数列难题训练

数列难题训练

1、在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和

2、（满分12分）已知各项均为正数的数列满足, 且,其中．（I）求数列的通项公式;（II）设数列的前项和为,令,其中,试比较与的大小,并证明．

3、（本小题满分14分）在数列中，，.

（I）求证：数列是等比数列；（II）设数列的前项和为，求的最小值.

4、已知数列（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；2）设，求数列的前项和。

5、（本题满分14分）对于函数，若存在成立，则称的不动点.如果函数

有且只有两个不动点0，2，且（1）求函数的解析式；（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.

6、（本小题满分14分）设函数，方程有唯一解，其中实数为常数，，

（1）求的表达式；（2）求的值；（3）若且，求证：

7、已知函数的图象经过坐标原点，且的前

（I）求数列的通项公式；（II）若数列

（III）若正数数列中的最大值

8、已知（m为常数，m>0且），设是首项为4，公差为2的

等差数列. （Ⅰ）求证：数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）若b n=a n・，且数列{b n}的前n项和S n，当时，

求S n；（Ⅲ）若c n=，问是否存在m，使得{c n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.

9、已知各项均为正数的数列，满足：=3，且，．（1）求数列的通项公

式；（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．

10、已知S n是数列的前n项和，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设

，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

12、（理）已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数，，等式

恒成立.若数列{}满足，且=，则的值为（） A.4018 B.4019 C.4020 D.4021

13、函数是定义在R上恒不为0的函数，对任意都有，若

，则数列的前n项和S n的取值范围是（）

A． B． C． D．

1、分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:

()（II）由（I）知,=

2、解：（Ⅰ). （II）则

又.

法一：数学归纳法猜想①当时，,上面不等式显然成立；

②假设当时，不等式成立当时，

.综上①②对任意的均有

…法二：二项式定理：因为,所以

.

即对任意的均有.又,

所以对任意的均有.

3、解：（I），

，是以

-15为首项，为公比的等比数列.（II），，当时，

∴数列是单调递增数列，，当且仅当时，的最小

值是.4、（Ⅰ）因为，所以两式相减，得，即又即

所以是首项为3，公比为3的等比数列。从而的通项公式是（II）由（I）知

的前n项和为T n。则

两式相减得，5解：设得：由违达定理得：

解得代入表达式，由

得不止有两个不动点，

………………………………………5分

（2）由题设得（A）

且（B）由（A）（B）得：

解得（舍去）或；由，若这与矛盾，

，即{是以1为首项，1为公差的等差数列，（3）证法（一）：运用反证法，假设则由（1）知

∴，而当

这与假设矛盾，故假设不成立，∴

.………………………………………14分证法（二）：由

得<0或结论成立；若，此时从而

即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.………………………………………………………………………………………14分

6、（本小题满分14分）解：（1）由，可化简为

-------2分当且仅当时，方程有唯一解． ---3分

从而 -------4分

（2）由已知，得 -------5分

，即数列是以为首项，为公差的等差数列．-------6分

，，，即

-------7分

7、解：（I）由

所以，数列

（II）由得：

…………（1

（2）－（1）得：

（III）由

令

是递减数

列

又

所以，数列

8、解：（Ⅰ）由题意

即

∴

∴

∵m>0且，∴m2为非零常数，

∴数列{a n}是以m4为首项，m2为公比的等比数列

（Ⅱ）由题意，当

∴①

①式两端同乘以2，得

②

②－①并整理，得

=

（Ⅲ）由题意

要使对一切成立，

即对一切成立，

①当m>1时，成立；

②当0

∴对一切成立，只需，

解得，考虑到0

综上，当01时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项.

（1）条件可化为，因此｛｝为一个等比数列，其公比为2，首项为，9、解：

所以 (1)

因a n0，由1式解出 (2)

（2）由1式有

＝

＝

为使S n＋T n＝为整数，当且仅当为整数. 当n＝1,2时，显然S n＋T n不为整数，

当n3时，＝

只需为整数，因为3n－1与3互质，所以

为9的整数倍.当n＝9时，＝13为整数，故n的最小值为9. 10、解：（Ⅰ）由已知……①

得……②

②－①，得

∴

∴

∴

所以数列是一个以2为首项，2为公比的等比数列

∴