向量的内积(课堂PPT)
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选做题:练习 B 组 第 1 题.
10
求
a
b.
解:由已知条件得
ab
a
b
cos〈a,
b〉
5 4cos120 10.
5
3.向量内积的性质
设
a
,b为两个非零向量,e
是单位向量.
⑴
ae
ea
a
co〈 s a, e〉
⑵
a
b
a
b
0
⑶
a
a
a
2
0或
a
aa
⑷
a b
a
b
4.向量内积的运算律
⑴ ⑵ ⑶
a
b
b
规定
0
〈a,
b 〉
180
O
b,则 b
a
∠AOB 叫
B
A
说明: (1)当〈a, (2)当〈a,
b〉 b 〉
0 π
时,a 时,a
与 与
b同向; b反向;
(3)当
〈a,
b 〉
π
时,a 与
b垂直;记作
a
b;
2
(4)在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.
3
2.向量的内积
已知a 非b零co向s〈量a,ab与〉b叫,做〈aa与, bb〉的为内两积向.量的夹角,则数量
向量 向量 向 量
7.4.1 向量的内积
1
一个物体在力
f
的作用下产生的位移
s ,那么力
f所
做的功应当怎样计算?
f
θ
s
力做的功:W
s
f cos
其中是 f与s的夹角,
f s
cfocso是sf称在做物位体移前s进与方力向f上的的内分积量..
2
1.两个非零向量夹角的概念
已做知a与非零b的向夹量角a与.记b作,〈 作Oa,Ab〉.a,OB
a
2
2a b
b
2
2
a b
(aa2b2)a (abbb)
2
所以
a
b
2
a
b
2
2( a
2
Fra Baidu bibliotek
b
2
)
7
1.已知
a
,
b,
a,b
,
求
a
b.
⑴
a 7, b 12,
a, b
120;
⑵
a
8, b
4,
a, b
π.
2.已知
a
b
,a b,
求
a, b
⑴
a b
8,
a
b
16
⑵
a b
6
3, a b 12
8
本节课我们主要学习了平面向量的内积,常见的题型 主要有:
1.直接计算内积. 2.由内积求向量的模. 3.运用内积的性质判定两向量是否垂直. 4.性质和运算律的简单应用.
9
必做题:教材 P54 练习 A 组 第 2 题(1)(3); 第 3 题 (1)(2);
(a
b
)
(a b ) c
a
(a)
ac
b
b
a
c
(b
)
6
例2
求证
⑴ (a b) (a b)
a
2
b
2
⑵
a
b
2
a
b
2
2( a
2
b
2
)
证明:⑴
(a
b
)
(a
b
)
aa ab b a b b
a
2
2 b
2
⑵因为 a b (a b ) (a b )
记作
a b
a
b
cos〈a,
b〉
规定 0与任何向量的内积为0.
说明:
((c12o))s〈两两a个个, b向向〉的量量符的的号内内所积积决是,定一写.个成实a数 b,;不符是号向“量·,”符在号向由量运 算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.
4
例1 已知
a
5,b
4,〈a,
b〉
120.
10
求
a
b.
解:由已知条件得
ab
a
b
cos〈a,
b〉
5 4cos120 10.
5
3.向量内积的性质
设
a
,b为两个非零向量,e
是单位向量.
⑴
ae
ea
a
co〈 s a, e〉
⑵
a
b
a
b
0
⑶
a
a
a
2
0或
a
aa
⑷
a b
a
b
4.向量内积的运算律
⑴ ⑵ ⑶
a
b
b
规定
0
〈a,
b 〉
180
O
b,则 b
a
∠AOB 叫
B
A
说明: (1)当〈a, (2)当〈a,
b〉 b 〉
0 π
时,a 时,a
与 与
b同向; b反向;
(3)当
〈a,
b 〉
π
时,a 与
b垂直;记作
a
b;
2
(4)在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.
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2.向量的内积
已知a 非b零co向s〈量a,ab与〉b叫,做〈aa与, bb〉的为内两积向.量的夹角,则数量
向量 向量 向 量
7.4.1 向量的内积
1
一个物体在力
f
的作用下产生的位移
s ,那么力
f所
做的功应当怎样计算?
f
θ
s
力做的功:W
s
f cos
其中是 f与s的夹角,
f s
cfocso是sf称在做物位体移前s进与方力向f上的的内分积量..
2
1.两个非零向量夹角的概念
已做知a与非零b的向夹量角a与.记b作,〈 作Oa,Ab〉.a,OB
a
2
2a b
b
2
2
a b
(aa2b2)a (abbb)
2
所以
a
b
2
a
b
2
2( a
2
Fra Baidu bibliotek
b
2
)
7
1.已知
a
,
b,
a,b
,
求
a
b.
⑴
a 7, b 12,
a, b
120;
⑵
a
8, b
4,
a, b
π.
2.已知
a
b
,a b,
求
a, b
⑴
a b
8,
a
b
16
⑵
a b
6
3, a b 12
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本节课我们主要学习了平面向量的内积,常见的题型 主要有:
1.直接计算内积. 2.由内积求向量的模. 3.运用内积的性质判定两向量是否垂直. 4.性质和运算律的简单应用.
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必做题:教材 P54 练习 A 组 第 2 题(1)(3); 第 3 题 (1)(2);
(a
b
)
(a b ) c
a
(a)
ac
b
b
a
c
(b
)
6
例2
求证
⑴ (a b) (a b)
a
2
b
2
⑵
a
b
2
a
b
2
2( a
2
b
2
)
证明:⑴
(a
b
)
(a
b
)
aa ab b a b b
a
2
2 b
2
⑵因为 a b (a b ) (a b )
记作
a b
a
b
cos〈a,
b〉
规定 0与任何向量的内积为0.
说明:
((c12o))s〈两两a个个, b向向〉的量量符的的号内内所积积决是,定一写.个成实a数 b,;不符是号向“量·,”符在号向由量运 算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.
4
例1 已知
a
5,b
4,〈a,
b〉
120.