自适应滤波分析

式(6)称为维纳-霍甫夫方程，它反映了相关函数与最佳单位脉冲 响应之间的关系。将i=0,1,2,…N-1分别代入（6）得N个方程组成 的线性方程组，写成矩阵形式
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(7) 式中Rxx称为x(n)的自相关阵, Rsx称为s(n)与x(n)的互相关向量。
R xxh R sx
H
上式即为搜索目标，即实现最优滤波时的权系数。
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梯度法
很多自适应方法使用基于梯度的方法寻找可以 达到最小均方误差的权矢量。 均方误差性能曲面的梯度定义为：
n n w n w0 n n n w1 n wN 1 n
2 d 2 d 1 T
T
2Rw n 2P
最优权重矢量处梯度为零：
n 2Rwn 2P 0 w R 1P
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最小均方误差： 2 T min d w Rw 2P T w
R P R R 1P 2P T R 1P
m 0 N 1
（2）
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估计的均方误差为
ˆ s) 2 ] E[( hi xi s) 2 ] E[e 2 ] E[( s
i 0
N 1
(3)
式中为了书写方便，令hi=h(m), xi=x (n-m) ,e= e(n), s=s(n), s ˆs ˆ( n ) 为求出使E[e2]最小的hi，将上式对各hi求偏导数，并令其等于0，得
R0 R1 P0 R , P R 1 R 0 P 1

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N 个权系数: 一个 N 1 维空间内的 超抛物面 “碗底”点对应于均方误差最小点，也就 w 是最优权系数矢量 所在的点。对于一个二 次性能方程，存在唯一全局最优权矢量，没 有局部最优点存在.将碗底所对应的权向量表 示为 * * T w* [ w0 w1 w* ] N 1
E[e 2 ] (e 2 ) e E[ ] 2 E[e ] 2 E[exi ] 0 hi hi hi
得 及
E[exi ] 0
N 1 j 0
i 0,1,2,, N 1
(4) (5)
E[( h j x j s) xi ] 0, i 0,1,2,, N 1
根据图一，n时刻的滤波器输出表示为：
ˆ(n) x(n)* h(n) y ( n) s
m
h(m)x(n m)

（1）
由于滤波器为物理可实现的，故h(n)必须是因果序列：
h( n) 0 n 0
又由于实际中只能得到有限个观测数据，故（1）式可写成：
ˆ(n) h(m)x(n k ) s
若令E[ xi x j ] Rij，E[ sxi ] Rsxi，则（ 5 ）式可写为
h E[ x x ] E[sx ] 0,
j 0 j j i i
N 1
i 0,1,2,, N 1
(6)
即
h R
j 0 j
N 1
ij
Rsxi , i 0,1,2,, N 1
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维纳滤波 设信号s(k)或s(k)及观测过程x(k)或x(k)是广义平稳的, 且 已知其功率谱或自相关函数的知识，则基于观测过程x(k) 或x(k)，按线性最小均方误差估计准则，对信号s(k)或s(k) 所作的最优估计称为维纳滤波
5.2.1 正交性原理与维纳-霍甫夫方程
考虑如图所示的一般线性时不变离散时间滤波器。
R xx E x(n)x (n) R0,0 R 1,0 RN 1,0 R0,1 R0, N 1 R1,1 R1, N 1 RN 1,1 RN 1, N 1
h h0
h1 hN 1
T
R sx Rsx0
式(4)或式（5）称为正交方程
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正交性原理及推论： 1）正交性原理：要使估计的均方误差最小，滤波系数{hi}的选择 应使估计误差e与所有的观测值xi正交，其中i=0,1,2….N-1。 2）正交性原理的推论：要使估计的均方误差最小，滤波系数{hi} ˆ 正交，其中i=0,1,2….N-1。 的选择应使估计误差e与估计值 s
+ ∑
期望响应
自适应算法
en
误差
图5.2 闭环自适应滤波器
2.按自适应处理器分类
自适应滤波器按其自适应处理器可分为非递归自适应滤波器和递 归自适应滤波器。
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3.按自适应算法分类
自适应滤波器按其自适应算法可分为LMS(最小均方)自适应滤波器 和RLS（递归最小二乘）自适应滤波器等。
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Rsx1 RsxN 1

T
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由式(7)可解出最佳单位脉冲响应为
1 hopt R xx R sx
5.2.2 维纳-霍甫夫方程求解
维纳-霍甫夫方程的解就是维纳滤波器的系数，也即FIR数字滤波器 的单位脉冲响应h(n)，此时维纳滤波器的输出是信号的最佳估计。 相应地，最佳的单位脉冲响应叫做维纳解。设计维纳滤波器可以归 结为求维纳解，也就是解维纳-霍甫夫方程。 下面介绍一种求维纳解的方法，搜索法。 首先将前面提到的单位脉冲序列h(n)表示为权系数w0,w1,…wN-1,由 权系数组成的向量称为权向量。则n时刻权向量表示为
（8）
E[d 2 (n)] 2wT (n) E[d (n)x N (n)] wT (n) E[ x N (n) xT N ( n)]w ( n)
E[d (n) x(n)] Rxd (0) E[d (n) x(n 1)] R (1) xd p E[d (n)x N (n)] E [ d ( n ) x ( n N 1 )] R ( N 1 ) xd
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5.1.2自适应滤波器的组成、分类与结构
数字结构是指自适应滤波器中各组成部分的联系。 自适应处理器即前面介绍数字滤波器，所不同的是这里的数 字滤波器是参数可变的。 自适应算法是用来控制自适应滤波器参数的变化。 自适应滤波器分类
自适应滤波器由数字结构、自适应处理器和自适应算法三部分组成。
5.自适应滤波
5.1 预备知识 5.1.1自适应滤波原理
所谓自适应滤波，就是用前一时刻已获得的滤波器参数等结果， 自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或 随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。 所谓最优是以一定的准则来衡量的，最常用的两种准则是最小 均方误差准则和最小二乘准则。 自适应滤波器的主要指标是收敛速度、失调、计算复杂度、结 构模块化和数值特征。
x ( n) s ( n) v ( n)
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h(n) 图一
ˆ( n) y ( n) s
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设计滤波器的过程可表述如下： 设计线性离散时间滤波器的单位冲激响应 h(n), 使滤波器输出 y(n),在给定输入样本 x(0),x(1),…的 情况下给出期望响应 s(n) 的估计，并能使估计误 2 ˆ E { e ( n ) } 为最小 e ( n ) s ( n ) s ( n ) 差 的均方值
R为数据的自相关函数组成的N×N维矩阵
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将（9）式、（10）式代入（8）式可得均方误差性能函数为：
2 (w ) d 2wT P wT Rw
性能曲面
单权重情况: 抛物线
w n w0 n
2 n 2 P0w0 n n E d 2 n R0w0
设该滤波器 的输入x(n)=s(n)+v(n)是混有噪声的观测数 ˆ(n)是对信号s(n) 据，其单位冲激响应为h(n)， y(n)= s 的最佳估计。 估计误差e(n)定义为期望响应s(n)与滤波器输出y(n) ˆ ( n) 。 之差, 即 e(n) s(n) y(n) s(n) s
5.1.3自适应滤波应用举例 1.自适应预测 2.自适应干扰对消 3.自适应系统辨识
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5.2 维纳滤波器
滤波定义: 所谓滤波,是指在含噪信号x(k)=s(k)+v(k) 或其矢量信号 x(k)=s(k)+v(k)中尽可能排除噪声v(k)或v(k)干扰，而将有用 信号s(k)或s(k)分离或提取出来。 若设计的对x(k)进行滤波的滤波器能使其输出y(k)尽可 ˆ(k ) ,这种滤波器称为最 能逼近s(k)，成为s(k)的最佳估计 s 佳滤波器 滤波、预测与平滑 设基于观测过程x(k)或矢量观测过程x(k)，对 s(k+α)或 s(k+α)作最优估计，那么 若α=0，就是滤波问题。 若α>0，就是预测问题。 若α<0，就是平滑问题。
w(n) w0 (n) w1 (n) wN 1 (n)
T
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n时刻及以前的数据组成的向量叫信号向量，表示为
x N (n) x(n) x(n 1) x(n N 1)
T
n时刻希望得到的输出叫期望响应，用d(n)表示，定义均方误差性 能函数为 (n) E[e 2 (n)]
根据前面的分析，得对滤波器的输出即期望响应d(n)的估计为
ˆ ( n) w ( n) x ( n i ) w T ( n) x ( n) d i N
i 0
N 1
均方误差性能函数表达式为
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ˆ (n)]2 } (n) E[e2 (n)] E{[d (n) d E{[d (n) wT (n)x N (n)]2 }
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1.按数字结构分类
自适应滤波器按其数字结构可分为开环自适应滤波器和闭环自 适应滤波器。
xn
输入信号
自适应处理器
yn
输出信号
d n
参考信号
自适应算法 图5.1 开环自适应滤波器
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xn
输入信号
自适应处理器
yn
d n
输出信号
（9）
上式P为互相关函数组成的N维列向量
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令
R E x N n x N n
T

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E[ x(n) x(n N 1)] E[ x(n) x(n)] E[ x(n 1) x(n)] E [ x ( n 1 ) x ( n N 1 )] E[ x(n N 1) x(n N 1)] E[ x(n N 1) x(n N 1)] Rx 1 Rx N 1 Rx 0 R 1 R 0 R N 2 x x x （10） R N 1 R N 2 R 0 x x x
R R0 , P P0
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两个权系数: 抛物面
w n w0 n w1 n
T
w0 n R0 R1 w0 n n E d n w0 n w1 n 2P0 P1 w n w n R 1 R 0 1 1 2 n w12 n 2 R1w0 n w1 n 2 P0w0 n 2 P1w1 n E d 2 n R0 w0