高等代数(北大版)第10章习题参考答案

第十章 双线性函数与辛空间

个线性函数，已知

解此方程组可得

f (

1)

＝4，f ( 2)＝－7，f ( 3)＝－ 3

＝4 X 1－7 X 2 － 3 X 3

设 f 为所求 V 上的线性函数，则由题设有

解此方程组可得

f (a)=f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 )

1、 设 V 是数域 P 上的一个三维线性空间，

12

3 是它的一组基， f 是 V 上的

f (

1+

3 )=1,f (

2 -2

3 )=-1,f (

1+

2 )=-3

求 f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ).

解 因为 f 是 V 上线性函数， 所以有

1)

＋ f (

3)=1

2 )-2 f ( 3)=-1

1)+f (

2 )=-3

f (X 1

1+X 2 2+X 3 3).＝X 1 f ( 1)＋X 2 f ( 2)＋X 3 f ( 3)

2、 设V 及

1

， 2 ， 3 同上题，试找出一个线性函数

f ,使

f (

1+

3)

＝ f ( 2 -2 3)=0, f ( 1+ 2 )=1

1)

＋ f (

3)=0

2 )-2 f ( 3)=0

1)+f (

2 )=1

1)

＝－1，f ( 2)＝2，f (

a V,当 a 在 V 的给定基

3

下的坐标表示为

a= X

1 1+X

2 2 +X 3

3

时， 就有

= X 1 f ( 1)＋X2 f ( 2)＋X3 f ( 3)

=-X 1 +2 X 2+ X3

3、设

1，2，3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3 是它的对偶基，令

1＝

1

－3， 2 ＝1＋2－3，3＝ 2 ＋3

试证：

1

，2， 3 是V 的一组基，并求它的对偶基。

证：设

(

1，2，3)＝(

1

，2，3)A

由已

知，

得

1 1 0

A＝0 1 1

1 1 1

因为A ≠0，所以1，2，3是V 的一组基。

设g1,g2,g3 是 1 ， 2 ， 3 得对偶基，则

g1,g2,g3)＝( f1,f2,f3 )(Aˊ)

0 1 1

＝( f1,f2,f3 ) 1 1 2

1 1 1

因此

g1=f2-f3

g2=f1-f2+f3

g3=-f1+2f2-f3

4.设V 是一个线性空间，f1,f2 , ⋯fs 是V*中非零向量，试证：∈V，使

fi( )≠0 (i=1,2 ⋯,s)

证：对s 采用数学归纳法。

当s＝1 时，f1≠0,所以∈V，使fi( ) ≠0，即当s＝1 时命题成立。

假设当s=k 时命题成立，即∈V，使fi( )= i ≠0 (i=1,2 ⋯,k)

下面证明s=k+1 时命题成立。

若f k1( )≠ 0,则命题成立，若 f k1( ) ＝0，则由 f k 1≠0知，一定∈V 使f k1( )＝b,设fi( )=di(i=1,2 ⋯,k), 于是总可取数c≠0，使

c ，则∈V，且

ai+cdi ≠0(i=1,2 ⋯,k)

fi( )=ai+cdi ≠0(i=1,2 ⋯,k) f k 1( ) ＝cb≠0

即证。

5．设1，2，⋯s是线性空间V 中得非零向量，试证：

fi( i ) ≠0 (i=1,2 ⋯,s)

证：因为V 是数域P 上得一个线性空间，V*是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量则可定义V*的一个线性函数**如下：

** (f)=f( ) ( f∈V* )

且**是V*的对偶空间 (V*) *中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间 (V*) *的映射

**

→

是一个同构映射，又因为1， 2 ，⋯s 是V 中的非零向量，所以1**，2**，⋯s** 对偶空间V*的对偶空间( V* ) *中的非零向量，从而由上题知，f∈V*使

f( i )＝i ** (f) ≠0 (i=1,2 ⋯,s)

即证.

6.设V＝P[x] 3,对P(x)=C0+C1x+C2x 2∈V,定义

1

f

1 (p(x))=

0p(x)dx

f

2 (p(x))=2

0p(x)dx

f

3 (p(x))=

1

0p(x)dx

试证 f 1 ，f 2， f 3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使1， f 2， f 3是它的对偶基。

1

1( g(x) ＋h(x) )＝0(g(x) h(x))dx

11

＝

0g(x)dx ＋0h(x)dx

＝f 1 (g(x))+ f 1 (h(x))

证：先证是V上线性函数，即 f 1∈V*，对g(x),h(x) ∈V, k∈P, 由定义有