三角函数的值域与最值

§07 三角函数的值域与最值
【基础再现】
1．若f (x )＝A sin ωx 的最大值为2，则A ＝ ． 答案：2．
意图：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最大值与最小值．
2．y ＝sin x ，y ＝cos x 在(－π6，2π3
)上值域分别是_______；_______． 答案：(－12，1] ；(－12
，1] 意图：正弦、余弦函数求值域．
3．y ＝tan x 在(－π3，π3
)上的值域为 ． 答案：(－3，3)
意图：正切函数求值域．
4．y ＝cos2x sin x ＋cos x
的定义域是 ，值域是 ． 答案：{x |x ≠k π－π4
，k ∈Z }，(－2，2)． 意图：考察正弦函数与余弦函数复合的函数值域．
5．当x ∈(－π6，π3)时，函数y ＝2sin(2x ＋π6
)的最大值为 ，最小值为 ． 答案：－1，2．
意图：考察函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在某区间上的最大值与最小值．
【典型例题】
【例1】 求函数y ＝1＋sin x ·cos x 的值域．
答案：[12，32
]． 变式1：已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈R ，当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合．
答案：{x |x ＝2kπ＋π3
，k ∈Z } 变式2：求y ＝sin 2x ＋2sin x ·cos x ＋3cos 2x 的值域．
解：原函数解析式可化为：y ＝1＋sin2x ＋2cos 2x ＝2＋sin2x ＋cos2x ＝2＋2sin(2x ＋π4
)， 可得：2－2≤y ≤2＋2．
变式3：已知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)＋2cos 2x ，x ∈[－π6，π2
]，求函数f (x )的最大值． 答案：3．
意图：利用辅助角公式进行化简，最终转化为只含有一个角的三角函数式，体现化归思想． 【例2】 求函数y ＝cos 2x ＋cos x －2的最值．
解：令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]， 则原函数转化为二次函数y ＝t 2＋t －2，t ∈[－1，1]，
当
答案：[1，3]．
变式2：已知cos x ＋cos y ＝13，求cos x －sin 2y 的最大值和最小值。

解：cosx －sin 2y ＝cosx －(1－cos 2y)＝cos2y －cosy －23＝(cosy －12)2－1112
， ∵-1≤cosx ＝13
－cosy≤1， 又-1≤cosy≤1， ∴－23≤cosy ≤1．∴cosx －sin2y 的最大值为49，最小值为－1112
． 意图：转化为二次函数的形式，本质还是统一角，统一函数名称．
【例3】 求函数 答案：[－2，43]．
变式1：求函数 答案：[0，83
]．
变式2 答案：[－33，【例4】 求函数y ＝sin x －cos x ＋sin x ·cos x 的最小值与最大值．
答案：最小值－12－2，最大值1． 意图：考察“知一求二”问题，换元法转化为二次函数．
【课后强化】
1．函数f (x )＝sin x ＋2cos x 的值域为 ．
答案：[－3，3]
2．函数y ＝3－2cos(x －π4
)的最大值为________，此时x ＝________． 答案：5，π4
＋2k π，k ∈Z 3．若|x |≤π4
，则f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是 ．
答案14－22
4．函数y ＝2sin x ＋1的最大值是 ，最小值是 ．
答案：3，32
5．函数y ＝tan 2x －2tan x ＋3的值域是 ．
答案：[2，＋∞）
6．函数y ＝12＋sin x ＋cos x
的最大值是 ． 答案：1＋22
7．y ＝2sin x ＋1sin x ＋3
最大值为 ． 答案：74
8．y ＝sin2x sin x 1－cos x
的值域为 ． 答案：[－12
，4) 9．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x ·cos 2x 2－sin2x
的最大值为 ，最小值为 ． 答案：34，14
10．求函数y ＝2－4sin x －cos2x 的最大值和最小值．
解：．y ＝2－4sin x －(1－2sin 2x )＝2sin 2x －4sin x ＋1＝2(sin x －1)2－1．
设sin x ＝t ，－1≤t ≤1，则y ＝2(t －1)2－1．
t ＝1时，y 的最小值为-1, t ＝－1时y 的最大值为7.
11．已知0＜α，β＜π2，且sin βsin α＝cos(α＋β)，α＋β≠π2
,求tan β的最大值． 解：由sinβsin α
＝cosα·cosβ－sinα·sinβ， (1sin α
＋sinα)sinβ＝ cosα·cosβ tanβ＝sin α·cos α1＋sin 2α＝sin α·cos α2sin 2α＋cos 2α＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤
24． 此时tanα＝22． 即tanβ的最大值为24
． 12．若cos 2θ＋2m sin θ－2m －2＜0对θ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围。

解：由题1－sin 2θ＋2m sin θ－2m －2＜0 ∴m(2sin θ －2)＜sin 2θ＋1．
若sin θ＝1，0＜2恒成立．
若sin θ≠1，2sin θ－2＜0， ∴m ＞sin 2θ＋12sin θ－2
． 右边＝(sin θ－1)2＋2(sin θ－1)＋22(sin θ－1)＝－12(1－sin θ＋21－sin θ
－2)≤1－ 2 ∴m ＞1－2．
13．求函数y ＝sin x ·cos x ＋sin x ＋cos x 的值域．
解：设t ＝sinx+cosx ＝
2sin(x+π4)∈[－ 2， 2]，则sinx·cosx ＝t 2－12. ∴y ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1,当t ＝ 2时，函数取得最大值为12＋ 2；当t ＝－1时取最小值－1.则函数值域为[－1，12＋ 2].。