6梁的内力分析(二)

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课题6 梁的内力分析（二）

一、弯矩、剪力和载荷集度间的关系及其应用

如图所示，梁上各段（不含控制截面）的荷载分两种情况： ① 存在分布荷载，q (x )≠0，如简支梁上的CD 段。

② 无荷载作用，q (x )=0，如梁上的AC 、DE 、EB 段。q (x )=0为q (x )≠0的特殊情况，所以只讨论q (x )≠0的情况。

1.弯矩、剪力和载荷集度间的微分关系

2()()

()()()()()2Q Q Q dF x dF x dM x dM x q x F x =q x dx dx dx dx

===，，

2.某段直梁在几种荷载作用下剪力图和弯矩图特征

在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征

利用上述规律，可以较方便地画出剪力图和弯矩图，而不需列出剪力方程和弯矩方程。具体做法是：先求出支座反力（如果需要的话），再由左至右求出几个控制截面的剪力和弯矩，如支座处、集中荷载作用处、集中力偶作用处以及分布荷载变化处的截面。注意在集中力作用处，左右两侧截面上的剪力有突变；在集中力偶作用处，左右两侧截面上的弯矩有突弯。在控制截面之间，利用以上关系式，可以确定剪力图和弯矩图的线型，最后得到剪力图和弯矩图。如果梁上某段内有分布荷载作用，则需求出该段内剪力F Q =0截面上弯矩的极值。最后标出具有代表性的剪力值和弯矩值。 3.简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。

绘制剪力图、弯矩图的步骤：

（1）建立F Q-x、M-x 坐标系；

（2）确定控制面及其上之F Q、M 值，并标在F Q-x、M-x 坐标中；

（3）确定控制面之间的F Q、M图形。

控制面的概念：外力规律发生变化截面—集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。

[例1] 画如图（a）所示外伸梁的剪力图和弯矩

图。

解：（1）求支座反力。由平衡方程

ΣM A=0 得F B=148 kN

ΣM B=0 得F A=72 kN

（2）计算控制截面的剪力和弯矩

截面1和2：F Q1= F Q2=72 kN

M1= M A=0

M2=72×2=144 kN·m

截面3和4：F Q3=72kN

F Q4=72-20×8=-88 kN

M3=72×2-160=-16 kN·m

M4= M B =-20×2-20×2×172×2=-80 kN·m

（由截面右侧外力计算）

在CB段内有一截面上的剪力F Q =0，在此截面上

的弯矩有极值。

由F Q (x)=72－20x=0

得x=3.6m

此即F Q=0的截面距C点的距离。计算该截面的

弯矩可根据截面一侧的外力计算，得

M max=72×(2+3.6)-160-20×3.6×3.6/2=113.6 kN·m

截面5和6：F Q5=20+20×2=60kN F Q6=20 kN

M5= M B-80 kN·m M6= M D=0

（3）绘制全梁的剪力图和弯矩图。

剪力图和弯矩图如图（b）（c）所示。由图可见，全梁的最大剪力产生在截面4，最大弯矩产生在截面2上，其值分别为

|F Q|max=88kN |M|max=144kNm

二、用叠加法绘制弯矩图

1.叠加原理

一般而言，只要所求的量（如内力、位移等）是荷载的线性函数，则可先求该量在每一荷载单独作用下的值，然后叠加，即为几个荷载联合作用下该量的总值，此即叠加原理。

2.叠加法绘内力图

在多个荷载作用下，梁的横截面上的弯矩，等于各个荷载单独作用所引起的弯矩的叠加，这种求弯矩的方法称为叠加法。

3.叠加法绘内力图步骤：

（1）荷载分组。把梁上作用的复杂荷载分解为几组简单荷载单独作用情况。

（2）分别作出各简单荷载单独作用下梁的剪力图和弯矩图。各简单荷载作用下单跨静定梁的内力图可查表。

（3）叠加各内力图上对应截面的纵坐标代数值，得原梁的内力图

表静定梁在简单荷载作用下的F Q图、M图

[例2] 用叠加法绘制如图所示外伸梁的M图。

解：（1）分解荷载为F 1、F 2单独作用情况。

（2）分别作二力单独作用下梁的弯矩图，如图（b ）（c ）所示。 （3）叠加得梁最终的弯矩图。有两种叠加方法。

第1种方法：叠加A 、B 、C 、D 各截面弯矩图的纵坐标，可得0、45N·m 、-150N·m 、0；再按弯矩图特征连线（各段无均布荷载均为直线），得如图（a ）所示。

第2种方法：在M 1图的基础上叠加M 2图得如图（d ）所示。其中画AC 梁段的弯矩图时，将oc 线作为基线，由斜线中点b 向下量取bb 1=120N ·m ，连ab 1及cb 1，三角形ab 1c 即为M 2图。这种方法也可以叫做区段叠加法。

4.用区段叠加法作梁的弯矩图

用区段叠加法作梁的弯矩图对复杂荷载作用下的梁、刚架及超静定结构的弯矩图绘制都是十分方便的。它是在控制截面法求内力的基础上应用叠加原理作出的。

考察如图（a ）所示的简支梁，两端受有M A 、M B 集中力偶矩及梁上荷载q 作用，利用叠加原理，图（a ）可用图（b ）和图（c ）进行叠加。原结构的弯矩图如图（d ）所示，也是图（e ）和图（f ）弯矩图的叠加。任一截面K 的弯矩M K (x )也是两者的叠加，即

()()()0K K K M x M x M x +=

式中 ()K M x ——简支梁仅受两端力矩作用下K 截面的弯矩值；

()0K M x ——简支梁仅受梁上荷截q 作用下K 截面的弯矩值。

因此，如图（a ）所示结构弯矩图的作法如下： （1）先求解并绘出梁两端的弯矩值。

（2）把两端弯矩值连以直线即为()K M x 弯矩图。

（3）若梁上有外荷载，应在两端弯矩值连线的基础上再叠加上同跨度、同荷载的简支梁()0K

M

x 弯

矩图。

结论：任意梁段都可以看作简支梁，都可用简支梁弯矩图的叠加法作该梁段的弯矩图。

（a ） （b ） （c ）

（d ） （e ） （f ）

注意叠加时是把两端弯矩值连线为基础逐点叠加的，即把连线当成梁的轴线来看待。这种叠加方法推广到任意杆段也是适合的。要十分熟悉如下图（a ）（b ）（c ）所示3种常见情况的弯矩图，因为这对今后绘制复杂荷载作用的弯矩图很有帮助。