
二、参数方程1.一维参数方程一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。
例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。
2.二维参数方程二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。
一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。
二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。
3.三维参数方程三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。
一个点在空间中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为关于参数t的函数。
三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。
三、坐标系与参数方程的关系坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。
在直角坐标系中，一个函数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。
反之，一个函数的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。
参数方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。
总结：坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。
坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。
完整版坐标系与参数方程知识点
完整版坐标系与参数方程知识点一、坐标系的概念坐标系是为了方便描述平面或空间中点的位置而引入的一种系统。
常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和参数方程坐标系。
二、直角坐标系直角坐标系是最常见的一种坐标系。
在二维空间中，直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴和y轴。
点在直角坐标系中的位置可以用有序数对(x,y)表示，分别代表点在x轴和y轴上的距离。
三、极坐标系极坐标系是一种以原点为中心，以角度和半径表示点的位置的坐标系。
在极坐标系中，点的位置由有序数对(r,θ)表示，其中r代表点到原点的距离，θ代表与正x轴的夹角。
四、参数方程与轨迹参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。
一般形式的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以获得曲线上的一系列点，从而绘制出整条曲线。
五、参数方程与直角坐标系的转换将直角坐标系的点(x,y)转换为参数方程的形式，可以使用以下步骤：1.将x和y分别表示为t的函数：x=f(t)，y=g(t)。
2.给定t的取值范围，求出对应的x和y的取值。
将参数方程的点(x,y)转换为直角坐标系的形式，可以使用以下步骤：1.通过解参数方程的两个方程，消去t，得到一个方程只包含x和y。
2.求解得到与x和y的关系式。
六、参数方程的性质参数方程可以表示各种各样的曲线，具有以下性质：1.参数方程可以用来表示直线、圆、椭圆、双曲线等曲线。
2.参数方程可以描述曲线的形状、方向、起点和终点等信息。
3.参数方程可以通过调整参数的取值范围来绘制出曲线的其中一部分或整条曲线。
七、应用场景参数方程在数学和物理学中有广泛的应用，例如：1.研究物体的运动轨迹，包括抛体运动、行星运动等。
2.描述动态系统的变化过程，如混沌系统、非线性振动等。
3.研究曲线的特殊性质，如曲率、曲线的长度等。
八、参数方程的解析与图像通过解析参数方程，可以得到曲线的方程，从而进一步研究曲线的性质。
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程一、 考点：1。
考查参数方程与普通方程的互化；2。
考查用参数法解决有关直线与直线、直线与圆锥曲线的相关问题。
二、 知识点：01．在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数，并且对于t 的每一个允许值，由该函数中所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么该函数所确定的两个方程就叫做这条曲线的 ，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称 ，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间的方程0),(=y x f 叫 。
2．常用的曲线的参数方程（1）过点),(00y x M ，倾斜角为α的直线的参数方程为 ，其中参数t 的几何意义为 。
(2)圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程为 。
（3）椭圆12222=+by a x 的参数方程为 。
3．参数方程化为普通方程常用的方法有：三、考点演练1. 圆为参数）的圆心到直线（t 为参数）的距离是（ ）A 1BCD 3[解析] 1. 圆的普通方程为, 圆心为(1, －2). 直线的普通方程为, 所以点(1, －2) 到直线的距离为.2.在直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系。
已知点，若极坐标方程为的曲线与直线（为参数）相交于、两点，则。
[解析] 2. 曲线的直角坐标系方程为，圆心在（3，－3），半径为；直线的普通方程为，该直线过圆心，且|OP|=5，所以过点P且垂直于直线的直线被圆截得的弦长为，根据相交弦定理可得.3. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以为极点，射线为极轴的极坐标系中，曲线的方程为，曲线与交于两点，则线段的长度为___________.[解析] 4.因为曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为，又因为曲线的极坐标方成为，所以，所以普通方程为，即，所以圆心到直线的距离为，弦长.4．已知曲线的极坐标方程为，则曲线上点到直线（为参数）距离的最大值为.[解析] 6. 因为，所以，所以，即，其参数方程为（为参数），又因为，所以，所以点到直线的距离为，（为参数），故曲线上点到直线（为参数）距离的最大值为.5．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与交点个数为___________.[解析] 7. 曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.6．若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是______________.7．在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为．当圆上的点到直线的最大距离为时，圆的半径．8．圆C的普通方程为，因为，所以直线的直角坐标方程为，圆心C到直线的距离为2，所以圆上的点到直线的最大距离为2+2r=4，解得r =1. 10.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线（为参数）和曲线相交于两点，设线段的中点为，则点的直角坐标为．[解析] 12. 消去参数t可得曲线C1的普通方程为，曲线，根据可得曲线C2的直角方程为. 设点，联立消x得，则，所以的中点为的纵坐标为，又因为点M在直线上，代入解得，所以中点M的坐标为.9. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 若点为直线上一点，点为曲线为参数）上一点，则的最小值为.[解析] 13. 点在直线：上，点在曲线：上. 由得：. 由得. 两直线，间的距离即为的最小值，所以其最小值为.10．已知直线与圆相交于AB，则以AB为直径的圆的面积为 .[解析] 15. 消掉可得直线方程为，利用可得圆的方程为，联立方程组得交点，交点间距离为，则所求圆的面积为. 另解：因为圆心到直线的距离为，所以，则所求圆的面积为11．在直角坐标系中，曲线的参数方程为；在极坐标系（以原点为坐标原点，以轴正半轴为极轴）中曲线的方程为，则与的交点的距离为____________.[解析] 17. 由得，即为曲线的普通方程，由，，即为曲线的普通方程.由于圆圆心为，又圆心到直线的距离为，圆的半径，弦长，即为曲线与的交点的距离.12．若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是．[解析] 18. 把化为普通方程为，令，则，由于圆心到直线的距离为，又点时圆上任意一点，则，解得，即的取值范围是.13．在直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数，）. 在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的极坐标方程为，若直线与轴、轴的交点分别是椭圆的右焦点、短轴端点，则.[解析] 19.依题意，椭圆的普通方程为，直线的普通方程为，令，则，令，则，，，，.14．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标. [解析] 20.（1）由曲线：得两式两边平方相加得：即曲线的普通方程为：由曲线：得：即，所以即曲线的直角坐标方程为:(2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为所以当时，的最小值为，此时点的坐标为15．在平面直角坐标系中, 以为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为, 直线l的参数方程为: (为参数) ，两曲线相交于, 两点.（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;（Ⅱ）若, 求的值．[解析] 22.(Ⅰ) (曲线的直角坐标方程为, 直线的普通方程. （4分）(Ⅱ) 直线的参数方程为(为参数),代入, 得到, 设, 对应的参数分别为, ，则所以. （7分）16．已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.[解析] 23.（Ⅰ）由，可得所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，曲线的极坐标方程化为参数方程为（5分）（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；, . 17．以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；(Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.[解析] 24.（Ⅰ）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为. （5分）（Ⅱ）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为. （10分）18．已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.[解析] 25.（Ⅰ）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为. （4分）（Ⅱ）设点，则，所以的取值范围是. (10分）19．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．[解析] 26.20．已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是(t是参数) ．(I) 将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(Ⅱ) 若直线与曲线C相交于A，B两点，且，试求实数m的值．[解析] 27.21．已知直线的参数方程为为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．[解析] 28. （1）因为圆的极坐标方程为所以又所以所以圆的普通方程（2）『解法1』：设由圆的方程所以圆的圆心是，半径是将代入得又直线过，圆的半径是，所以所以即的取值范围是『解法2』：直线的参数方程化成普通方程为：…………6分由，解得，…………8分∵是直线与圆面的公共点，∴点在线段上，∴的最大值是，最小值是∴的取值范围是…………10分22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为. 由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.[解析] 30.因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为, 半径为1, （4分）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是，所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是. （10分）23．已知曲线(t为参数) ，(为参数).（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.[解析] 31. 解析（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆.曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆. （4分）（Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. （10分）24．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）. 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由；(Ⅱ) 设直线与直线的两个交点为、，求的值.[解析] 32.（Ⅰ）直线即，直线的直角坐标方程为，点在直线上. （5分）(Ⅱ) 直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有，设两根为，. （10分）25．在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.[解析] 33. （Ⅰ）由得，则直线的普通方程为. 由得曲线的普通方程为. （5分）（Ⅱ）在上任取一点，则点到直线的距离为，当，即时，，此时点. （10分)真题选编1．【2012高考广东文14】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .【答案】(2,1)2．（2013年高考广东卷（文））(坐标系与参数方程选做题) 已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为____________.【答案】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)3．（2013年高考湖南（文））在平面直角坐标系xOy 中,若直线121,:x s l y s =+⎧⎨=⎩(s 为参数)和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)平行,则常数a 的值为_____【答案】44．（2013年高考陕西卷（文））(坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 (t 为参数)的焦点坐标是____________ .【答案】(1, 0)5．（２０１１年）选修4-4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x -y+4=0，曲线C 的参数方程为．（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，），判断点P 与直线l 的位置关系；（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．（2）选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程坐标系是研究平面几何的基本工具之一、它是由两条互相垂直的直线组成的。
这两条直线分别称为x轴和y轴，它们的交点称为原点。
坐标系通过给每个点一个特定的位置来描述平面上的点。
参数方程是用参数的形式来表示曲线或者曲面的方程。
参数方程通常采用参数t来表示，可以用来描述曲线或者曲面上各个点的位置。
通过参数的变化，我们可以得到构成曲线或曲面的各个点的坐标。
下面，我们来详细讨论一下坐标系和参数方程。
1.坐标系：在平面直角坐标系中，我们用有序数对(x,y)表示一个点的位置。
其中，x表示该点到y轴的水平距离，y表示该点到x轴的竖直距离。
这种方法可以将平面上的每个点都唯一地用一对数表示出来。
例如，点A的坐标是(2,3)表示它的x坐标是2，y坐标是3坐标系可以帮助我们确定点之间的位置关系。
通过计算两点之间的距离和角度，我们可以得出很多几何性质。
此外，坐标系还可以方便地描述线段、直线、圆等几何图形。
在三维空间中，我们可以沿每个轴线引入一个新的坐标轴，这样就构成了三维直角坐标系。
类似地，我们用有序数对(x,y,z)来表示一个点的位置，其中x表示到y轴的水平距离，y表示到x轴的竖直距离，z表示到xy平面的高度。
2.参数方程：参数方程主要用于描述曲线或者曲面上的点的位置。
它通常以参数t 的形式表示。
例如，曲线C的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f和g是关于t的函数。
我们可以通过改变参数t的值来得到曲线上的不同点的坐标。
与直角坐标系不同，参数方程可以帮助我们更好地描述复杂的曲线。
例如，用参数方程可以很容易地描述一个圆的轨迹，而在直角坐标系中，这个描述就相对复杂。
参数方程的优点是可以表示一些复杂的曲线或者曲面，并且可以通过改变参数t的值来得到曲线或曲面上的不同点。
然而，参数方程也有一些缺点。
比如，在分析曲线和曲面的性质时，往往需要进行复杂的计算。
此外，在参数方程中，曲线的方程可能是隐式的，不容易直观地理解。
坐标系与参数方程 课件
=
= -2 + ,
为参数),直线 l2 的参数方程为
(m 为参数).设 l1 与 l2 的
=
交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos
θ+sin θ)- 2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.
= cos,
为
(θ 为参数),过点(0,- 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与☉O 交
= sin
于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?
-21-
解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.
π
当 α= 时,l 与☉O 交于两点.
即曲线 C
2
2
的直角坐标方程为 + =1.
16
9
-12-
(2)因为曲线 C 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 A,B,所以
A(4,0),B(0,3).
所以直线 AB 的方程为 3x+4y-12=0.
设 P(4cos θ,3sin θ),则 P 到直线 AB 的距离为
|12cos+12sin-12|
2
3
10
代入 ρ2(cos2θ-sin2θ)=4 得 ρ2=5,
所以交点 M 的极径为 5.
10
-25-
思考如何把直角坐标方程化为极坐标方程?
-9-
解 (1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2,C2 的极坐标方程为
坐标系和参数方程
坐标系和参数方程介绍坐标系和参数方程是数学中常用的工具，它们用来描述和分析平面和空间中的几何问题。
坐标系是一种用来标定位置的系统，而参数方程是一种用参数表示坐标的方式。
在本文中，我们将深入探讨这两个概念的原理、应用以及它们在几何问题中的作用。
坐标系：呈现空间位置坐标系是描述平面或空间中点的位置的一种方法。
它由一组坐标轴以及原点组成。
在平面坐标系中，通常有两条垂直的轴，分别称为x轴和y轴。
在三维空间中，可以有三条互相垂直的轴，分别称为x轴、y轴和z轴。
笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是最常见的坐标系之一。
在二维平面中，它由x轴和y轴组成，原点为坐标轴的交点。
在三维空间中，笛卡尔坐标系由x轴、y轴和z轴组成，原点为坐标轴的交点。
我们可以使用有序对或三元组来表示点的位置。
极坐标系极坐标系是另一种常见的坐标系，它用来描述平面上的点。
在极坐标系中，一个点的位置由它到原点的距离（称为极径）和与x轴的夹角（称为极角）来表示。
极径通常用正实数表示，极角可以使用度或弧度来度量。
其他坐标系除了笛卡尔坐标系和极坐标系，还有其他一些坐标系，如球坐标系、柱坐标系等。
不同的坐标系适用于不同的问题和计算方法。
理解这些坐标系及其转换关系对于解决几何问题非常有帮助。
参数方程：描述曲线和曲面参数方程是一种用参数表示几何对象坐标的方式。
它通常用于描述曲线和曲面。
一个参数方程可以由参数的函数构成，每个参数对应一个坐标。
曲线的参数方程对于平面曲线，参数方程可以用参数t表示曲线上的点。
例如，对于直线y = 2x + 3，可以将x表示为t，然后通过参数方程x = t，y = 2t + 3来描述直线上的点。
通过改变参数t的值，我们可以获得直线上的所有点。
曲面的参数方程对于曲面，参数方程可以用两个参数u和v表示曲面上的点。
例如，球体可以使用参数方程x = r * sin(u) * cos(v)，y = r * sin(u) * sin(v)，z = r * cos(u)来表示，其中r是球的半径，u和v是参数的取值范围。
高中数学·选修：坐标系与参数方程
高中数学·选修：坐标系与参数方程
在学习高中数学课程时，我们经常会遇到数学中最重要的两个概念：坐标系和参数方程。
下面我们将对这两个概念进行详细介绍。
首先，坐标系是一种两维或三维的笛卡尔坐标系，它将空间中的点标记为坐标（x，y）或（x，y，z）。
坐标系最常用于定位空间中的点，因为它将空间中的概念转换为数学模型。
如果要知道一个点在空间里的位置，只需要计算这个点在坐标系中的坐标即可。
坐标系的方位有四种，分别是极坐标系、直角坐标系、正负坐标系和球面坐标系。
另外，在其他数学科学中，坐标系也经常被使用，比如在动力学中，坐标系更多的是用来跟踪移动物体的位置。
其次，参数方程是指基于参数的一系列数学方程式。
参数方程的格式是：y=f（x），其中x和y是参数，f（x）是x和y的函数关系。
通过参数方程，可以描述一个特定点在空间中的位置，也可以将它们转换为坐标系中的数学模型。
参数方程有很多种，如线性方程，抛物线方程，圆方程，三次方程等。
最后，坐标系和参数方程有着密切的关系，一般来说，坐标系用于定位空间中的点，而参数方程则可以将这些点转换为可视化的数学模型。
换句话说，坐标系可以用来定位空间中的点，而参数方程则可以将这些点转换为可以方便描述空间中点的轨迹。
总之，坐标系和参数方程对学习高中数学有着非常重要的意义。
坐标系可以用来定位空间中的点，而参数方程可以将这些点转换为可以方便描述空间中点的轨迹。
希望本文能够帮助读者更好地理解这两
个概念，从而更好地学习数学。
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程高考考点考点解读参数方程1.直线、圆、椭圆、抛物线的参数方程2．参数方程与普通方程的互化极坐标1.常见的直线及圆的极坐标方程2．极坐标方程与直角坐标方程的互化Z知识整合h i s h i z h e n g h e1．直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则x＝ρc o sθ，y＝ρs i nθ，{ρ2＝x2＋y2，t a nθ＝yx(x≠0).{2．圆的极坐标方程(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρc o s(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；②当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2a c o sθ；③当圆心位于M(a，π2)，半径为a：ρ＝2a s i nθ.3．直线的极坐标方程(1)若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρs i n(θ－α)＝ρ0s i n(θ0－α)．(2)几个特征位置的直线的极坐标方程①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρc o sθ＝a；③直线过M(b，π2)且平行于极轴：ρs i nθ＝b.4．几种常见曲线的参数方程(1)圆①以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是x＝a＋r c o sα，y＝b＋r s i nα，{其中α是参数．②当圆心在(0,0)时，方程为x＝r c o sα，y＝r s i nα，{其中α是参数．(2)椭圆①椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的参数方程是x＝a c o sφ，y ＝b s i nφ，{其中φ是参数．②椭圆x2b2＋y2a2＝1(a>b >0)的参数方程是x ＝b c o sφ，y ＝a s i nφ，{其中φ是参数．(3)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是x＝x0＋t c o s α，y＝y 0＋t s i n α，{其中t 是参数．5．直线参数方程中参数t的几何意义过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x 0＋t c o sα，y＝y0＋t s i nα{(t为参数)①.通常称①为直线l的参数方程的“标准式”，其中参数t的几何意义是：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.当0<α<π时，s i nα>0，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上．此时，若t>0，则M0M→的方向向上；若t<0，则M0M→的方向向下；若t＝0，则点M与点M0重合，即当点M在M0上方时，有t＝|M0M→|；当点M在M0下方时，有t＝－|M0M→|.1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系x O y中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l 过点且与垂直，垂足为P．（1）当时，求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段O M上时，求P点轨迹的极坐标方程．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系O x中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在M 上，且，求P的极坐标．4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点，直线l 的方程为．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．5．(2018·全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系x O y中，曲线C1的方程为y＝k x||＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρc o sθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程．(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．6．(2018·全国卷Ⅱ，22)在直角坐标系x O y中，曲线C的参数方程为x＝2c o sθ，y＝4s i nθ{(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋t c o sα，y＝2＋t s i nα，{(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程．(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．7．(2018·全国卷Ⅲ，22)在平面直角坐标系x O y中，⊙O的参数方程为x＝c o sθ，y＝s i nθ{(θ为参数)，过点0，－2()且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求A B中点P的轨迹的参数方程．命题方向1直角坐标与极坐标的互化与应用例1(2018·江苏一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρc o s(θ－π4)＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．例1G跟踪训练e n z o n g x u n l i a n(2017·全国卷Ⅱ，22)在直角坐标系x O y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρc o sθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段O M上，且满足|O M|·|O P|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为(2，π3)，点B在曲线C2上，求△O A B面积的最大值．命题方向2参数方程与普通方程的互化及应用例2(2018·衡水一模)已知直线l的参数方程为x＝t，y＝m t{(t为参数)，圆C的参数方程为x＝c o sα，y＝1＋s i nα{(α为参数)．(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于2，求实数m的取值范围；(2)若点A的坐标为(2,0)，动点P在圆C上，试求线段P A的中点Q的抛迹方程．例2G跟踪训练e n z o n g x u n l i a n(2017·全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系x O y中曲线C的参数方程为x＝3c o sθ，y＝s i nθ{(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t{(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.命题方向3极坐标方程与参数方程的综合应用例3在直角坐标系x O y中，曲线C1：x＝t c o sα，y＝t s i nα{(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2s i nθ，C3：ρ＝23c o sθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|A B|的最大值．例3G跟踪训练e n z o n g x u n l i a n在直角坐标系x O y中，曲线C1的参数方程为x＝3c o sα，y＝s i nα{(α为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρs i n(θ＋π4)＝42.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．1．在直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为x＝3－32t，y＝12t.{(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系x O y中相同)的极坐标系中，曲线C的方程为ρ＝2a c o sθ(a>0)，l与C相切于点P.(1)求C的直角坐标方程；(2)求切点P的极坐标．2．在平面直角坐标系x O y中，椭圆C方程为x＝5c o sφ，y＝3s i nφ，{(φ为参数)．(1)求过椭圆的右焦点，且与直线m：x＝4－2t，y＝3－t，{(t为参数)平行的直线l的普通方程．(2)求椭圆C的内接矩形A B C D面积的最大值．3．(2018·邯郸一模)在平面直角坐标系x O y中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝2s i nθ，ρc o s(θ－π4)＝2.(1)求C1和C2交点的极坐标；(2)直线l的参数方程为：x＝－3＋32t，y＝12t{(t 为参数)，直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|P A|＋|P B|.4．(2017·全国卷Ⅲ，22)在直角坐标系x O y中，直线l1的参数方程为x＝2＋t，y＝k t{(t为参数)，直线l2的参数方程为x＝－2＋m，y＝mk{(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(c o sθ＋s i nθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．5．(2016·全国卷Ⅰ，23)在直角坐标系x O y中，曲线C1的参数方程为x＝a c o s t y＝1＋a s i n t {(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4c o sθ. (Ⅰ)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足t a nα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.6．(2018·邵阳三模)在直角坐标系x O y中，直线的参数方程为x＝1＋t c o sαy＝t s i nα{(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝22c o s(θ＋π4)．(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线．(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为(1,0)，试求当α＝π4时，|P A|＋|P B|的值．7．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．8．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数）．直线与曲线分别交于两点．（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，求的值．9．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线的参数方程为（t 为参数），曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于A、B两点，点．（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．10．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）已知射线（其中）与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长．11．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系中，曲线的参数标方程为（其中为参数），在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程；（2）求直线与曲线的公共点的极坐标．12．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线与曲线的交点分别为，，求．13．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程（为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．（1）写出曲线的参数方程；（2）设点，直线与曲线的两个交点分别为，求的值．答案真题1【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为．的直角坐标方程为．（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）．C上的点到的距离为．当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为．真题2【解析】（1）因为在C上，当时，．由已知得．设为l上除P的任意一点．在中，，经检验，点在曲线上．所以，l的极坐标方程为．（2）设，在中，即．因为P在线段O M上，且，故的取值范围是．所以，P点轨迹的极坐标方程为．真题3【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，．所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．（2）设，由题设及（1）知若，则，解得；若，则，解得或；若，则，解得．综上，P 的极坐标为或或或．真题4【解析】（1）设极点为O ．在△O A B 中，A （3，），B （，），由余弦定理，得AB =．（2）因为直线l 的方程为，则直线l 过点，倾斜角为．又，所以点B 到直线l 的距离为．真题5[解析](1)由x ＝ρc o s θ，y ＝ρs i n θ，x 2＋y 2＝ρ2得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上可得，k ＝－43，C 1的方程为：y＝－43|x |＋2.真题6[解析](1)曲线C 的直角坐标方程为x24＋y 216＝1.当c o s α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝t a n α·x ＋2－t a n α，当c o s α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3c o s 2α)t 2＋4(2c o s α＋s i n α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2c o s α＋s i n α)1＋3c o s 2α，故2c o s α＋s i n α＝0，于是直线l 的斜率k ＝t a n α＝－2.真题7[解析](1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记t a n α＝k ，则l 的方程为y ＝k x －2.l 与⊙O 交于两点当且仅当21＋k2||<1，解得k <－1或k >1，即α∈π4，π2()或α∈π2，3π4().综上，α的取值范围是π4，3π4().(2)l 的参数方程为x ＝t c o s α，y ＝－2＋t s i n α，{(t 为参数，π4<α<3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2－22t s i n α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22s i n α，t P＝2s i n α.又点P 的坐标(x ，y )满足x ＝t Pc o s α，y ＝－2＋t Ps i n α.{所以点P 的轨迹的参数方程是x ＝22s i n 2α，y ＝－22－22c o s 2α{(α为参数，π4<α<3π4)．例1[解析](1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρc o s (θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(c o s θc o s π4＋s i n θs i n π4)＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1，化为极坐标方程为ρc o s θ＋ρs i n θ＝1，即ρs i n (θ＋π4)＝22.例1G 跟踪训练e n z o n g x u n l i a n [解析]设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|O P |＝ρ，|O M |＝ρ1＝4c o s θ.由|O M |·|O P |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4c o s θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB>0)．由题设知|O A |＝2，ρB ＝4c o s α，于是△O A B 的面积S ＝12|O A |·ρB·s i n ∠A O B ＝4c o s α·|s i n (α－π3)|＝2|s i n (2α－π3)－32|≤2＋3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋3.所以△O A B 面积的最大值为2＋3.例2[解析](1)直线l 的参数方程为x ＝t ，y ＝m t{(t 为参数)，普通方程为y ＝mx ，圆C 的参数方程为x ＝c o s α，y ＝1＋s i n α{(α为参数)，普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，圆心到直线l 的距离d ＝1m 2＋1，相交弦长＝21－1m 2＋1，所以21－1m 2＋1≥2，所以m ≤－1或m ≥1.(2)设P (c o s α，1＋s i n α)，Q (x ，y )，则x ＝12(c o s α＋2)，y ＝12(1＋s i n α)，消去α，整理可得线段P A 的中点Q 的轨迹方程(x －1)2＋(y －12)2＝14.例2G 跟踪训练e n z o n g x u n l i a n [解析](1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，{解得x ＝3，y ＝0{或x ＝－2125，y ＝2425.{从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，(－2125，2425)．(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3c o s θ，s i n θ)到l 的距离为d ＝|3c o s θ＋4s i n θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.例3[解析](1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y2－23x ＝0.联立x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，{解得x ＝0，y ＝0{或x ＝32，y ＝32.{所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(32，32)．(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2s i n α，α)，B 的极坐标为(23c o s α，α)．所以|A B |＝|2s i n α－23c o s α|＝4s i n (α－π3)||.当α＝5π6时，|A B |取得最大值，最大值为4.例3G 跟踪训练e n z o n g x u n l i a n [解析](1)对于曲线C 1有x3＝c o s α，y ＝s i n α，{则(x 3)2＋y 2＝c o s 2α＋s i n 2α＝1，即C 1的普通方程为x 23＋y2＝1.对于曲线C 2有ρs i n (θ＋π4)＝22ρ(c o s θ＋s i n θ)＝42⇔ρc o s θ＋ρs i n θ＝8⇔x ＋y －8＝0，所以C 2的直角坐标方程为x ＋y －8＝0.(2)显然椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上点P (3c o s α，s i n α)到直线x ＋y －8＝0的距离为d ＝|3c o s α＋s i n α－8|2＝2s i n (α＋π3)－82||，当s i n (α＋π3)＝1时，d 取最小值为32，此时点P 的坐标为(32，12)．强化练1[解析](1)l 表示过点(3,0)倾斜角为120°的直线，曲线C 表示以C ′(a ,0)为圆心，a 为半径的圆∵l 与C 相切，∴a ＝12(3－a )，⇒a ＝1.于是曲线C 的方程为ρ＝2c o s θ，∴ρ2＝2ρc o s θ，于是x 2＋y 2＝2x ，故所求C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.(2)∵∠P O C ′＝∠O P C ′＝30°，∴O P ＝3.∴切点P 的极坐标为(3，π6)．强化练2[解析](1)由C 的参数方程可知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴右焦点F 2(4,0)，将直线m 的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0，所以k ＝12，于是所求直线方程为x －2y －4＝0.(2)由椭圆的对称性，取椭圆在第一象限部分(令0≤φ≤π2)，则S ＝4|x y |＝60s i n φc o s φ＝30s i n 2φ，∴当2φ＝π2时，S ma x＝30，即矩形面积的最大值为30.强化练3[解析](1)C 1，C 2极坐标方程分别为ρ＝2s i n θ，ρc o s (θ－π4)＝2，化为直角坐标方程分别为x 2＋(y －1)2＝1，x ＋y －2＝0.得交点坐标为(0,2)，(1,1)．即C 1和C 2交点的极坐标分别为(2，π2)，(2，π4)．(2)把直线l 的参数方程：x ＝－3＋32t ，y ＝12t {(t 为参数)，代入x 2＋(y －1)2＝1，得(－3＋32t )2＋(12t －1)2＝1，即t 2－4t ＋3＝0，t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝3，所以|P A |＋|P B |＝4.强化练4[解析](1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得y ＝k (x －2)，y ＝1k(x ＋2)，{消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(c o s 2θ－s i n 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立ρ2(c o s 2θ－s i n 2θ)＝4，ρ(c o s θ＋s i n θ)－2＝0{得c o s θ－s i n θ＝2(c o s θ＋s i n θ)．故t a n θ＝－13，从而c o s 2θ＝910，s i n 2θ＝110.代入ρ2(c o s 2θ－s i n 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为5.强化练5[解析](Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρc o s θ，y ＝ρs i n θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρs i n θ＋1－a 2＝0.(Ⅱ)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组ρ2－2ρs i n θ＋1－a 2＝0，ρ＝4c o s θ.{若ρ≠0，由方程组得16c o s 2θ－8s i n θc o s θ＋1－a 2＝0，由已知t a n θ＝2，可得16c o s 2θ－8s i n θc o s θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a＝1.强化练6[解析](1)曲线C ：ρ＝22c o s (θ＋π4)，可以化为ρ2＝22ρc o s (θ＋π4)，ρ2＝2ρc o s θ－2ρs i n θ，因此，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0.它表示以(1，－1)为圆心，2为半径的圆．(2)当α＝π4时，直线的参数方程为x ＝1＋22t ，y ＝22t {(t 为参数)点P (1,0)在直线上，且在圆C 内，把x ＝1＋22t ，y ＝22t ，{代入x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0中得t 2＋2t －1＝0.设两个实数根为t 1，t 2，则A ，B 两点所对应的参数为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－1.所以|P A |＋|P B |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝6.强化练7【解析】（1）当时，直线的参数方程为．消去参数t 得．由曲线C 的极坐标方程为，得，将，及代入得，即；（2）由直线的参数方程为（为参数，），可知直线是过点P （–1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆，所以易知点P （–1，1）在椭圆C 内，将代入中，整理得，设A ，B 两点对应的参数分别为，则，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围为．【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段A B的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：（1）；（2）；（3）；（4）．强化练8【解析】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即，直线的普通方程为．（2）将直线的参数方程代入并化简、整理，得．因为直线与曲线交于两点．所以，解得．由根与系数的关系，得．因为点的直角坐标为，在直线上．所以，解得，此时满足．且，故．强化练9【解析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为，（2）直线的参数方程改写为（t为参数），代入，．强化练10【解析】（1）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为．（2）依题意，∵，∴，，，∴，∴．强化练11【解析】（1）消去参数，得曲线的直角坐标方程．将代入，得．所以曲线的极坐标方程为．（2）将与的极坐标方程联立，消去得．展开得．因为，所以．于是方程的解为，即．代入可得，所以点的极坐标为．强化练12【解析】（1）因为，所以，即，所以曲线表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线．（2）设点，点直线过抛物线的焦点，则直线参数方程为化为一般方程为，代入曲线的直角坐标方程，得，所以所以．强化练13【解析】（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为，整理得，∴曲线的参数方程（为参数）．（2）将直线的参数方程化为标准形式为（为参数），将参数方程带入得整理得．，．。
坐标系和参数方程
03 参数方程与直角坐标系的 关系
参数方程转化为直角坐标系
01
参数方程中的x和y可以表示为t的 函数，通过消去参数t，可以得到 对应的直角坐标系方程。
02
例如，参数方程x=t，y=t^2可以 转化为直角坐标系方程y=x^2。
直角坐标系转化为参数方程
对于任意一个直角坐标系中的点P(x,y)， 可以通过引入参数t，得到对应的参数 方程。
化的轨迹。
参数方程中的参数t可以 表示曲线上点的位置、 方向、速度或加速度等
几何量。
参数方程的应用场景
在物理学中，参数方程常用于描述物体的运动轨 迹，例如行星的运动轨迹、摆线的轨迹等。
在工程学中，参数方程常用于描述机器零件的轮 廓线、电路板上的线路等。
在数学中，参数方程常用于解决几何、代数和微 积分等问题，例如求曲线的长度、面积等。
例如，点P(x,y)的参数方程可以表示为 x=t，y=t^2。
参数方程与直角坐标系的优缺点比较
01
参数方程的优点在于能够清晰地表示点的运动轨迹，适用于描 述具有特定规律的曲线。
02
直角坐标系的优点在于能够方便地进行几何运算和解析几何分
析，适用于解决代数问题。
参数方程和直角坐标系各有其适用场景，在解决实际问题时，
02
参数方程的一般形式为：x=f(t), y=g(t)，其中t为参数。
03
参数方程中的参数t可以看作是描述曲线上的点在某
一方向上的变化量。
参数方程的几何意义
01
02
03
在平面直角坐标系中， 参数方程表示一条曲线 ，其中x和y是参数t的函
数。
当参数t变化时，曲线上 的点会沿着曲线的轨迹 移动，形成一条连续变
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“坐标系与参数方程”
的地位与作用
1. 本专题是“平面解析几何初步”、 “圆锥曲线与方程”的延续与拓广；
内容 ：坐标系、参数方程
方法 ：代数形式刻画几何图形
2. 解析几何与函数、三角函数、向 量等内容的综合应用；
3. 阶段分科小结 —— 促进数学观念 的形成 。
坐标系
内容与结构
直角坐标系 极坐标系 球坐标系与柱坐标系
参数方程的应用 常用曲线的参数方程
参数思想
摆线
球坐标系与柱坐标系 —— 空间坐标系（了解）
曲线的极坐标方程
注意与曲线的直角坐标方程对比
—— 内容与方法 ——体会坐标系思想及解析法
曲线的方程 —— “一般 — 特殊”
直线的极坐标方程 ： sin( ) 0 sin(0 )
圆的极坐标方程 ： 2 20 cos( 0) 02 r2 0
圆锥曲线的极坐标方程 ：
曲线的极 坐标方程
平面坐标系 中的变换
平移变换、 伸缩变换
意义
参数方程
意义、互化、应用、欣赏
直线、圆、 圆锥曲线
编写意图与教法建议
坐标系
坐标系是一个参照系，它是实现几何 图形与代数形式互相转化的基础 ;
直角坐标系 —— 复习（对称、斜率、方程等）
体会坐标系思想
极坐标系 —— 重点内容（意义、对称、互化）
— 距离不变
伸缩变换
kk21xy
x' y'
— 点的共线性不变
阅读
极坐标系下旋转变换
参数方程
参数方程是曲线的又一种表现形式 ；
—— 参数思想 间接方式
参数方程的物理意义在于将一个复杂
的运动转化为两个简单运动的合运动 。
—— 化归思想
弹道曲线引入 —— 理解参数方程意义
常用曲线的参数方程 —— 通过例题完善
4—4
坐标系 与参数方程
——教材分析
系列4：由10个专题组成
* 选修4 – 1 ：几何证明选讲； * 选修4 - 2 ：矩阵与变换；
选修4 - 3 ：数列与差分； * 选修4 - 4 ：坐标系与参数方程； * 选修4 - 5 ：不等式选讲；
选修4 - 6 ：初等数论初步； 选修4 - 7 ：优选法与试验设计初步； 选修4 - 8 ：统筹法与图论初步； 选修4 - 9 ：风险与决策； 选修4 - 10：开关电路与布尔代数。
ep 1 e cos
重点 —— 过极点的直线与圆、 垂直或平行于极轴的直线、
圆心在极轴上的圆
平面坐标系中的几种变换
两个基本问题
如何用代数形式刻画变换 ？ 在变换作用下平面图形的变化情况 ？
平移变换 (x, y) (h, k) (x ', y ') (h, k)
x
y
h k
x' y'