量子光学第二讲,相干态与压缩态

坐标表象中高阶本征函数可以写成
φn ( q ) = =
(a + )
n
n! 1
n
φ0 ( q ) =
1
1 1 ∂ ⎞n ⎛ ⎟ φ0 ( q ) n ⎜ ωq − ⎟ ⎜ ∂q ⎠ n ! (2 ω ) 2 ⎝
(2 n !)
2
H n ( ω q ) φ0 ( q )
其中 H n 为Hermite多项式，波函数满足正交归一化条件，因此
ω ψ ( q, 0 ) = π
( )
1
4
ω exp ⎡⎢ − ( q − q 0 )2 ⎤⎥ ⎣ 2 ⎦
该波包随时间的变化可以从Schrödinger方程得到
2004 © Dr. Shutian Liu, Department of Physics, Harbin Institute of Technology
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相干态物理性质
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
16 14 12 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
( α + α* ), 2ω
p =i
ω ( α − α* ) 2
α ( a +2 + a 2 + aa + + a +a ) α =
( α*2 + α2 + 2α*α + 1) 2ω
ω ω α ( a +2 + a 2 − aa + − a +a ) α = − ( α*2 + α2 − 2α*α − 1 ) 2 2 ω ( ∆q )2 = , ( ∆p )2 = 计算得到 2ω 2 按测不准原理，由于 [ p, q ] = −i ，因而有 ∆p∆q ≥ / 2 ，在相干态有 p2 = −
( (
)
Backer-Hausdorff Backer-Hausdorff 定理 定理
)
(
)
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单模相干态
位移算符 D(α) 的性质
• • 归一化算符 D + ( α ) = D ( −α ) = D −1 ( α ) ，所以 D ( α ) D + ( α ) = 1
∫−∞ φn* (q ) φm (q ) dq = δnm
坐标和动量以及它们的平方在粒子数态下面的平均值为
q = p =0 q2 = p2 1 ω 2 1 = ω n+ 2 n+
∞
(
) )
8
(
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相干态物理性质
相空间中相干态的起伏
相空间：一对正则共轭广义坐标和广义动量构成的空间，如 q 和 p ， 复平 面 Re α 和 Im α 构成空间。算符 a 和 a +为非厄米算符，其实部 X1 和虚部 X 2 定义了两个厄米算符
n! n
归一化相干态要求 α α = 1 ，则由
α α = 0 α α 2n ∑ n! = 0 α n 1 0 α = exp − α 2 2
2 2
exp ( α 2 )
(
)
1 α = exp − α 2 2
(
)∑
n
αn n n!
4
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* 平移特性：对算符 a (a + ) 的作用相当于使其平移一个复数量 α ( α )
D + ( α ) aD ( α ) = a + α D + ( α ) a +D ( α ) = a + + α*
•
对于任一的算符函数 f (a, a + ) 有
D + ( α ) f ( a, a + ) D ( α ) = f ( a + α, a + + α* )
α = exp −
(
1 2 α 2
)
1 2 α exp ( −α*a ) exp ( αa + ) 2 1 = exp − α 2 exp ( αa + ) exp ( −α*a ) 2 ↓ 1 exp ( αa + ) exp ( −α*a ) 0 = exp − α 2 exp ( αa + ) 0 2
∆q ∆p =
/2
上式说明相干态是最小测不准量子态，因而也是量子理论所容许的最接近 经典极限的量子态。
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相干态物理性质
相干态的能量起伏
利用不等式 A2 + B 2 ≥ 2AB ，我们有
1 ψ ( q, 0 ) = exp − α 2 2
1
(
)∑
n
αn q n n!
其中 α = ( ω / 2 ) 2 q 0 ， φn (q ) = q n 。不难看出，最小测不准波包 ψ (q, 0 ) 即为相干态下坐标的表达式
ψ ( q, 0 ) = q α
此波包的形式可以反过来证明，即求解相干态在坐标表象或动量表象中的波 函数形式，见郭光灿的《量子光学》第三章 p. 125. 相干态是最小测不准波包中的一个特例。
1 X1 = ( a + a + ) 2 1 X2 = (a − a + ) 2i
有对易关系 [ a, a + ] = 1 ，可以得到 X1 和 X 2 所满足的对易关系
[ X1, X 2 ] = −
1 2i 1 16
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因而厄米算符 X1 和 X 2 的测不准关系为
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单模相干态
相干态在粒子数态下的表述
α =
∑n
n
n α
n an ← n = 0 (a † ) 0 = n! an ⎛ αn ⎞ ⎟ ⎜ n α = 0 α =⎜ ⎟ 0 α ⎝ n!⎠ n!
3
4
在谐振子势场中的最小测不准波包平移运动
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相干态物理性质
相干态的坐标表示（Schrödinger 波函数）
q α = ψα ( q ) q a α = α q α = αψα ( q )
源自文库
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
ψ ( r, t )
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
8 6 4 2 0 -4 -3
V (r )
-2
-1
0
1
2
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相干态物理性质
几率密度随时间的变化为
ω ψ ( q, t ) = π
2
( )
1
2
ω exp ⎡⎢ − ( q − q 0 cos ωt )2 ⎤⎥ ⎣ ⎦
该波包在谐振子势场中来回做简谐振动而形状不变，因此是相干的。该波包 具有最小测不准关系，是最接近经典单模场的量子力学表述形式。相干的最 小测不准波包可以写成
量子光学
第二讲、相干态与压缩态
概 述
相干态定义 相干态的物理性质 相位算符 压缩态 双光子相干态 压缩态的实验获得
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单模相干态
为什么研究相干态？
• • • 最接近经典电磁场的量子态 完全相干的量子光场态 相干态表象 的本征态，即
定义：单模光场相干态定义为光子湮灭算符 a
a α =α α
• • • 相干态 α 上被消灭一个光子之后，其状态不变； 由于湮灭算符 a 为非厄米算符，所以其本征值 α 为复数。 经典意义上复数 α 对应于单模光场的复振幅。
单模相干态
相干态另一种定义方式
1 α = exp − α 2 2
(
)∑
n
( αa † )
n!
n
0 = exp −
(
1 2 α exp ( αa † ) 0 2
)
引入位移算符 D ( α ) = exp ( αa + − α*a ) ，所以相干态可以位移真空得到，即
α = D (α ) 0
D ( α ) = exp
( )
( )
( )
( )
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相干态物理性质
相干态下测不准关系
在相干态下计算 q 和 p 测不准关系
q = q2 = 2ω 2ω α (a + a + ) α =
于是我们得到真空态下的波函数解为
ω φ0 ( q ) = π
( )
1
4
⎛ ωq 2 ⎞ ⎟ exp ⎜ − ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠
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相干态物理性质
1 ⎡ ⎢ ωq + 2 ω ⎢⎣
a =
1 2 ω
⎡ ⎢ ωq + ⎢⎣
∂ ⎤ ⎥ ∂q ⎥⎦
∂ ⎤ ⎥ ψ ( q ) = αψα ( q ) ∂q ⎥⎦ α ↓ 2⎫ 1 ⎧ ⎪ ⎪ 2 2 ⎤⎥ ⎪ ⎪ ω ⎡⎢ ( q ) = A exp ⎨ − ψα q− α⎥ ⎬ ω ⎪ 2 ⎢⎢ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∞ 2 ↓ ∫−∞ ψα (q ) dq = 1 Please Recall Please Recall ω 14 A = exp ⎡⎣ ( Im α )2 ⎤⎦ 位移真空态 位移真空态 π 2⎫ 1 ⎧ 1 ⎪ ω ⎡ ⎪ 2 ⎤ ⎪ ω 4 2 ⎪ 2⎤ ⎢q − ψα ( q ) = exp ⎣⎡ ( Im α ) ⎦ exp ⎨ − α ⎥⎥ ⎬ ⎪ π ⎢⎢ π ω ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
1⎡ ( ∆p )2 + ω 2 ( ∆q )2 ⎤⎦ ≥ ω ∆q 2⎣ ∆p ≥
ω 2
对于相干态，此不等式变成等式
1⎡ 1 ( ∆p )2 + ω 2 ( ∆q )2 ⎤⎦ = [ p 2 + ω q 2 2⎣ 2 ω = 2 1 ] − ⎡⎣ p 2 + ω q 2 ⎤⎦ 2
该表达式说明相干态下能量的起伏最小，即零点能。上式右面第一项为场的 总能量，第二项代表相干能量。相干的物理含义因此可见：物理量没有起伏 没有噪音（零点起伏除外）。因此两项差值代表场的非相干能量，这表明相 干态场是完全相干的，非相干能量（噪音）仅来自于真空的零点能起伏。
相干态是最小测不准波包
考虑谐振子粒子数 n 态在坐标表象中的波函数表达式
φn (q ) = q n
将谐振子的产生和湮灭与坐标和动量算符联系起来有
1 ⎛ ∂ ⎞ ⎟ ⎜ ωq + ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ∂q 2 ω 1 ⎛ ∂ ⎞ ⎟ ⎜ ωq − a+ = ⎟ ⎜ ⎝ ∂q ⎠ 2 ω 对于真空态 n = 0 我们有 ⎛ ωq + ∂ ⎞ φ (q ) = 0 ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ∂q ⎠ a =
相干态物理性质
于是得到坐标与动量的测不准量为
( ∆p )2 = p 2 − p ( ∆q )2 = q 2 − q
2
= ω n+ = ω
(
1 2
)
2
(
n+
1 2
)
测不准关系为
∆p∆q = n +
(
1 2
)
可见最小测不准态是基态 φ0 ( q ) ，最小值为 / 2 。如何通过简单的谐振运动但 保持这个最小测不准波包形状不变？假设在 t = 0 时刻，波函数 ψ (q, 0 ) 具有最 小测不准波包形式，只是在 +q 方向上有一个位移量 q 0 ，于是有
•
位移算符 D ( α ) ( D + ( α ) ) 相当于相干态 α 的产生和湮灭算符
D (α) 0 = α D+ (α ) α = 0
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相干态物理性质