6.4 全微分-习题

1．求当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时，函数23
z x y =的全微分及全增量的值。

【解】⑴求全微分
【解法一】由偏导数入手
由23
z x y =得32x z xy =，223y z x y =，
所以3
(2,1)22(1)4x z -=⨯⨯-=-，22(2,1)32(1)12y z -=⨯⨯-=，
于是得函数23
z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全
微分为40.0212(0.01)0.20dz =-⨯+⨯-=-。

【解法二】由微分入手
对2
3
z x y =在等号两边求微分，得3
2
2
23dz xy dx x y dy =+， 代入2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-，得
32222(1)0.0232(1)(0.01)dz =⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯-0.20=-。

⑵求全增量
由全增量公式(,)(,)z z x x y y z x y ∆=+∆+∆-
得函数2
3
z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全增量为
(2.02, 1.01)(2,1)z z z ∆=---23232.02)( 1.01)(2)(1)=---(
4.0804( 1.030301)4(1)=⨯--⨯- 4.20404020044=-+
0.2040402004
=-0.20404-
2．求下列各函数的全微分： ⑴ln(xy
z e x y =++）；
【解法一】先求偏导数，得1xy
x z ye x y =+
+，1xy
y z xe x y
=++， 于是得 x y dz z dx z dy =+11
()()xy
xy ye dx xe dy x y x y
=+
++++。

【解法二】直接微分，得1
()(xy
dz e ydx xdy dx dy x y
=++
++） 整理得 11()()xy
xy dz ye dx xe dy x y x y
=+
++++ ⑵sin(z xy =）；
【解法一】先求偏导数，得cos()x z xy y =⋅，cos()y z xy x =⋅，
于是得 x y dz z dx z dy =+cos()cos()y xy dx x xy dy =+
cos()()xy ydx xdy =+。

【解法二】直接微分，得cos()(dz xy d xy =）cos()()xy ydx xdy =+ ⑶2
arctan()u x y =-； 【解法一】先求偏导数，
得2
22
1[()]'1[()]
x x z x y x y =
⋅-+-42()()'1()x x y x y x y -=⋅-+-42()1()x y x y -=+- 2
22
1[()]'1[()]y y
z x y x y =
⋅-+-42()()'1()y x y x y x y -=⋅-+-42()1()x y x y --=+-， 于是得 x y dz z dx z dy =+44
2()2()
1()1()
x y x y dx dy x y x y --=
-+-+- 4
2()
()1()x y dx dy x y -=
-+-
【解法二】直接微分，得222
1()1[()]dz d x y x y =
⋅-+-42()()1()x y d x y x y -=-+- 4
2()
()1()
x y dx dy x y -=
-+- ⑷yz
u x =。

【解法一】先求偏导数，得1yz x u yzx -=，ln yz y u x x z =⋅，ln yz
z u x x y =⋅
于是得 x y z du u dx u dy u dz =++1ln ln yz yz yz
yzx dx x x zdy x x ydz -=+⋅+⋅
(
ln ln )yz yz
x dx z xdy y xdz x
=++ 【解法二】由于ln yz
x u e
=ln yz x e =
直接微分，得 ln (ln )yz x
du e
d yz x =1
(ln ln )yz x z xdy y xdz yz dx x
=++
3．求下列函数在给定点处的全微分： ⑴2
2
ln(1)z x y =++，点(1,2)； 【解法一】先求偏导数，得2222
1(1)'1x x z x y x y
=
++++22
21x
x y =++，
22
21y y
z x y
=
++ 于是得 x y dz z dx z dy =+2222
2211x y
dx dy x y x y =+++++222()1xdx ydy x y +=++ 在点(1,2)处，有222(12)112dx dy dz +=
++23
dx dy
+=。

【解法二】直接微分，得222
2
1
(1)1dz d x y x y
=
++++2
2
1(22)1xdx ydy x y
=
+++
在点(1,2)处，有22
2(12)112
dz dx dy =
+++1
(2)3dx dy =+ ⑵sin()x y
z x x y e
-=++，点(
,)44
ππ
；
【解法一】先求偏导数，得
sin()cos()()'()'x y x x x z x y x x y x y e x y -=+++⋅++-
sin()cos()x y x y x x y e -=++++
cos()()'()'x y y y y z x x y x y e x y -=+⋅++-cos()x y x x y e -=+-
得 44
(
,)sin()cos()4444444
x z e ππ
ππ
πππππ
-
=++++0104
e π
=+
⨯+2=
4
4
(,)cos()44444
y z e πππππππ
-=+-004
e π
=
⨯-1=-
于是得所求点的全微分为2dz dx dy =-。

【解法二】直接微分，得sin()cos()()()x y
dz x y dx x x y d x y e
d x y -=+++++-
sin()cos()()()x y x y dx x x y dx dy e dx dy -=+++++-
代入点(
,)44
ππ，得 4
4
sin()cos()()()44444
dz dx dx dy e dx dy πππ
ππππ
-=+++++-
010()()4
dx dx dy e dx dy π
=+
⨯⨯++-
dx dx dy =+-2dx dy =-
⑶(1)ln(1)x y
z xe
x y +=+++，点(1,0)。

【解法一】先求偏导数，得
()'1ln(1)x y x y x x z e xe x y y ++=+++⋅+ln(1)x y x y e xe y ++=+++
1
()'(1)
(1)'1x y y y y z xe x y x y y
+=+++⋅++11x y x xe y ++=++
代入点(1,0)，得
1010(1,0)1ln(10)x z e e ++=+++2e =
1011
(1,0)110
y z e ++=+
+2e =+ 于是有2(2)dz edx e dy =++
【解法二】直接微分，得
()ln(1)(1)(1)ln(1)x y x y dz e dx xe d x y y d x x d y ++=++++++++
1
()ln(1)(1)
1x y x y e dx xe dx dy y dx x dy y
++=+++++++ 代入点(1,0)，得
101011
1()ln(10)10
dz e dx e dx dy dx dy +++=+++++
+ ()02edx e dx dy dy =++++ 2(2)edx e dy =++
4
【解】令(,)f x y =
33
(,)()df x y x y =
+22)x dx y dy =
+
代入1x =，2y =，0.02x ∆=，0.03y ∆=-， 得22
0.022(0.03)]df =
⨯+⨯-0.05=-，
于是由(,)(,)(,)f x x y y f x y df x y +∆+∆-≈，得
0.022=30.05 2.95=-=
5．设矩形的边长6x m =，8y m =，若x 边增加2mm ，而y 边减少5mm ，求矩形的对角线和面积变化的近似值。

【解】矩形的对角线长为L =
S xy =，
得
dL =
，dS ydx xdy =+，
代入6x =，8y =，0.02x ∆=，0.05y ∆=-，得 对角线变化的近似值为
dL =
0.028=-（m ） 2.8=-mm
面积变化的近似值为80.026(0.05)dS =⨯+⨯-0.14=-（2
m ）2
14000mm =-。