各向同性材料弹性常数间的关系推导

*§8－8 各向同性材料弹性常数之间的关系

在建立应力和应变间的关系

时，对于各向同性材料，引用了三个

弹性常数，它们是E 、G 、μ。§3－3

中曾经提到，三个弹性常数之间存在

着以下关系

2(1)

E G μ=+ (8-21) 现在就证明这个关系。

图8－22 变一纯剪切应力状态下的单

元体。根据倒8－3的分析，主应力σ1

存在于α0＝－45°的主平面上，σ3存

图8－22

在于α0＝－135°的主平面上，且σ1＝－σ3＝τ。将σ1和σ3代入公式（8－18）

11

23223133121[()]1[()]1[()]E E E εσμσσεσμσσεσμσσ⎧⎫=-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎬⎪⎪⎪⎪=-+⎪⎪⎩⎭

(8－18)（单元体的周围六个面皆为主平面时，广义胡克定律）

并令σ2＝0，得出σ1方向的线应变为

1131()(1)E E

τεσμσμ=-=+ (a) 此外，由剪切胡克定律，可以求得直角xoy 的剪应变xy λ为

xy

xy G G ττ

λ== （b ）

对单元体abcd 来说，由于0x y z σσσ===，故有0x y εε==。将所求出的x ε、y ε、xy γ代入公式（8－11），cos 2sin 2222x y x y xy αεεεεγεαα+-=

+- （8－11）（平面应变状态分析），

并令45α=-，再次求得沿σ1方向的应变为12xy γε=

将（b ）式代入上式，得12G τ

ε= （c ）

令（a ）,(c) 两式相等，便可得到需要证明的关系式

2(1)E G μ=+，因为广义胡克定律只适用于各向同性材料，因而由广义胡克定律导出的以上关系式，也只适用于各向同性材料。

以上参考《材料力学》刘鸿文 主编 第二版 上册

§8－9 复杂应力状态下的变形比能

这一章能过变形比能推导。

如果应力和应变关系是线性的，变形比能的公式12

u σε=

。 于是三向应力状态下的应变能为112233111222u σεσεσε=++，以应变的广义胡克定律 1123223133121[()]1[()]1[()]E E E εσμσσεσμσσεσμσσ⎧⎫=-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎬⎪⎪⎪⎪=-+⎪⎪⎩⎭

（8－18）代入上式，整理得2221231223311[)2()]2u E

σσσμσσσσσσ=++-++ 8-24

以上参考《材料力学》刘鸿文 主编 第三版 上册