[理学]第1章 数学建模简介

dx
d
t
rx 1
x xm
x
0
x0
xt xm
1
xm x0
1ert
dx
d
t
rx 1
x xm
x
1
7
90
3
.9
xt
xm
13x.m91e(t1790)r
dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(1790)=3.9')
h
30
6.3 更改拟合标准
根据最小二乘法,x0和r是以下函数的最小值:
n
E(a,b) (ati bxi)2 i1
其中xi是ti时刻美国的人口数。
E ( a , b ) ( a 1 7 9 0 b 3 . 9 ) 2 ( a 1 8 0 0 b 5 . 3 ) 2
E 0 E 0
a
b
可解得a和b，然后再代回函数计算新的时间t所对
应的人口数： x(t)atb
h
24
数学模型(第三版)
姜启源等,高等教育出版社,2003年
第一章 建立数学模型
第二章 初等模型
第三章 简单的优化模型
第四章 数学规划模型
第五章 微分方程模型
第六章 稳定性模型
第七章 差分方程模型
第八章 离散模型
第九章 概率模型
第十章 统计回归模型
h
25
<数学建模与数学实验>（第二版）
x(0)x0
x(t)xert 0
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
h
20
4.4 阻滞增长模型（Logistic模型）
➢ 随着人口的增加，人口增长速度会降
低，可假设为人口数的减函数 r(x)rsx
➢ 人口数量最终会饱和，趋于某一个常数 x m
➢ 当 x xm 时，增长率应为0，即 r sxm 0
(x+y)*30=750, (x-y)*50=750
事实上，所有的数学都是某种模型。
数学模型：对于现实世界的一个特定对
象，为了一个特定目的，根据特有的内
在规律，做出一些必要的简化假设，运
用适当的数学工具，得到的数学结构。
h
6
2 数学建模的重要意义
分析与设计：药物浓度在人体中的变化。 预报与决策：人口预报、天气预报。 控制与优化：零件参数优化。 规划与管理：生产计划，网络规划。 “高技术本质上是一种数学技术”。 马克思说过：“一门科学只有成功地运用
数学建模讲义 第1章 数学建模简介
dx rx dt
黄可坤
嘉应学院
h
1
分组
➢三人一组。 ➢理论课和上机课都坐在一起。 ➢一起讨论问题。 ➢作业和实验报告一组交一份。 ➢考试分开考。
h
2
小组讨论
漆黑的夜晚有四个人提一盏灯 过桥，桥上最多同时承受两个 人。单独过桥时，每个人最快 过桥时间分别为10、5、2、1分 钟；两个人同时过则按照较慢 的时间过桥。问如何安排过桥 方案使得总时间最短？
数学时，才算达到了完善的地步。”
h
7
3 全国大学生数学建模竞赛
➢时间：每年9月中下旬。
➢内容：题目由工程技术、管理科学中的实际 问题简化而成，没有标准答案。
➢对象：全国本专科学生，专业不限，甲乙组
➢形式：3人一组，三天三夜，自由完成
➢目的：培养学生独立进行研究的能力，运用 数学和计算机的能力，团结合作精神和进行 协调的组织能力等。
n
E(x0,r) (x0erti xi)2 i1
近期的数据比较重要，更改评估标准：
m
n
E (x0,r) (f(ti)xi)2 w (f(ti)xi)2
i 1
i m 1
h
31
作业：人口增长模型
年份
1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
人口
7.1 13.9 17.1 17.6 24.7 33.6 36.2
某地区人口数据如上，建立模型估计出该地区2010年的人口 ，画出拟合效 果的图形 。
kkhomework@163.com 命名要求: 086_21_12_12_人口增长模型.doc
按照数学建模论文的要求写，特别是要有摘要，参数估计。
三个人为一组，一组交一篇论文。统一用word文档打印。
h
32
➢评奖：大概2/3能得到h省奖，1/10有全国奖。8
DVD在线租赁(05B)
DVD编号 D001 D002 D003
D004
…
DVD现有量 10
40
15
20
…
C0001
6
0
0
会
员 C0002
0
0
0
在
线 C0003
0
0
0
订
单 C0004
0
0
0
0
…
0
…
3
…
0
…
…
…
…
…
h
…
…
9
艾滋病疗法的评价及疗效的预测(06B)
1790 1800 1810 1820 1830 1840 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 1860 1870 1880 1890 1900 1910 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 1930 1940 1950 1960 1970 1980 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5
年份
1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930
人口
48.7 58 73.4 89.9 105.7 125.8 149
年份
1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
人口
172.1 189.8 230.5 246.7 262.1 271.1 280.2
h
16
x(t)1.2th 2217
17
指数增长模型 x(t) x0ert
h
18
x(t)4.410 11e0.014t
h
19
4.3 模型建立：指数增长模型
马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
x(tt)x(t) rt x(t)
dxrx, dt
h
10
公交线路选择(07B)
h
11
相机标定(08B)
x d h x zd
y d y z d12
4 建模实例-人口增长模型
给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每 10年为一个间隔），请估计出美国2010年的人口。
年份 人口(106) 年份 人口(106) 年份 人口(106)
h
26
历年试题与优秀论文
➢http://www.cocoon.org.cn/ ➢http://www.shumo.com/ ➢http://mcm.zjnu.net.cn/ ➢http://lib.jyu.edu.cn/
h
27
数学软件
➢ matlab ,《matlab程序设计与应用》, 有 电子版教程。
rx
r1
x xm
dx x
dt
r 1
xm
x
x
0
x0
h
21
阻滞增长模型（Logistic模型）
xt xm
1
xm x0
1ert
h
22Байду номын сангаас
300
250
200
150
100
50
0 1750
1800
1850
1900
h
1950
2000
2050
23
5 竞赛准备
成功获奖 = 一本好的教材 + 获奖范文 + 实战演练 = 数学高手 + 计算机高手 + 写作高手
h
3
想象力和洞察力
P23第9题第（1）小题。
h
4
主要内容
1 什么是数学模型？ 2 数学建模有什么意义？ 3 数学建模竞赛的题目是什么样的？ 4 建模示例：人口增长模型 5 参加数学建模竞赛需要怎样准备？ 6 matlab曲线拟合
h
5
1 什么是数学模型
甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水 航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要 50h，问船速、水速各若干？
➢ lingo,有电子版教程。 ➢ 数学建模只要求知道实际问题与某些数
学知识之间的对应关系（如哪些问题可 用线性规划求解，或线性规划可解决哪 些问题），以及用它们建立模型的方法， 模型的求解可交给数学软件求解。
h
28
6 Matlab曲线拟合
6.1 指数增长模型
matlab代码：
h
29
6.2 Logistic模型
赵静 但琦, 高等教育出版社，2003年
数学建模简介 MATLAB入门 线性规划 整数线性规划 无约束最优化 非线性规划 动态规划 微分方程 差分方程
组合数学 最短路问题 匹配与覆盖问题 行遍性问题 网络流问题 数据的统计分析与描述 回归分析 计算机模拟 插值与拟合数学
h
1850 23.2 1920 106.5 1990 251.4
13
4.1 模型分析
通过直观观察， 猜测人口随时间 的变化规律（即 某种类型的函 数），再用函数 拟合的方法确定 其中的未知参数。
h
14
线性增长模型 x(t)atb
h
15
4.2 参数估计
根据最小二乘法,a和b是以下函数的最小值: