6.4 全微分-习题

1．求当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时，函数23

z x y =的全微分及全增量的值。

【解】⑴求全微分

【解法一】由偏导数入手

由23

z x y =得32x z xy =，223y z x y =，

所以3

(2,1)22(1)4x z -=⨯⨯-=-，22(2,1)32(1)12y z -=⨯⨯-=，

于是得函数23

z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全

微分为40.0212(0.01)0.20dz =-⨯+⨯-=-。

【解法二】由微分入手

对2

3

z x y =在等号两边求微分，得3

2

2

23dz xy dx x y dy =+， 代入2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-，得

32222(1)0.0232(1)(0.01)dz =⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯-0.20=-。

⑵求全增量

由全增量公式(,)(,)z z x x y y z x y ∆=+∆+∆-

得函数2

3

z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全增量为

(2.02, 1.01)(2,1)z z z ∆=---23232.02)( 1.01)(2)(1)=---(

4.0804( 1.030301)4(1)=⨯--⨯- 4.20404020044=-+

0.2040402004

=-0.20404-

2．求下列各函数的全微分： ⑴ln(xy

z e x y =++）；

【解法一】先求偏导数，得1xy

x z ye x y =+

+，1xy

y z xe x y

=++， 于是得 x y dz z dx z dy =+11

()()xy

xy ye dx xe dy x y x y

=+

++++。

【解法二】直接微分，得1

()(xy

dz e ydx xdy dx dy x y

=++

++） 整理得 11()()xy

xy dz ye dx xe dy x y x y

=+

++++ ⑵sin(z xy =）；

【解法一】先求偏导数，得cos()x z xy y =⋅，cos()y z xy x =⋅，

于是得 x y dz z dx z dy =+cos()cos()y xy dx x xy dy =+

cos()()xy ydx xdy =+。

【解法二】直接微分，得cos()(dz xy d xy =）cos()()xy ydx xdy =+ ⑶2

arctan()u x y =-； 【解法一】先求偏导数，

得2

22

1[()]'1[()]

x x z x y x y =

⋅-+-42()()'1()x x y x y x y -=⋅-+-42()1()x y x y -=+- 2

22

1[()]'1[()]y y

z x y x y =

⋅-+-42()()'1()y x y x y x y -=⋅-+-42()1()x y x y --=+-， 于是得 x y dz z dx z dy =+44

2()2()

1()1()

x y x y dx dy x y x y --=

-+-+- 4

2()

()1()x y dx dy x y -=

-+-

【解法二】直接微分，得222

1()1[()]dz d x y x y =

⋅-+-42()()1()x y d x y x y -=-+- 4

2()

()1()

x y dx dy x y -=

-+- ⑷yz

u x =。

【解法一】先求偏导数，得1yz x u yzx -=，ln yz y u x x z =⋅，ln yz

z u x x y =⋅

于是得 x y z du u dx u dy u dz =++1ln ln yz yz yz

yzx dx x x zdy x x ydz -=+⋅+⋅

(

ln ln )yz yz

x dx z xdy y xdz x

=++ 【解法二】由于ln yz

x u e

=ln yz x e =

直接微分，得 ln (ln )yz x

du e

d yz x =1

(ln ln )yz x z xdy y xdz yz dx x

=++

3．求下列函数在给定点处的全微分： ⑴2

2

ln(1)z x y =++，点(1,2)； 【解法一】先求偏导数，得2222

1(1)'1x x z x y x y

=

++++22

21x

x y =++，

22

21y y

z x y

=

++ 于是得 x y dz z dx z dy =+2222

2211x y

dx dy x y x y =+++++222()1xdx ydy x y +=++ 在点(1,2)处，有222(12)112dx dy dz +=

++23

dx dy

+=

。 【解法二】直接微分，得222

2

1

(1)1dz d x y x y

=

++++2

2

1(22)1xdx ydy x y

=

+++

在点(1,2)处，有22

2(12)112

dz dx dy =

+++1

(2)3dx dy =+ ⑵sin()x y

z x x y e

-=++，点(

,)44

ππ

；

【解法一】先求偏导数，得

sin()cos()()'()'x y x x x z x y x x y x y e x y -=+++⋅++-

sin()cos()x y x y x x y e -=++++

cos()()'()'x y y y y z x x y x y e x y -=+⋅++-cos()x y x x y e -=+-

得 44

(

,)sin()cos()4444444

x z e ππ

ππ

πππππ

-

=++++0104

e π

=+

⨯+2=

4

4

(,)cos()44444

y z e πππππππ

-=+-004

e π

=

⨯-1=-

于是得所求点的全微分为2dz dx dy =-。

【解法二】直接微分，得sin()cos()()()x y

dz x y dx x x y d x y e

d x y -=+++++-