2015年陕西省高考数学试卷(理科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)陕西卷
2015年陕西理一、选择题（共12小题；共60分）1. 设集合M={x∣ x2=x}，N={x∣ lgx≤0}，则M∪N=( )A. [0,1]B. (0,1]C. [0,1)D. (−∞,1]2. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A. 93B. 123C. 137D. 167+φ)+k．据此函数可3. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6知，这段时间水深（单位：m）的最大值为( )A. 5B. 6C. 8D. 104. 二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，则n=( )A. 7B. 6C. 5D. 45. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 3πB. 4πC. 2π+4D. 3π+46. “ sinα=cosα”是“ cos2α=0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 对任意向量a⃗，b⃗⃗，下列关系式中不恒成立的是( )A. ∣∣a⃗⋅b⃗⃗∣∣≤∣a⃗∣∣∣b⃗⃗∣∣B. ∣∣a⃗−b⃗⃗∣∣≤∣∣∣∣a⃗∣−∣∣b⃗⃗∣∣∣∣∣C. (a⃗+b⃗⃗)2=∣∣a⃗+b⃗⃗∣∣2D. (a⃗+b⃗⃗)⋅(a⃗−b⃗⃗)=a⃗2−b⃗⃗28. 根据框图，当输入x为2006时，输出的y=( )A. 2B. 4C. 10D. 289. 设f(x)=lnx，0<a<b，若p=f(√ab)，q=f(a+b2)，r=12(f(a)+f(b))，则下列关系式中正确的是( )A. q=r<pB. p=r<qC. q=r>pD. p=r>q10. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A. 12万元B. 16万元C. 17万元D. 18万元11. 设复数z=(x−1)+yi(x,y∈R)，若∣z∣≤1，则y≥x的概率为( )A. 34+12πB. 12+1πC. 12−1πD. 14−12π12. 对二次函数f(x)=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A. −1是f(x)的零点B. 1是f(x)的极值点C. 3是f(x)的极值D. 点(2,8)在曲线y=f(x)上二、填空题（共4小题；共20分）13. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．14. 若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2−y2=1的一个焦点，则p=．15. 设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为．16. 如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量m⃗⃗⃗=(a,√3b)与n⃗⃗=(cosA,sinB)平行．（1）求A；（2）若a=√7，b=2，求△ABC的面积．18. 如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=π2，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．19. 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010（1）求T的分布列与数学期望ET；（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0,b)的直线的距离为12c．（1）求椭圆 E 的离心率；（2）如图，AB 是圆 M ：(x +2)2+(y −1)2=52 的一条直径，若椭圆 E 经过 A ，B 两点，求椭圆 E 的方程．21. 设 f n (x ) 是等比数列 1,x,x 2,⋯,x n 的各项和，其中 x >0，n ∈N ，n ≥2．（1）证明：函数 F n (x )=f n (x )−2 在 (12,1) 内有且仅有一个零点（记为 x n ），且 x n =12+12x nn+1； （2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 g n (x )，比较 f n (x ) 和 g n (x ) 的大小，并加以证明．22. 如图，AB 切 ⊙O 于点 B ，直线 AO 交 ⊙O 于 D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为 C ．（1）证明：∠CBD =∠DBA ； （2）若 AD =3DC ，BC =√2，求 ⊙O 的直径．23. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =3+12t,y =√32t（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为 ρ=2√3sinθ． （1）写出 ⊙C 的直角坐标方程； （2）P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．24. 已知关于 x 的不等式 ∣x +a∣<b 的解集为 {x∣ 2<x <4}．（1）求实数 a ，b 的值；（2）求 √at +12+√bt 的最大值．答案第一部分1. A2. C 【解析】由图可知该校女教师的人数为110×70%+150×(1−60%)=77+60= 137．3. C 【解析】提示：函数y=3sin(π6+φ)+k为y=3sin(π6+φ)+5，这段时间水深的最大值为y=3+5=8．4. B5. D【解析】提示：该几何体是底面半径为1，高为2的圆柱的一半．6. A7. B8. C 【解析】提示：当x=−2时，结束循环，输出y=3−(−2)+1=10．9. B 【解析】提示：12(lna+lnb)=ln√ab，√ab<a+b2，f(x)=lnx是定义域上的增函数．10. D【解析】提示：设该企业每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，则该企业每天可获得利润为z=3x+4y万元．其中x，y满足约束条件{3x+2y≤12, x+2y≤8, x≥0,y≥0.11. D 【解析】提示：满足题意的复数z在复平面上所对应的点是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部的点，其中满足y≥x的是图中阴影部分．12. A 【解析】由−1是f(x)的零点，得a−b+c=0. ⋯⋯①；由1是f(x)的极值点，得2a+b=0. ⋯⋯②；由3是f(x)的极值，得4ac−b 24a=3. ⋯⋯③；由点(2,8)在曲线y=f(x)上，得4a+2b+c=8. ⋯⋯④．联立①②③解得a=−34；联立②③④解得a=5，从而可判断出错误的结论为−1是f(x)的零点．第二部分13. 5【解析】提示：设数列的首项为a1，则a1+2015=2×1010．14. 2√2【解析】抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2(p>0)，故直线x=−p2过双曲线x2−y2=1的左焦点(−√2,0)，从而−p2=−√2，解得p=2√2．15. (1,1)【解析】因为曲线y=e x在点(0,1)处的切线斜率为1，所以曲线y=1x上点P处的切线斜率为−1，故−1x2=−1，又因为x>0，所以x=1，所以P的坐标为(1,1)．16. 1.2【解析】提示：建立如图所示的直角坐标系，易得抛物线为y=225x2−2．因为原始的最大流量与当前最大流量的比值为相应截面面积的比值，又四边形ABCD的面积为16m2，四边形ABCD中除去阴影部分的面积为∫(2−225x2)5−5dx=403m2，所以所求比值为1.2．第三部分17. （1）因为m⃗⃗⃗∥n⃗⃗，所以asinB−√3bcosA=0．由正弦定理，得sinAsinB−√3sinBcosA=0，又sinB≠0，从而tanA=√3．由于0<A<π，所以A=π3．（2）方法一：由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccosA，而a=√7，b=2，A=π3，得7=4+c2−2c，即c2−2c−3=0．因为c>0，所以c=3．故△ABC的面积为12bcsinA=3√32．方法二：由正弦定理，得√7sinπ3=2sinB，从而sinB=√217．又由a>b，知A>B，所以cosB=2√77．故sinC=sin(A+B)=sin(B+π3)=sinBcosπ3+cosBsinπ3=3√2114．所以△ABC的面积为12absinC=3√32．18. （1）在题图①中，因为AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=π2，所以BE⊥AC．即在题图②中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又因为OA1∩OC=O从而 BE ⊥平面A 1OC ． 又 CD ∥BE ，所以 CD ⊥平面A 1OC ．（2） 由已知，平面 A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由（1）知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 所以 ∠A 1OC 为二面角 A 1−BE −C 的平面角， 所以 ∠A 1OC =π2．如图，以 O 为原点，建立空间直角坐标系，因为 A 1B =A 1E =BC =ED =1，BC ∥ED ， 所以 B (√22,0,0)，E (−√22,0,0)，A 1(0,0,√22)，C (0,√22,0)， 得 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√22,√22,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√22,−√22)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√2,0,0)． 设平面 A 1BC 的法向量 n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1)，平面 A 1CD 的法向量 n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，平面 A 1BC 与平面 A 1CD 的夹角为 θ，则{n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,得 {−x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取 n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,1)； {n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,得 {x 2=0,y 2−z 2=0, 取 n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,1)； 从而cosθ=∣cos ⟨n 1⃗⃗⃗⃗⃗,n 2⃗⃗⃗⃗⃗⟩∣=√3×√2=√63, 即平面 A 1BC 与平面 A 1CD 夹角的余弦值为 √63． 19. （1） 由统计结果可得 T 的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得 T 的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）．（2）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一：P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.方法二：P(A)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.故P(A)=1−P(A)=0.91．20. （1）过点(c,0)，(0,b)的直线方程为bx+cy−bc=0，则原点O到该直线的距离为d=√b2+c2= bca,由d=12c，得a=2b=2√a2−c2，解得离心率为ca=√32．（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. ⋯⋯①依题意，圆心M(−2,1)是线段AB的中点，且∣AB∣=√10．易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y=k(x+2)+1，代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2−4b2=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k+1)2−4b21+4k2.由x1+x2=−4，得−8k(2k+1)1+4k2=−4，解得k=12．从而x1x2=8−2b2．于是∣AB∣=√1+(12)2∣x1−x2∣=√52√(x1+x2)2−4x1x2=√10(b2−2).由∣AB∣=√10，得√10(b2−2)=√10，解得b2=3．故椭圆E的方程为x 212+y23=1．方法二：由（1）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. ⋯⋯②依题意，点A，B，关于圆心M(−2,1)对称，且∣AB∣=√10．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x12+4y12=4b2，x22+4y22=4b2，两式相减并结合 x 1+x 2=−4，y 1+y 2=2，得−4(x 1−x 2)+8(y 1−y 2)=0.易知 AB 与 x 轴不垂直，则 x 1≠x 2，所以 AB 的斜率 k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12．因此直线 AB 的方程为 y =12(x +2)+1，代入 ② 得 x 2+4x +8−2b 2=0. 所以 x 1+x 2=−4，x 1x 2=8−2b 2．于是∣AB∣=√1+(12)2∣x 1−x 2∣=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2). 由 ∣AB∣=√10，得 √10(b 2−2)=√10，解得 b 2=3． 故椭圆 E 的方程为 x 212+y 23=1．21. （1）F n (x )=f n (x )−2=1+x +x 2+⋯+x n −2,则 F n (1)=n −1>0．F n (12)=1+12+(12)2+⋯+(12)n−2=1−(12)n+11−12−2=−12n <0,所以 F n (x ) 在 (12,1) 内至少存在一个零点．又 Fʹn (x )=1+2x +⋯+nx n−1>0，故 F n (x ) 在 (12,1) 内单调递增，所以 F n (x ) 在 (12,1) 内有且仅有一个零点 x n ． 因为 x n 是 F n (x ) 的零点，所以 F n (x n )=0，即1−x nn+11−x n−2=0,故 x n =12+12x n n+1．（2） 方法一： 由题设，g n (x )=(n+1)(1+x n )2．设ℎ(x )=f n (x )−g n (x )=1+x +x 2+⋯+x n−(n +1)(1+x n )2,x >0.当 x =1 时，f n (x )=g n (x )． 当 x ≠1 时，ℎʹ(x )=1+2x +⋯+nx n−1−n (n +1)2⋅x n−1. 当 x >1 时，ℎʹ(x )<x n−1+2x n−1+⋯+nx n−1−n (n +1)2⋅x n−1=n (n +1)2⋅x n−1−n (n +1)2⋅x n−1=0. 当 0<x <1 时，ℎʹ(x)>x n−1+2x n−1+⋯+nx n−1−n(n+1)2⋅x n−1=n(n+1)2⋅x n−1−n(n+1)2⋅x n−1=0.所以ℎ(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减．所以ℎ(x)<ℎ(1)=0，即f n(x)<g n(x)．综上所述，当x=1时，f n(x)=g n(x)；当x≠1时，f n(x)<g n(x)．方法二：由题设，f n(x)=1+x+x2+⋯+x n，g n(x)=(n+1)(1+x n)2,x>0．当x=1时，f n(x)=g n(x)．当x≠1时，用数学归纳法可以证明f n(x)<g n(x)．①当n=2时，f2(x)−g2(x)=−12(1−x)2<0，所以f2(x)<g2(x)成立．②假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即f k(x)<g k(x)．那么，当n=k+1时，f k+1(x)=f k(x)+x k+1<g k(x)+x k+1=(k+1)(1+x k)2+x k+1=2x k+1+(k+1)x k+k+12.又g k+1(x)−2x k+1+(k+1)x k+k+12=kx k+1−(k+1)x k+12.令ℎk(x)=kx k+1−(k+1)x k+1(x>0)，则ℎʹk(x)=k(k+1)x k−k(k+1)x k−1=k(k+1)x k−1(x−1).所以当0<x<1时，ℎʹk(x)<0，ℎk(x)在(0,1)上递减；当x>1时，ℎʹk(x)>0，ℎk(x)在(1,+∞)上递增．所以ℎk(x)>ℎk(1)=0，从而g k+1(x)>2x k+1+(k+1)x k+k+12．故f k+1(x)<g k+1(x)，即n=k+1时不等式也成立．由①和②知，对一切n≥2的整数，都有f n(x)<g n(x)．综上所述，当x=1时，f n(x)=g n(x)；当x≠1时，f n(x)<g n(x) .22. （1）因为DE为⊙O直径，所以∠BED+∠EDB=90∘，又BC⊥DE，所以∠CBD+∠EDB=90∘，从而∠CBD=∠BED．又AB切⊙O于点B，得∠DBA=∠BED，所以 ∠CBD =∠DBA ．（2） 由（1）知 BD 平分 ∠CBA ，则 BA BC =AD CD =3． 又 BC =√2，从而 AB =3√2．所以 AC =√AB 2−BC 2=4，所以 AD =3．由切割线定理，得 AB 2=AD ⋅AE ，即 AE =AB 2AD =6，故 DE =AE −AD =3，即 ⊙O 的直径为 3．23. （1） 由 ρ=2√3sinθ，得 ρ2=2√3ρsinθ， 从而有 x 2+y 2=2√3y ，所以 x 2+(y −√3)2=3．（2） 设 P (3+12t,√32t)， 又 C(0,√3)，则 ∣PC∣=√(3+12t)2+(√32t −√3)2=√t 2+12， 故当 t =0 时，∣PC∣ 取得最小值，此时，点 P 的直角坐标为 (3,0)．24. （1） 由 ∣x +a∣<b ，得 −b −a <x <b −a ，则 {−b −a =2,b −a =4, 解得 {a =−3,b =1.（2） √−3t +12+√t=√3√4−t +√t≤√[(√3)2+12][(√4−t)2+(√t)2]=2√4−t +t =4,当且仅当√4−t √3=√t 1，即 t =1 时等号成立，故 (√−3t +12+√t)max =4．。
2015年高考理科数学陕西卷-答案
n nn 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析第一部分一、选择题1. 【答案】A【解析】由 M ={x | x 2 = x } ⇒ M ={0,1},N ={x | lg x ≤ 0}⇒ N ={x | 0 < x ≤1}所以 M N =[0,1] ．【提示】求解一元二次方程化简 M ，求解对数不等式化简 N ，然后利用并集运算得答案 【考点】并集及其运算2. 【答案】C【解析】初中部女教师的人数为110⨯ 70% = 77 ；高中部女教师的人数为40⨯150% = 60 ，∴该校女教师的 人数为77 + 60 =137 ，【提示】利用百分比，可得该校女教师的人数．【考点】收集数据的方法．3. 【答案】C【解析】解：由题意可得当sin⎛ π x + ϕ ⎫取最小值-1 时，函数取最小值 y= -3 + k = 2 ，解得 k = 5 ，∴ 6 ⎪ min ⎝ ⎭ y = 3sin ⎛ π x + ϕ ⎫ + 5 ，∴当sin ⎛ π x + ϕ ⎫取最大值1 时，函数取最大值 y = 3 + 5 = 8 ， 3 ⎪ 6 ⎪ max ⎝ ⎭ ⎝ ⎭【提示】由题意和最小值易得 k 的值，进而可得最大值． 【考点】 y = A sin(ωx +ϕ) 的图象性质．4. 【答案】B【解析】二项式(x +1)n 的展开式的通项是T= C r x r，令 r = 2 得 x 2 的系数是C 2 ，因为 x 2 的系数为15 ，所以C 2 = 15 ，即 n 2 - n - 30 = 0 ，解得： n = 6 或n = -5 ， 因为n ∈ N + ，所以n = 6r +1n 几何体 2 2【提示】由题意可得C 2= 15 ，解关于 n 的方程可得．【考点】二项式定理的应用．5. 【答案】D【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为V = π 12 + π⨯1⨯2 + 2⨯ 2= 3π + 4【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积． 【考点】由三视图求面积，体积6. 【答案】A【解析】cos2α = 0 ⇒cos 2 α -sin 2 α = 0⇒(cos α -sin α)(cos α +sin α) = 0所以sin α = cos α或sin α = - cos α【提示】由cos2α = cos 2 α -sin 2 α ，即可判断出． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．7. 【答案】B【解析】因为a b =| a || b | cos < a ,b >≤| a || b | ，所以选项A 正确； 当 a 与b 方向相反时，| a - b |≤ | a | - | b | 不成立，所以选项 B 错误； 向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；(a + b)(a - b) = a - b 所以选项D 正确【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 【考点】平面向量数量积的运算8. 【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得 x = 2006，x = 2004 满足条件 x ≥ 0，x = 2002 满足条件 x ≥ 0，x = 2000 ……满足条件 x ≥ 0，x = 0ab ⎨ ⎩ ⎩ ⎩ 满足条件 x ≥ 0不满足条件 x ≥ 0，y =10 输出 y 的值为10【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x 的值，当 x = -2 时不满足条件 x ≥ 0 ，计算并输出 y 的值为10 . 【考点】程序框图9. 【答案】B【解析】 p = f ( ab ) = ln ab ，q = f ⎛ a + b ⎫= lna +b ，2 ⎪ 2 ⎝ ⎭r = 1 ( f (a ) + f (b )) = 1ln ab = ln 2 2函数 f (x ) = ln x 在(0, +∞) 上单调递增，因为 a + b > ，所以 f ⎛ a + b ⎫> f (ab ) ， 22 ⎪ ⎝ ⎭ 所以q > p = r【提示】由题意可得 p = 1 (ln a + ln b ) ， q = ln ⎛ a + b ⎫ ≥ ln( ab ) = p ， r = 1 (ln a + ln b ) ，可得大小关系． 2 2 ⎪ 2【考点】不等关系与不等式．10. 【答案】D⎝ ⎭⎧3x + 2 y ≤ 12【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为 x ，y 顿，利润为 z 元，则⎪x + 2 y ≤ 8 ⎪x ≥ 0, y ≥ 0 ，目标函数为 z = 3x + 4y ．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由 z = 3x + 4y 得 y = - 3 x + z ，平移直线 y = - 3 x + z 由图象可知当直线 y = - 3 x + z经过点 B 时，直线4 4 4 4 4 4y = - 3 x + z的截距最大，此时 z 最大，解方程组⎧3x + 2 y = 12 ，解得⎧ x = 2 ，即 B 的坐标为 x = 2，y = 3 ，4 4∴z max = 3x + 4y = 6 +12 =18 ⎨x + 2 y = 8 ⎨ y = 3即每天生产甲乙两种产品分别为 2，3 顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18 万元ab【提示】设每天生产甲乙两种产品分别为 x ，y 顿，利润为 z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 z 的最大值． 【考点】简单线性规划的应用11. 【答案】D【解析】∵复数 z = (x -1) + y i(x ，y ∈R ) 且| z |≤1，∴| z |= ≤ 1，即(x -1)2 + y 2≤ 1 ，∴点(x ，y ) 在(1，0) 为圆心 1 为半径的圆及其内部，而 y ≥ x 表示直线 y = x 左上方的部分，（图中阴影弓形） ∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率 P = 1 π 12 - 1 ⨯1⨯1 = 1 - 14 2 4 2π【提示】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得． 【考点】几何概型12. 【答案】A【解析】假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确， f '(x ) = 2ax + b ，因为 1 是 f (x ) 的极值点，3 是 f (x ) 的极值， ⎧ f '(1) = 0 ⎧2a + b = 0 ⎧b = -2a 所以⎨ f (1) = 3 ， ⎨a + b + c = 3 ，解得⎨c = 3 + a ，⎩ ⎩ ⎩因为点(2,8) 在曲线 y = f (x ) 上，所以4a + 2b + c = 8，解得： a = 5 ，所以b = -10 ， c = 8 ， 所以 f (x ) = 5x 2 -10x + 8因为 f (-1) = 5⨯(-1)2 -10⨯(-1) + 8 = 23 ≠ 0 ， 所以-1不是 f (x ) 的零点，所以假设成立，选 A【提示】可采取排除法．分别考虑 A ，B ，C ，D 中有一个错误，通过解方程求得 a ，判断是否为非零整数，(x -1)2 + y 21即可得到结论．【考点】二次函数的性质．第二部分二、填空题13. 【答案】5【解析】解：设该等差数列的首项为 a ，由题意和等差数列的性质可得2015 + a =1010⨯ 2 解得 a = 5【提示】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【考点】等差数列14. 【答案】2 【解析】抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线方程是 x =- p，2 双曲线 x 2 - y 2 = 1 的一个焦点 F (- 2, 0) ，因为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线经过双曲线 x 2 - y 2 = 1 的一个焦点，所以- p= - 22 ，解得 p = 2 【提示】先求出 x 2 - y 2 = 1 的左焦点，得到抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的准线，依据 p 的意义求出它的值．【考点】抛物线的简单性质 15.【答案】(1,1)【解析】∵ f '(x ) = e x ，∴ f '(0) = e 0= 1∵ y = e x在(0,1) 处的切线与 y = 1 (x > 0) 上点 P 的切线垂直x∴点 P 处的切线斜率为-1又 y ' = 1x 2 ，设点 P (x 0，y 0 )∴ - 1x 0= -1∴x 0 = ±1， x > 0，∴ x 0 =1∴y 0 = 1 223 ∴点 P (1,1)【提示】利用 y = e x在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程16. 【答案】1.2【解析】如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y = ax 2，因为抛物线经过(5，2) ，可得a = 2， 25所以抛物线方程： y =2x 2 ，横截面为等腰梯形的水渠， 25 泥沙沉积的横截面的面积为： 2⎛ 5 2 x 2 - 1 ⨯ 2 ⨯ 2⎫ = 2⎛ 2 x 3 |5 -2⎫ = 8， ⎰0 25 2 ⎪ 75 0 ⎪ 3 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭10 + 6 ⨯ 2 = 16 ，当前最大流量的横截面的面积16 - 8，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：1618 - 82 3= 1.2【提示】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积， 即可推出结果．【考点】直线与圆锥曲线的关系． 三、解答题17. 【答案】（Ⅰ） A = π3（Ⅱ）3 32 【解析】（Ⅰ）因为向量m = (a , 3b ) 与n = (cos A ，sin B ) 平行，所以a sin B -3b cos A = 0 ，由正弦定理可知：sin A sin B - 3 sin B cos A = 0 ，因为sin B ≠ 0 ，所以tan A =3，可得 A = π ； 3（Ⅱ）由正弦定理得 7 = 2 ，从而sin B = 21，sin π sin B 73等腰梯形的面积为：3 ⎩ ⎨又由a > b ，知 A > B ，所以cos B =故 = ⎛π ⎫sin C = sin(A + B ) sin B + ⎪⎝⎭ = sin B cos π + cos B sin π = 3 213 314 所以∆ABC 的面积为 1 bc sin A = 3 32 2【提示】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A ；（Ⅱ）利用 A ，以及a = 7，b = 2 ，通过余弦定理求出 c ，然后求解∆ABC 的面积．【考点】余弦定理的应用，平面向量共线（平行）的坐标表示18. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 63【解析】证明：（Ⅰ）在图 1 中，∵ AB = BC =1，AD = 2 ，E 是 AD 的中点，∠BAD = π， 2∴ BE ⊥ AC ，即在图 2 中， BE ⊥ OA 1，BE ⊥ OC ，则 BE ⊥ 平面A 1OC ；∵CD ∥BE ， ∴ CD ⊥ 平面A 1OC ；（Ⅱ）若平面A 1BE ⊥ 平面BCDE ，由（Ⅰ）知 BE ⊥ OA 1，BE ⊥ OC ，∴ ∠A 1OC 为二面角 A 1 - BE - C 的平面角，∴ ∠AOC = π，如图，建立空间坐标系，12∵A 1B = A 1E = BC = ED =1 ， BC ∥EDB ⎛ 2 ，0 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ∴ 2 ，0 ⎪，E - 2 ，0，0 ⎪，A 1 0，0, 2 ⎪，C 0, 2 ，0 ⎪ ，⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭BC⎛ 2 2 ⎫ ⎛ 2 2 ⎫ = - 2 , 2 , 0 ⎪, A 1C = 0, 2 , - 2 ⎪，CD = BE (- 2, 0, 0)⎝ ⎭ ⎝ ⎭设平面A 1BC 的法向量为m = (x , y , z ) ，平面A 1CD 的法向量为n = (a ，b ，c ) ，则⎧⎪m B C ⎨ ⎪⎩m A C 1= 0 ⎧- x + y = 0 = 0 得⎨ y - z = 0 ，令 x =1 ，则y =1，z =1，即m ⎧⎪n A 1C = 0 = (1,1,1) ，由⎨ ⎪⎩n CD = 0⎧a = 0得 ⎩b - c = 0，取n = (0，1，1) ， 2 77m, n >=m n=2| m || n | 3 ⨯ 26则cos <=，3即平面A BC 与平面ACD 夹角的余弦值为6 ．1 1 3【提示】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD ⊥平面A1OC ；（Ⅱ）若平面A1BE ⊥平面BCDE ，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质【答案】（Ⅰ）T 的分布列为：T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1ET = 32 （分钟）（Ⅱ）0.91T（分钟）25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET = 25⨯ 0.2 + 30⨯ 0.3 + 35⨯ 0.4 + 40⨯ 0.1 = 32 （分钟）（Ⅱ）设T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与T 的分布列相同，设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为50 分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70 分钟”b 2 +c 210(b 2- 2) 101 12 2P (A ) = P (T 1 + T 2 > 70) = P (T 1 = 35，T 2 = 40) + P (T 1 = 40，T 2 = 35) + P (T 1 = 40，T 2 = 40)= 0.4⨯ 0.1+ 0.1⨯ 0.4 + 0.1⨯ 0.1 = 0.09 故 P ( A ) =1- P (A ) = 0.91【提示】（Ⅰ）求 T 的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量， 数学期望 ET = 25⨯ 0.2 + 30⨯ 0.3 + 35⨯ 0.4 + 40⨯ 0.1 = 32 （分钟）；（Ⅱ）设T 1，T 2 分别表示往、返所需时间，事件 A 对应于“刘教授共用时间不超过 70 分钟”，先求出P (A ) = P (T 1 = 35，T 2 = 40) + P (T 1 = 40，T 2 = 35)+ P (T 1 = 40，T 2 = 40 )= 0 .09【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列20. 【答案】（Ⅰ） 32（Ⅱ） x 2 + y 2 =12 3【解析】（Ⅰ）经过点(0,b ) 和(c ,0) 的直线方程为bx + cy - bc = 0 ，则原点到直线的距离为d = bc = 1 c 2 ，即为a = 2b ，e = c = a = 3 ； 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b 2①，由题意可得圆心 M (-2，1) 是线段 AB 的中点，则| AB |= 10 ，易知 AB 与 x 轴不垂直，记其方程为 y = k (x + 2) +1，代入①可得(1+ 4k 2 )x 2 + 8k (1+ 2k ) x + 4(1+ 2k )2- 4b 2 = 0 ，设 A (x ，y )，B (x ，y ) ，x +-8k (1+ 2k )4(1 + 2k )2 - 4b 2x + x = -4 -8k (1+ 2k ) 1则 1 x 2 =1+ 4k2， x 1 x 2 =1 + 4k 2，由 1 2，得 1+ 4k 2 = -4 ，解得k = ， 2从而 x 1 x 2 = 8 - 2b ，于是| AB |= 2x 2 y 2= = ， 解得b 2= 3 ，则有椭圆 E 的方程为 + = 112 3【提示】（Ⅰ）求出经过点(0，b ) 和(c ，0) 的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b 2，①设出直线 AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2 = 3 ，即可得到椭圆方程． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，曲线与方程b 2 1 - a 2 1 + | x + x |= ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭⎪ 1 2 5 2(x + x )2 - 4x x 1 2 1 2 1n 021. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）当 x =1 时， f n (x ) = g n (x )当 x ≠ 1 时， f n (x ) < g n (x )【解析】证明：（Ⅰ）由 F n (x ) = f n (x ) - 2 = 1+ x + x 2 +⋯+ x n - 2 ，则 F (1) = n -1 > 0 ，⎛ 1 ⎫n +1⎛ 1 ⎫ 1 ⎛ 1 ⎫2⎛ 1 ⎫n1- 2 ⎪ 1 F = 1+ + +⋯+- 2 = ⎝ ⎭ - 2 = - < 0 ，n 2 ⎪ 2 2 ⎪ 2 ⎪ 1 2n⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 1-2 ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫ 内至少存在一个零点，又 F '(x ) = 1+ 2x +⋯+ nx n -1> 0 ， n 2 ⎪ n ⎝ ⎭ ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫内单调递增， n 2 ⎪ ⎝ ⎭ ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫内有且仅有一个零点 x ， n 2 ⎪ n⎝ ⎭∵ x n 是 F n (x ) 的一个零点，1 - x n +1 ∴ F (x ) = 0 ，即 n -2 = 0 ，故 x = 1 + 1 x n +1 ； 1 - x nn 2 2 n(n + 1)(1 + x n ) （Ⅱ）由题设， g n (x ) =， 22n(n +1)(1 + x n )设 h (x ) = f n (x ) - g n (x ) = 1 + x + x当 x =1 时， f n (x ) = g n (x ) ．+⋯+ x -，x > 0 ． 2当 x ≠ 1 时， h '(x ) = 1 + 2x +⋯+ nxn -1 n (n + 1)x n -1-．2若0 < x < 1， h '(x ) > xn -1 + 2xn -1 + ... + nx n -1 -n (n + 1)x n -12= n (n +1)x n -1 - n (n +1)x n -1 = ． 2 2若 x >1 ， h '(x ) < xn -1+ 2xn -1+ ... + nxn -1-n (n +1)x n -12= n (n +1)x n -1 - n (n +1)x n -1 = ． 2 2∴h (x ) 在(0，1) 内递增，在(1，+ ∞) 内递减， ∴ h (x ) < h (1) = 0 ，即 f n (x ) < g n (x ) ．n n2 综上，当 x =1 时， f n (x ) = g n (x ) ；当 x ≠ 1 时， f n (x ) < g n (x ) ．【提示】（Ⅰ）由 F (x ) = f (x ) - 2 = 1+ x + x 2 +⋯+ x n - 2 ，求得 F (1) > 0 ， F ⎛ 1 ⎫ < 0 ．再由导数判断出函 n n n n 2 ⎪ ⎝ ⎭ 数 F (x ) 在 ⎛ 1 ,1⎫ 内单调递增， 得到 F (x ) 在 ⎛ 1 ,1⎫ 内有且仅有一个零点 x ，由 F (x )= 0，得到 n 2 ⎪ n 2 ⎪ n n n⎝ ⎭ ⎝ ⎭ x = 1 + 1 x n +1 ；n 2 2 n (n + 1)(1 + x n ) 2 n (n +1)(1 + x n ) （Ⅱ）先求出 g n (x ) = 2 ，构造函数h (x ) = f n (x ) - g n (x ) = 1 + x + x +⋯+ x - ，当 2x =1 时， f n (x ) = g n (x )； 当 x ≠ 1 时， 利用导数求得 h (x ) 在(0，1) 内递增， 在(1，+ ∞) 内递减，即得到f n (x ) <g n (x )．【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合22. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【解析】证明：（Ⅰ）∵ DE 是 O 的直径，则∠BED + ∠EDB = 90︒ ，∵BC ⊥ DE ， ∴ ∠CBD + ∠EDB = 90︒ ，即∠CBD = ∠BED ，∵ AB 切 O 于点 B ，∴ ∠DBA = ∠BED ，即∠CBD = ∠DBA ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 BD 平分∠CBA ，则BA = AD = 3 ，∵ BC = ， ∴ AB = 3 2 ， A C = BC CD= 4 ，则 AD = 3 ， AB 2由切割线定理得 AB 2 = AD AE ，即 AE = = 6 ，AD 故 DE = AE - AD = 3 ，即 O 的直径为 3．【提示】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明： ∠CBD = ∠DBA ；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求 O 的直径．【考点】直线与圆的位置关系23.【答案】（Ⅰ）x 2 + ( y - 3)2 = 3 AB 2 - BC 2t 2 +12 3 3 at +12 bt -3t +12 3 4 - t 4 - t + t t ⎩ ⎨ ⎨ （Ⅱ） P (3,0)【解析】（Ⅰ）由 C 的极坐标方程为 ρ = 2 3ρ sin θ ．∴ ρ2 = 2 3ρ sin θ ，化为 x 2 + y 2 = 2 3y ，配方为 x 2 + ( y -3)2 = 3 ．⎛ 1 3 ⎫ （Ⅱ）设 P 3 + 2 t , 2 t ⎪ ，又C (0, 3) ． ⎝ ⎭ ∴|PC |== ≥ 2 ，因此当t = 0 时，| PC | 取得最小值2 ．此时 P (3,0) ．【提示】（Ⅰ）由 C 的极坐标方程为 ρ = 2 3ρ sin θ ．化为 ρ2 = 2 3ρ sin θ ，把⎧ρ 2 = x 2 ⎨ y = ρn+2y θ 代入即可得出． ⎛ 1 3 ⎫（Ⅱ）设 P 3 + 2 t , 2 t ⎪ ，又C (0, 3) ．利用两点之间的距离公式可得|PC |=，再利用二次函数的⎝ ⎭性质即可得出．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化⎧a = -3 24.【答案】（Ⅰ） ⎨⎩b = 1（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）关于 x 的不等式| x + a |< b 可化为-b - a < x < b - a ，又∵原不等式的解集为{x | 2 < x < 4}， ⎧-b - a = 2 ∴ ⎩b - a = 4 ⎧a = -3 ，解方程组可得 ； ⎩b = 1（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 + = += +≤= 2 = 4 ，当且仅当 = 即t =1时取等号， 1∴所求最大值为 4⎛ 1 ⎫2 3 + t ⎪ + t - 3 ⎪ ⎛ 3 ⎫ 2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ t 2 +12 tt [( 3)2 +12 ][( 4 - t )2 + ( t )2 ]4 - t 3-3t +12 t 3 4 - t t 【提示】（Ⅰ）由不等式的解集可得 a 与 b 的方程组，解方程组可得； （Ⅱ）原式= + = + ，由柯西不等式可得最大值．【考点】不等关系与不等式。
普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理数答案解析(正式版)(原卷版).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 （ ）A ．167B ．137C ．123D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．104.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+6.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=-8.根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ．29.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确 的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限 额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为 （ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)12811.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= ．15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 ． 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则 原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与 ()cos ,sin n =A B 平行．（I ）求A ；（II ）若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ； （II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其 容量为100的样本进行统计，结果如下：T （分钟）25 30 35 40 频数（次） 20 30 40 10（I ）求T 的分布列与数学期望ET ；（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从 离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ， ()0,b 的直线的距离为12c ． （I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方 程．21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； （II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求12at bt ++的最大值．。
2015年陕西高考理科数学试题及答案
2015年高考陕西省理科数学真题一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．167B ．137C ．123D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．104.二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+ 6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．|?|||||a b a b ≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22(a b)(a b)a b +-=-8.根据下边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ．29.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ） A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．-1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上二、填空题13.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p=15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题17.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．()I 求A ； ()II 若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．18.如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．()I 证明：CD ⊥平面1C A O ；()II 若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：()I 求T 的分布列与数学期望ET ；()II 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20.已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． ()I 求椭圆E 的离心率；()II 如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．21.设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．()I 证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； ()II 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．22.如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．()I 证明：C D D ∠B =∠BA ；()II 若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．23.在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=．()I 写出C 的直角坐标方程；()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．2015年高考陕西省理科数学真题答案一、选择题 1.答案：A 解析过程： 由==⇒=2{x }{0,1},M xx M=≤⇒=<≤N {x lg 0}N {x 0x 1}x所以0,1MN ⎡⎤=⎣⎦，选A2.答案：B解析过程：由图可知该校女教师的人数为，选B3.答案：C 解析过程：试题分析：由图像得， 当时，求得， 当时，，选C4.答案：B 解析过程：二项式(1)nx +的展开式的通项是1r rr n T C x +=，令2r =得2x 的系数是2n C ，因为2x 的系数为15，所以215n C =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-， 因为n N +∈，所以6n =，选C 5.答案：D 解析过程：试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半， 所以该几何体的表面积为，选 6. 答案：A11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=sin()16x π+Φ=-min 2y =5k =sin()16x π+Φ=max 3158y =⨯+=21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+D解析过程：ααα=⇒-=22cos 20cos sin 0αααα⇒-+=(cos sin )(cos sin )0所以sin cos 或sin =-cos αααα=，选A 7.答案：B 解析过程：因为cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误； 向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；22(a b)(a b)a b +-=-所以选项D 正确，选B8.答案：C 解析过程：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：； 第3次运行：；；第1003次运行：； 第1004次运行：．不满足条件，停止运行， 所以输出的，故选 B ．9.答案：B 解析过程：()ln p f ab ab ==，()ln22a b a bq f ++==， 11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b ab +>，所以()()2a bf f ab +>， 所以q p r >=，故选C10.答案：D 解析过程：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润2006x =2004x =2002x =2000x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅0x =2x =-0?x ≥23110y =+=x y 34z x y =+由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值， 所以，故选D 11.答案：D解析过程：如图可求得，，阴影面积等于 若，则的概率是，故选B ． 12.答案：A 解析过程：假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+， 因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨=⎩，203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得23b ac a=-⎧⎨=+⎩，因为点(2,8)在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=， 解得：5a =，所以10b =-，8c =， 所以2()5108f x x x =-+因为()215(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以假设成立，选A 二、填空题 13.答案：5 解析过程：设数列的首项为，则，32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤(1,1)A (1,0)B 21111114242ππ⨯-⨯⨯=-||1z ≤y x ≥211142142πππ-=-⨯1a 12015210102020a +=⨯=所以，故该数列的首项为 14.答案：22 解析过程：抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-， 双曲线221x y -=的一个焦点1(2,0)F -， 因为抛物线22(0)y px p =>的准线 经过双曲线221x y -=的一个焦点， 所以22p-=-，解得22p = 15.答案：（1,1） 解析过程：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率， 因为，所以，即，解得， 因为，所以，所以，即的坐标是 16.答案：1.2 解析过程：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是， 设抛物线的方程为（）， 因为该抛物线过点，所以，15a =5xy e =xy e '=xy e =()0,10101x k y e ='===P ()00,x y 00x >001y x =1y x =21y x'=-1y x=P 02201x x k y x ='==-121k k ⋅=-2011x -=-21x =01x =±00x >01x =01y =P ()1,1()11010222162⨯+-⨯⨯=22x py =0p >()5,22225p ⨯=解得，所以，即， 所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是三、解答题 17.答案：（I ）；（II ）．解析过程：（I ）因为，所以，由正弦定理，得 又，从而，由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC 的面积为2sin sin3B=，从而sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos B =故sin sin()C A B =+sin()3B π=+sin coscos sin33B B ππ=+=254p =2252x y =2225y x =()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰161.2403=3π//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3A π=2222cos a b c bc A 7b 2,a 3πA =2742c c 2230c c 0c3c ∆133bcsinA 22所以ABC ∆的面积为133sin 2bc A = 18.答案：（I ）证明见解析；（II ）解析过程：（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，BAD=，所以BE AC 即在图2中，BE ，BE OC 从而BE 平面又CD BE ，所以CD 平面. (II)由已知，平面平面BCDE ， 又由（1）知，BE ，BE OC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为, 所以 得 ，.设平面的法向量， 平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取， 6∠2π⊥⊥1OA ⊥⊥1A OC ⊥1A OC 1A BE ⊥⊥1OA ⊥1A OC ∠1--C A BE 1OC 2A π∠=11B=E=BC=ED=1A A BC ED 12222(,0,0),E(,0,0),A (0,0,),C(0,,0),2222B 22BC(,,0),122A C(0,,)CD BE (2,0,0)1BC A 1111(,,)n x y z 1CD A 2222(,,)n x y z 1BC A 1CD A θ1110n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩1(1,1,1)n 2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22200x y z =⎧⎨-=⎩2(0,1,1)n =从而， 即平面与平面夹角的余弦值为 19.答案：()I T 的分布列为：ET=32（分钟）()II解析过程：以频率估计概率得T 的分布列为从而 （分钟） (II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟， 所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：.解法二：故.20.答案：()I ()II22x y +=1123 解析过程：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，12cos |cos ,|n n θ=〈〉==1BC A 1CD A 30.910.4400.132⨯+⨯=12,T T 12,T T 121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T 12P(40,40)T T 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=(A)1P(A)0.91P 0bx cy bc则原点O 到直线的距离，由， 得，解得离心率. (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且. 易知，AB 不与x 轴垂直， 设其直线方程为，代入(1)得设则 由，得解得. 从而.于是. 由，得，解得. 故椭圆E 的方程为. 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (2)依题意，点A ，B 关于圆心M(-2,1)对称，且. 设则，，两式相减并结合 得.bc d a==12d c 2222a b a c 3c a 22244x y b |AB |10(2)1y k x 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b 1122(,y ),B(,y ),A x x 221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k 124x x 28(21)4,14k k k 12k 21282x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 22244x y b |AB |101122(,y ),B(,y ),A x x 2221144x y b 2222244x y b 12124,y 2,x x y 1212-4()80x x y y易知，AB 不与x 轴垂直，则，所以AB 的斜率 因此AB 直线方程为， 代入(2)得所以，. 于是. 由，得，解得. 故椭圆E 的方程为. 21.答案： （I ）证明见解析；（II ）当时， ， 当时，，证明见解析． 解析过程：（I ）则 所以在内至少存在一个零点. 又，故在内单调递增， 所以在内有且仅有一个零点. 因为是的零点，所以，12x x ≠12121k .2ABy y x x 1(2)12yx 224820.x x b 124x x 21282x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 2()()212,n n n F x f x x x x (1)10,n F n 1211111112()1220,12222212n n n n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()n F x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭n x 1()120n n F x x nx -'=++>1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()n F x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭n x n x ()n F x ()=0n n F x即，故. (II)解法一：由题设， 设 当时,当时, 若, 若,所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时, ；当时 解法二 由题设， 当时,当时, 用数学归纳法可以证明. 当时, 所以成立. 假设时，不等式成立，即. 那么，当时，11201n n nx x 111=+22n n n x x 11().2nn n x g x 211()()()1,0.2nn n n n x h x f x g x x x x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-01x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-11110.22n n n n n n x x 1x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-11110.22n n n n n n x x ()h x (0,1)(1,)+∞()(1)0h x h ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 211()1,(),0.2n n n n n x f x x xx g x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 2n 2221()()(1)0,2f x g x x 22()()f x g x (2)n k k =≥()()k k f x g x +1n k. 又 令，则 所以当,,在上递减；当,,在上递增. 所以，从而 故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为, 则，，所以, 令当时, ,所以. 当时, 而，所以，.若, ,, 当,,, 从而在上递减,在上递增.所以， 111k+1k 11()()()2k k k k k k x f x f x x g x x x 12112k k x k x k 11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x 1()11(x 0)k k k h x kx k x ()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k xk k x --'=+-+=+-01x ()0k h x '<()k h x (0,1)1x ()0kh x '>()k h x (1,)+∞()(1)0k k h x h 1k+1211()2k k x k x k g x 11()()k k f x g x +1n k 2n ≥()()n n f x g x k a k b k1,2,, 1.n 111a b 11n n n a b x ()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤1(2),k k b x k n -=≤≤()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n ---=-=+->≤≤1x =k k a b ()()n n f x g x 1x ≠()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--2k n ≤≤10k 11n k -+≥01x 11nk x ()0k m x '<1x 11n k x ()0km x '>()k m x (0,1)()k m x (1,)+∞()(1)0k k m x m所以当又,，故 综上所述，当时, ；当时 22.答案：()I 见解析()II 直径为3解析过程：（Ⅰ）因为是的直径，则， 又，所以，又切于点，得，所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）知平分，则， 又，从而，由，解得，所以， 由切割线定理得，解得， 故，即的直径为3.23.答案： ()I 22（-3x y +=()II （3,0）解析过程：（1）由，得，从而有，所以 （2）设，又， 则 24.已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． ()I 求实数a ，b 的值；()II答案：()I a=-3,b=1()II 4解析过程：（Ⅰ）由，得，01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,11a b 11n n a b ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x DE O 90BED EDB ∠+∠=︒BC DE ⊥90CBD EDB ∠+∠=︒AB O B DBA BED ∠=∠CBD DBA ∠=∠BD CBA ∠3BA AD BC CD ==BC=AB =222AB BC AC =+4AC =3AD =2AB AD AE =⋅6AE =3DE AE AD =-=O ρθ=2sin ρθ=22x y +=(223x y +-=132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C PC ==x a b +<b a x b a --<<-由题意得，解得；，时等号成立， 故24b a b a --=⎧⎨-=⎩3,1a b =-==+≤4===1t =min 4=。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(陕西卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。
15年高考真题——理科数学(陕西卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2|M x x x ==，{}|lg 0N x x =≤，则M N = （ ）（A ）[]0,1 （B ）(]0,1 （C ）[)0,1 （D ）(],1-∞2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )4．二项式()()1n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n = ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )（A ）3π （B ）4π （C ）24π+ （D ）34π+6．“sin cos αα=”是“cos 20α=”的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( )（A ）||||||a b a b ⋅≤ （B ）||||||a b a b -≤-（C ）()22||a b a b +=+ （D ）()()22a b a b a b +-=- 8．根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y = ( )（A ）28 （B ）10 （C ）4 （D ）29．设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，2a b q f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()12r f a f b =+⎡⎤⎣⎦，则下列关系式中正确的是（ ） （A ）q r p =< （B ）q r p => （C ）p r q =< （D ）p r q => 10．某企业生产甲、乙两种产品均需用,A B 两种原料。
已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）（A ）12万元 （B ）16万元（C ）17万元 （D ）18万元 11．设复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）（A ）3142π+ （B ）1142π- （C ）112π- （D ）112π+ 12．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） （A ）1-是()f x 的零点（B ）1是()f x 的极值点 （C ）3是()f x 的极值 （D ）点()2,8在曲线()y f x =上二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________。
2015理科数学(陕西卷)
2015年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后，先按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后，将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共12小题，每小题5分，共60分).1.(2015陕西，理1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案：A解析：解x2＝x，得x＝0或x＝1，故M＝{0，1}.解lg x≤0，得0＜x≤1，故N＝(0，1].故M∪N＝[0，1]，选A．2.(2015陕西，理2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．93 B．123 C．137 D．167答案：C解析：由题图知，初中部女教师有110×70%＝77人;高中部女教师有150×(1－60%)＝60人.故该校女教师共有77+60＝137(人).选C．x+3.(2015陕西，理3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6φ+k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5 B．6 C．8 D．10答案：C解析：因为sinπ6x+φ ∈[－1，1]，所以函数y＝3sinπ6x+φ +k的最小值为k－3，最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k－3＝2，解得k＝5.所以y的最大值为k+3＝5+3＝8，故选C．4.(2015陕西，理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，则n＝() A．7 B．6 C．5 D．4答案：B解析：(x+1)n的展开式通项为T r+1＝C n r x n－r.令n－r＝2，即r＝n－2.则x2的系数为C n n−2＝C n2＝15，解得n＝6，故选B．5.(2015陕西，理5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4答案：D解析：由三视图可知，该几何体是一个半圆柱，圆柱的底面半径r＝1，高h＝2.所以几何体的侧面积S1＝C底·h＝(π×1+2)×2＝2π+4.几何体的底面积S2＝12π×12＝12π.故该几何体的表面积为S＝S1+2S2＝2π+4+2×π2＝3π+4.故选D．6.(2015陕西，理6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由cos 2α＝0，得cos2α－sin2α＝0，即cos α＝sin α或cos α＝－sin α.故“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.7.(2015陕西，理7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a+b)2＝|a+b|2D．(a+b)·(a－b)＝a2－b2答案：B解析：A项，a·b＝|a||b|cos＜a，b＞≤|a||b|，所以不等式恒成立;B项，当a与b同向时，|a－b|＝||a|－|b||;当a与b非零且反向时，|a－b|＝|a|+|b|＞||a|－|b||.故不等式不恒成立;C项，(a+b)2＝|a+b|2恒成立;D项，(a+b)·(a－b)＝a2－a·b+b·a－b2＝a2－b2，故等式恒成立.综上，选B．8.(2015陕西，理8)根据下边框图，当输入x为2 006时，输出的y＝()A．2B．4C．10D．28答案：C解析：由算法框图可知，每运行一次，x的值减少2，当框图运行了1 004次时，x＝－2，此时x＜0，停止循环，由y＝3－x+1可知，y＝3－(－2)+1＝10，故输出y的值为10，故选C．9.(2015陕西，理9)设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f(，q＝f a+b2，r＝12(f(a)+f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r＜p B．p＝r＜qC．q＝r＞p D．p＝r＞q答案：B解析：因为0＜a＜b，所以a+b2＞ab.又因为f(x)＝ln x在(0，+∞)上单调递增，所以f a+b2＞f(ab)，即p＜q.而r＝12(f(a)+f(b))＝12(ln a+ln b)＝12ln(ab)＝ln，所以r＝p，故p＝r＜q.选B．10.(2015陕西，理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元答案：D解析：设该企业每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利z元.则由题意知3x+2y≤12，x+2y≤8，x≥0，y≥0，利润函数z＝3x+4y.画出可行域如图所示，当直线3x+4y－z＝0过点B时，目标函数取得最大值.由 3x +2y ＝12，x +2y ＝8，解得 x ＝2，y ＝3.故利润函数的最大值为z ＝3×2+4×3＝18(万元).故选D ．11.(2015陕西，理11)设复数z ＝(x －1)+y i(x ，y ∈R)，若|z|≤1，则y ≥x 的概率为( ) A ．34+12π B ．12+1π C ．12－1πD ．14－12π答案：D解析：由|z|≤1，得(x －1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1，0)为圆心，半径r ＝1的圆及其内部，y ≥x 表示直线y ＝x 左上方部分(如图所示).则阴影部分面积S ＝14π×12－S △OAC ＝14π－12×1×1＝π4－12.故所求事件的概率P ＝S 阴S 圆＝π4−12π×12＝14－12π.12.(2015陕西，理12)对二次函数f (x )＝ax 2+bx+c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上 答案：A解析：f'(x )＝2ax+b.若A 正确，则f (－1)＝0，即a －b+c ＝0， ① 若B 正确，则f'(1)＝0，即2a+b ＝0， ②若C 正确，则f'(x 0)＝0，且f (x 0)＝3， 即f −b2a ＝3，即c －b 24a ＝3.③若D项正确，则f(2)＝8，即4a+2b+c＝8.④假设②③④正确，则由②得b＝－2a，代入④得c＝8，代入③得8－4a 24a＝3，解得a＝5，b＝－10，c＝8.此时f(x)＝5x2－10x+8，f(－1)＝5×(－1)2－10×(－1)+8＝5+10+8＝23≠0，即A不成立.故B，C，D可同时成立，而A不成立.故选A．第二部分(共90分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.(2015陕西，理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为.答案：5解析：由题意知，1 010为数列首项a1与2 015的等差中项，故a1+2 0152＝1 010，解得a1＝5.14.(2015陕西，理14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝.答案：2解析：双曲线x2－y2＝1的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0).抛物线的准线方程为x＝－p2.因p＞0，故－p2＝－2，解得p＝22.15.(2015陕西，理15)设曲线y＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为.答案：(1，1)解析：曲线y＝e x在点(0，1)处的切线斜率k＝y'＝e x|x＝0＝1;由y＝1x ，可得y'＝－1x2，因为曲线y＝1 x (x＞0)在点P处的切线与曲线y＝e x在点(0，1)处的切线垂直，故－1x P2＝－1，解得x P＝1，由y＝1x，得y P＝1，故所求点P的坐标为(1，1).16.(2015陕西，理16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.答案：1.2解析：以梯形的下底为x轴，上、下底边的中点连线为y轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为y＝ax2，则抛物线过点(5，2)，故2＝25a，得a＝225，故抛物线的方程为y＝225x2.最大流量的比，即截面的面积比，由图可知，梯形的下底长为6，故梯形的面积为(10+6)×22＝16，而当前的截面面积为2502−225x2d x＝22x−23×25x3|05＝403，故原始流量与当前流量的比为16403＝1.2.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西，理17)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m ＝(a，)与n＝(cos A，sin B)平行.(1)求A;(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积.(1)解：因为m∥n，所以a sin B－3b cos A＝0.由正弦定理，得sin A sin B－3sin B cos A＝0.又sin B≠0，从而tan A＝3.由于0＜A＜π，所以A＝π3.(2)解法一：由余弦定理，得a2＝b2+c2－2bc cos A，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4+c2－2c，即c2－2c－3＝0.因为c＞0，所以c＝3.故△ABC的面积为12bc sin A＝332.解法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B，从而sin B＝217.又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝277.故sin C＝sin(A+B)＝sin B+π3＝sin B cosπ3+cos B sinπ3＝32114.所以△ABC的面积为12ab sin C＝332.18.(本小题满分12分)(2015陕西，理18)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB ＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②.图①图②(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明：在题图①中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在题图②中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC ． (2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角， 所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ， 所以B22，0，0 ，E − 22，0，0 ，A 1 0，0， 22 ，C 0， 22，0 ，得BC ＝ − 22， 22，0 ，A 1C ＝ 0， 22，− 22，CD ＝BE ＝(－ ，0，0). 设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ，则n 1·BC ＝0，n 1·A 1C ＝0，得 −x 1+y 1＝0，y 1−z 1＝0，取n 1＝(1，1，1);n 2·CD ＝0，n 2·A 1C ＝0，得 x 2＝0，y 2−z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos<n1，n2>|＝3×263，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为63.19.(本小题满分12分)(2015陕西，理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解：(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET＝25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1＝32(分钟).(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一：P(A)＝P(T1+T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)+P(T1＝30，T2≤40)+P(T1＝35，T2≤35)+P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5＝0.91.解法二：P(＝P(T1+T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)+P(T1＝40，T2＝35)+P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1＝0.09，故P(A)＝1－P(A)＝0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西，理20)已知椭圆E：x2a +y2b＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E 的离心率;(2)如图，AB 是圆M ：(x+2)2+(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程. (1)解：过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx+cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝b 2+c 2bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2 a 2−c 2， 解得离心率ca ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB|＝ 10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x+2)+1，代入①得，(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1+x 2＝－8k (2k +1)1+4k ，x 1x 2＝4(2k +1)2−4b 21+4k .由x 1+x 2＝－4，得－8k (2k +1)1+4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB|＝ 1+ 12 2|x 1－x 2|＝52(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝ 10(b 2−2).由|AB|＝ 10，得 10(b 2−2)＝ 10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23＝1.解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB|＝ 10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 12+4y 12＝4b 2，x 22+4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1+x 2＝－4，y 1+y 2＝2， 得－4(x 1－x 2)+8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1−y 2x 1−x 2＝12.因此，直线AB 的方程为y ＝12(x+2)+1，代入②得，x 2+4x+8－2b 2＝0.所以x 1+x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB|＝ 1+ 12 2|x 1－x 2| ＝ 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2＝ 10(b 2−2).由|AB|＝ 10，得 10(b 2−2)＝ 10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212+y 23＝1.21.(本小题满分12分)(2015陕西，理21)设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x ＞0，n ∈N ，n ≥2.(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在 12，1 内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12+12x n n +1; (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和g n (x )的大小，并加以证明.(1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1+x+x 2+…+x n －2，则F n (1)＝n －1＞0，F n 12 ＝1+12+ 12 2+…+ 12n －2 ＝1− 12 n +11−1－2＝－12＜0，所以F n (x )在 12，1 内至少存在一个零点.又F n '(x )＝1+2x+…+nx n －1＞0， 故F n (x )在 12，1 内单调递增，所以F n (x )在 12，1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，即1−x nn +11−x n －2＝0，故x n ＝12+12x n n +1. (2)解法一：由假设，g n (x )＝(n +1)(1+x n )2.设h (x )＝f n (x )－g n (x )＝1+x+x 2+…+x n －(n +1)(1+x n )2，x ＞0. 当x ＝1时，f n (x )＝g n (x ).当x ≠1时，h'(x )＝1+2x+…+nxn －1－n (n +1)x n −12. 若0＜x ＜1，h'(x )＞x n －1+2x n －1+…+nx n －1－n (n +1)2x n －1＝n (n +1)2x n －1－n (n +1)2x n －1＝0. 若x ＞1，h'(x )＜x n －1+2x n －1+…+nx n －1－n (n +1)2x n －1 ＝n (n +1)2x n －1－n (n +1)2x n －1＝0. 所以h (x )在(0，1)上递增，在(1，+∞)上递减，所以h(x)＜h(1)＝0，即f n(x)＜g n(x).综上所述，当x＝1时，f n(x)＝g n(x);当x≠1时，f n(x)＜g n(x).解法二：由题设，f n(x)＝1+x+x2+…+x n，g n(x)＝(n+1)(x n+1)2，x＞0.当x＝1时，f n(x)＝g n(x).当x≠1时，用数学归纳法可以证明f n(x)＜g n(x).①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－12(1－x)2＜0，所以f2(x)＜g2(x)成立.②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即f k(x)＜g k(x).那么，当n＝k+1时，f k+1(x)＝f k(x)+x k+1＜g k(x)+x k+1＝(k+1)(1+x k)2+x k+1＝2x k+1+(k+1)x k+k+12.又g k+1(x)－2x k+1+(k+1)x k+k+12＝kx k+1−(k+1)x k+12，令h k(x)＝kx k+1－(k+1)x k+1(x＞0)，则h k'(x)＝k(k+1)x k－k(k+1)x k－1＝k(k+1)x k－1(x－1).所以，当0＜x＜1时，h k'(x)＜0，h k(x)在(0，1)上递减;当x＞1时，h k'(x)＞0，h k(x)在(1，+∞)上递增.所以h k(x)＞h k(1)＝0，从而g k+1(x)＞2x k+1+(k+1)x k+k+12.故f k+1(x)＜g k+1(x)，即n＝k+1时不等式也成立.由①和②知，对一切n≥2的整数，都有f n(x)＜g n(x).解法三：由已知，记等差数列为{a k}，等比数列为{b k}，k＝1，2，…，n+1.则a1＝b1＝1，a n+1＝b n+1＝x n，所以a k＝1+(k－1)·x n−1n(2≤k≤n)，b k＝x k－1(2≤k≤n)，令m k(x)＝a k－b k＝1+(k−1)(x n−1)n－x k－1，x＞0(2≤k≤n)，当x＝1时，a k＝b k，所以f n(x)＝g n(x).当x≠1时，m k'(x)＝k−1n·nx n－1－(k－1)x k－2＝(k－1)x k－2(x n－k+1－1).而2≤k≤n，所以k－1＞0，n－k+1≥1.若0＜x＜1，x n－k+1＜1，m k'(x)＜0;若x＞1，x n－k+1＞1，m k'(x)＞0，从而m k(x)在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以m k(x)＞m k(1)＝0.所以当m＞0且m≠1时，a k＞b k(2≤k≤n)，又a1＝b1，a n+1＝b n+1，故f n(x)＜g n(x).综上所述，当x＝1时，f n(x)＝g n(x);当x≠1时，f n(x)＜g n(x).考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西，理22)选修4—1：几何证明选讲如图，AB切☉O于点B，直线AO交☉O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．(1)证明：∠CBD＝∠DBA;(2)若AD＝3DC，BC＝2，求☉O的直径.(1)证明：因为DE为☉O直径，则∠BED+∠EDB＝90°.又BC⊥DE，所以∠CBD+∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED．又AB切☉O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA．(2)解：由(1)知BD平分∠CBA，则BABC ＝ADCD＝3，又BC＝，从而AB＝3.所以AC＝ AB2−BC2＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB 2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即☉O直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西，理23)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3+12t，y＝32t(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，☉C的极坐标方程为ρ＝2θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，从而有x2+y2＝2，所以x2+(y－2＝3.(2)设P3+12t，32t ，又C(0，3)，则|PC|＝3+12t2+32t−32＝2+12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0).24.(本小题满分10分)(2015陕西，理24)选修4—5：不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.(1)求实数a，b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解：(1)由|x+a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则−b−a＝2，b−a＝4，解得a＝－3，b＝1.(2)−3t+12+t＝34−t+t ≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]＝24−t+t＝4，当且仅当4−t3t1，即t＝1时等号成立.故(+t)max＝4.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ） A ．167 B ．137 C ．123 D ．93【答案】B考点：扇形图．3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C考点：二项式定理．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件． 7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1、向量的模；2、向量的数量积．8.根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ．2【答案】B 【解析】试题分析：初始条件：2006x =；第1次运行：2004x =；第2次运行：2002x =；第3次运行：2000x =；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；第1003次运行：0x =；第1004次运行：2x =-．不满足条件0?x ≥，停止运行，所以输出的23110y =+=，故选B ． 考点：程序框图．9.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最 大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．考点：线性规划．11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A ．3142π+B ．1142π-C ．112π-D ．112π+【答案】B 【解析】试题分析：22(1)||1(1)1z x yi z x y =-+⇒=⇒-+≤如图可求得(1,1)A ，(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=- 若||1z ≤，则y x ≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B ． 考点：1、复数的模；2、几何概型．12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= ．【答案】考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质． 15.设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 ．【答案】()1,1 【解析】试题分析：因为x y e =，所以x y e '=，所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2 【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行． （I ）求A ； （II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I）3π；（II ）2．试题解析：（I ）因为//m n ，所以sincos 0a B A -=，由正弦定理，得sinAsinB 0-=又sin 0B ≠，从而tan A 由于0Aπ<<，所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+- 而2,a =3πA =得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =. 故∆ABC 的面积为1bcsinA 2.考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3试题解析：（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2π，所以BE ⊥AC 即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1AOC 又CD BE ，所以CD ⊥平面1AOC.(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE⊥ 1OA ，BE ⊥OC 所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 因为11B=E=BC=ED=1A A , BC ED所以1((0,0,2222B -得2BC(22-12A C(0,22-，CD BE (==-. 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ， 则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n =，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =，从而12cos |cos ,|n n θ=〈〉== 即平面1BC A与平面1CD A考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用. 19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（I ）分布列见解析，32；（II ）0.91． 【解析】试题分析：（I ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（II ）先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率．从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121(A )P P T T T=+>=12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=.考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.20．（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方 程．【答案】（III ）221123x y +=． 【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k，再利用AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程．试题解析：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O到直线的距离bcd a==， 由12d c =，得2a b ==c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且|AB|易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =.从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2) 依题意，点A ，B关于圆心M(-2,1)对称，且|AB|设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=， 两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==-因此AB 直线方程为1(2)12y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-= 所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的各项和，其中0x >，n ∈N ， 2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； （II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x =时， ()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <，证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小． 试题解析：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++-则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 解法二 由题设，()()211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx +++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立. 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥.若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<,当1x >,11n k x-+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】试题分析：（I ）先证C D D ∠B =∠BE ，再证D D ∠BA =∠BE ，进而可证C D D ∠B =∠BA ；（II ）先由（I ）知D B 平分C ∠BA ，进而可得D A 的值，再利用切割线定理可得AE 的值，进而可得O 的直径．试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA. （II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD=,又BCAB =所以4AC =，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I）(223x y +=；（II ）()3,0．【解析】试题分析：（I ）先将ρθ=两边同乘以ρ可得2sin ρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则C P =，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．试题解析：（I）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(II)设1(32P +又,则|PC |== 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；（II 的最大值． 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4． 【解析】试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b+<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II ）试题解析：（I ）由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =（II ≤4==，即1t =时等号成立，故max4=.考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.。
2015年陕西高考数学(理科)试题与答案
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .）1. 1.设集合M { x | x2x} ，N{ x | lg x0}，则 M N（）A ．[0,1]B．(0,1]C．[0,1) D ．(,1]【答案】 A试题分析：x x 2x0,1，x lg x 0x 0x 1 ，所以0,1，故选．A考点： 1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【分析及点评】本题主要考察了集合的表示及其相关运算，并结合一元二次方程以及对数运算，属于基础题型，难度不大。
2.某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．167B．137C．123D．93【答案】 B考点：扇形图．【分析及点评】本题主要考察了统计以及统计图表的相关知识，难度系数很小，属于基础题型。
3. 如图，某港口一天6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin( x) k ，据此函数6可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A ．5B．6C．8D．10【答案】 C试题分析：由图象知：y min 2 ，因为y min3k ，所以3 k2 ，解得：k5 ，所以这段时间水深的最大值是y max 3 k358 ，故选C．考点：三角函数的图象与性质．【分析及点评】本题重在转化，将实际问题转化成三角函数问题，对三角函数的图像、性质有较高要求，但作为基础题型，难度不大。
4. 二项式(x 1)n(n N ) 的展开式中x2的系数为15，则n（）A ．4B ．5C．6 D ．7【答案】 C考点：二项式定理．【分析及点评】本题主要考察了学生对二项式定理的理解，以及二项式系数的计算，难度不大，属于基础题型。
5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．3B ．4C．24D．34【答案】 D试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为 2 ，所以该几何体的表面积是121 1 2 2 2 34，故选 D．2考点： 1、三视图；2、空间几何体的表面积．【分析及点评】三视图以及体积、面积求值几乎每年必考，今年也不例外，题目设置与往年没有改变，难度不大，变化也不大。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)
故 ABC 的面积为 1 bcsinA = 3 3 .
2
2
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.
18．（本小题满分 12 分）如图1 ，在直角梯形 CD 中， D// C， D ， 2
C 1， D 2 ， 是 D 的中点， 是 C 与 的交点．将 沿 折起到 1 的
因为 A1B=A1E=BC=ED=1, BC ED
所以 B( 2 ,0,0), E(2
2 2
,
0,
0),
A1
(0,
0,
2 ),C(0, 2
2 ,0), 2
得 BC(-
2 , 2 ,0), 22
A1C(0,
2 ,2
2 ) ， CD = BE = (2
2,0,0) .
设平面 A1BC 的法向量 n1 = (x1, y1, z1) ，平面 A1CD 的法向量 n2 = (x2, y2, z2 ) ，平面 A1BC 与
又 sin 0 ，从而 tan A = 3 ， 由于 0 A ，所以 A
3 (II)解法一：由余弦定理，得 a2 = b2 +c2 - 2bc cos A 而 a = 7 b = 2,
3 得 7 = 4 +c2 - 2c ，即 c2 - 2c - 3 = 0 因为 c > 0 ，所以 c = 3 .
13.中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为
．
【答案】 5
【解析】
试题分析：设数列的首项为 a1 ，则 a1 2015 2 1010 2020 ，所以 a1 5 ，故该数列的 首项为 5 ，所以答案应填： 5 ．
考点：等差中项．
【高考试题】2015年普通高考数学试题----陕西卷(数学理)解析版
2015年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷(理科)知识点检索号新课标11.(2015·陕西高考理科·T1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]【解题指南】根据题意先求出集合M和集合N,再求M∪N即可.【解析】选A.集合M=,集合N=,M∪N=,所以M∪N=[0,1].502.(2015·陕西高考理科·T2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.167B.137C.123D.93【解题指南】根据扇形统计图可得初中部女教师所占比例为70%,高中部女教师所占比例为40%,再用各自的总人数乘以所占的比例即可求得答案.【解析】选B.初中部女教师人数为110×70%=77,高中部女教师人数为150×40%=60,则该校女教师的人数为77+60=137,故B正确.173.(2015·陕西高考理科·T3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10【解题指南】本题考查由y=A sin(ωx+φ)+k的部分图像确定函数的最大值,可得y max=3+k y min=k-3,整理可求最大值.【解析】选C.不妨设水深的最大值为M,由题意结合函数图像可得3+k=M ①k-3=2②解之得M=8.534.(2015·陕西高考理科·T4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.4B.5C.6D.7【解题指南】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,从而求得n的值.【解析】选C.二项式(x+1)n(n∈N +)展开式的通项公式为T r+1=x n-r,令n-r=2,则=15,解之得r=4,n=6,故C正确.365.(2015·陕西高考理科·T5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4【解题指南】将三视图复原,此几何体为半个圆柱体,根据三视图所给的数据,求出表面积.【解析】选D.该几何体为圆柱体的一半,可得上下两个半圆的表面积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+·2πr·2=2π+4,所以此几何体的表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.26.(2015·陕西高考理科·T6)“sinα=cosα”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】由题意看命题sinα=cosα与命题cos 2α=0是否能互推,然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断.【解析】选A.方法一:由cos2α=0得cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=0,得sinα=cosα或sinα=-cosα.所以sinα=cosα⇒cos 2α=0,即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.方法二:由sinα=cosα,得sin(α-)=0,即α-=kπ,α=kπ+,k∈Z.而cos 2α=0,得2α=kπ+,α=+,k∈Z.所以sinα=cosα⇒cos2α=0,即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.227.(2015·陕西高考理科·T7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2【解题指南】由向量的线性运算性质及几何意义对各个选择项作出判断.【解析】选B.由|a·b|=||a|·|b|·cosθ|,因为-1≤cosθ≤1,所以|a·b|≤|a||b|恒成立;由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a-b|≥||a|-|b||,故B选项不成立;根据向量数量积的运算律C,D选项恒成立.498.(2015·陕西高考理科·T8)根据下边的图,当输入x为2006时,输出的y=()A.28B.10C.4D.2【解题指南】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x的值,当x=-2时不满足条件x≥0,计算并输出y 的值为10.【解析】选B.模拟执行程序框图,可得x=2006,x=2004满足条件x≥0,x=2002满足条件x≥0,x=2000…满足条件x≥0,x=0满足条件x≥0,x=-2不满足条件x≥0,y=10输出y的值为10.329.(2015·陕西高考理科·T9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q【解题指南】根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可.【解析】选C.由条件可得p=f()=ln(ab=ln（ab）=(ln a+ln b),r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b)=p,由不等式的性质:在0<a<b的条件下,>,且函数f(x)=ln x是增函数,。
2015年高考数学(理)试卷(陕西自主命题)(解析)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞【答案】A【考点定位】1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“”还是求“”和要注意对数的真数大于0，否则很容易出现错误．2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 （ ）A ．167B ．137C ．123D ．93【答案】B【考点定位】扇形图．【名师点晴】本题主要考查的是扇形图，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“女教师”，否则很容易出现错误．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系．3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin 16x πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，y 取得最小值，进而求出k 的值，当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，y 取得最大值． 4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n a b -+T =． 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D【考点定位】1、三视图；2、空间几何体的表面积．【名师点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的表面积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可．6.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．【名师点晴】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“不”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积，即cos ,a b a b a b ⋅=，22a a =．8.根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ） A ．28 B ．10 C ．4 D ．2【答案】B【考点定位】程序框图．【名师点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“0x ≥”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．9.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正 确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>【答案】C 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题．解题时一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误．本题先判断2a b +ab 关系，再利用基本初等函数的单调性即可比较大小．10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润 为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 甲 乙 原料限额A （吨） 3 212 B （吨）12 8 【答案】D【考点定位】线性规划．【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A ．3142π+B ．1142π-C ．112π-D ．112π+ 【答案】B【解析】2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤【考点定位】1、复数的模；2、几何概型．【名师点晴】本题主要考查的是复数的模和几何概型，属于中档题．解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A 构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若z a bi =+（a 、R b ∈），则22z a b =+，几何概型的概率公式()P A =()()A 构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积．12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上【答案】A【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．【答案】5【考点定位】等差中项．【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若a ，A ，b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项，即2a b A =+．14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = ．【答案】22 【考点定位】1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的简单几何性质和双曲线的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，即抛物线22y px =（0p >）的准线方程是2p x =-，双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中222c b a =+．15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ． 【答案】()1,1【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是()ba f x dx ⎰． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与 ()cos ,sin n =A B 平行．（I ）求A ；（II ）若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I ）3π；（II ）332．考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）63．考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25 30 35 40频数（次）20 30 40 10（I）求T的分布列与数学期望ET；（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．【答案】（I）分布列见解析，32；（II）0.91．考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.【名师点晴】本题主要考查的是离散型随机变量的分布列与数学期望和独立事件的概率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“不超过”，否则很容易出现错误．解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．20．（本小题满分12分）已知椭圆:E22221x ya b+=（0a b>>）的半焦距为c，原点O到经过两点(),0c，()0,b的直线的距离为12 c．（I）求椭圆E的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的 方程．【答案】（I ）32；（II ）221123x y +=．考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.【名师点晴】本题主要考查的是直线方程、点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质、椭圆的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置，属于难题．解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易失分．解本题需要掌握的知识点是截距式方程，点到直线的距离公式和椭圆的离心率，即截距式方程1x ya b+=（在x 轴上的截距a ，在y 轴上的截距b ），点()000,x y P 到直线:0l x y C A +B +=的距离0022x y C d A +B +=A +B ，椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率c e a=．21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥． （I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+；（II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x 时， ()()n n f x g x ，当1x ≠时，()()n n f x g x ，证明见解析．考点：1、等比数列的前n 项和公式；2、零点定理；3、等差数列的前n 项和公式；4、利用导数研究函数的单调性.【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的前n 项和公式、零点定理、等差数列的前n 项和公式和利用导数研究函数的单调性，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”，否则很容易出现错误．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．有关函数的不等式，一般是先构造新函数，再求出新函数在定义域范围内的值域即可．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ； （II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3．考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.【名师点晴】本题主要考查的是直径所对的圆周角、弦切角定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为1323x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为3ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I ）(2233x y +-=；（II ）()3,0．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数的几何意义和二次函数的性质，属于容易题．解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求12at bt ++的最大值．【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4．考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式和柯西不等式，属于容易题．解题时一定要注意不等式与方程的区别，否则很容易出现错误．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．用柯西不等式证明或求最值要注意：①所给不等式的形式是否与柯西不等式的兴致一致，若不一致，需要将所给式子变形；②等号成立的条件．。
2015年高考真题——理科数学(陕西卷)解析版
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =U （ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N =U ，故选A ．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ） A ．167 B ．137 C ．123 D ．93【答案】B考点：扇形图．3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C考点：二项式定理．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．6.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．7.对任意向量,a b r r，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤r r r rB ．||||||||a b a b -≤-r r r rC ．22()||a b a b +=+r r r rD ．22()()a b a b a b +-=-r r r r r r【答案】B考点：1、向量的模；2、向量的数量积．8.根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ．2【答案】B 【解析】试题分析：初始条件：2006x =；第1次运行：2004x =；第2次运行：2002x =；第3次运行：2000x =；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；第1003次运行：0x =；第1004次运行：2x =-．不满足条件0?x ≥，停止运行，所以输出的23110y =+=，故选B ． 考点：程序框图．9.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最 大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【答案】D 【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．考点：线性规划．11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A ．3142π+B ．1142π-C ．112π- D ．112π+【答案】B 【解析】试题分析：2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤如图可求得(1,1)A ，(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=- 若||1z ≤，则y x ≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B ． 考点：1、复数的模；2、几何概型．12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= ．【答案】22考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质． 15.设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 ．【答案】()1,1 【解析】试题分析：因为xy e =，所以xy e '=，所以曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,xy （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2 【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =r与()cos ,sin n =A B r平行．（I ）求A ； （II ）若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I ）3π；（II ）332．试题解析：（I ）因为//m n r r，所以sin 3cos 0a B b A -=，由正弦定理，得sinAsinB 3A 0-=又sin 0B ≠，从而tan 3A =， 由于0A π<<，所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+- 而72,a =3πA =得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =. 故∆ABC 的面积为133bcsinA 2=考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）6．试题解析：（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，∠BAD=2π，所以BE ⊥AC即在图2中，BE ⊥1OA，BE ⊥OC从而BE⊥平面1A OC又CD P BE，所以CD⊥平面1A OC.(II)由已知，平面1A BE⊥平面BCDE，又由（1）知，BE ⊥1OA，BE ⊥OC所以1A OC∠为二面角1--CA BE的平面角，所以1OC2Aπ∠=.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为11B=E=BC=ED=1A A, BC EDP所以12222(E(A(0,0,),C(0,,0),2222B-得22BC(,,0),22-u u u r122A C(0,,22-u u u u r，CD BE(2,0,0)==-u u u r u u u r.设平面1BCA的法向量1111(,,)n x y z=u r，平面1CDA的法向量2222(,,)n x y z=u u r，平面1BCA与平面1CDA夹角为θ，则111n BCn A C⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，得1111x yy z-+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n=u r，221n CDn A C⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r，得222xy z=⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n=u u r，从而126cos|cos,|332n nθ=〈〉==⨯u r u u r，即平面1BCA与平面1CDA6考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用. 19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（I ）分布列见解析，32；（II ）0.91． 【解析】试题分析：（I ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（II ）先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率．从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T =+>===+==12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=.考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.20．（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． （I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方 程．【答案】（I 3II ）221123x y +=． 【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k ，再利用10AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程．试题解析：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O 到直线的距离22bcd ab c ==+， 由12d c =，得2222a b a c ==-，解得离心率3c a =. (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且|AB |10=易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k++-+=-=-++由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =. 从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-==由|AB |23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2) 依题意，点A ，B关于圆心M(-2,1)对称，且|AB |=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=，两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==-因此AB 直线方程为1(2)12y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-= 所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-==由|AB |23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的各项和，其中0x >，n ∈N ， 2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； （II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x =时， ()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <，证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小．试题解析：（I ）2()()212,nn n F x f x x x x =-=+++-L 则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-L 所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx-'=++>L ，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nn n x g x ++=设()()211()()()1,0.2nn n n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->L当1x =时, ()()n n f x g x = 当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-L若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-L ()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-L ()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <解法二 由题设，()()211()1,(),0.2nnn nn x f x x x x g x x ++=+++=>L 当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x x g x x x+++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=.又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减；当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立. 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+L 则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥.若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<,当1x >,11n k x-+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O e 于点B ，直线D A 交O e 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =O e 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】试题分析：（I ）先证C D D ∠B =∠BE ，再证D D ∠BA =∠BE ，进而可证C D D ∠B =∠BA ；（II ）先由（I ）知D B 平分C ∠BA ，进而可得D A 的值，再利用切割线定理可得AE 的值，进而可得O e 的直径．试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90o， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA. （II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD=,又2BC ，从而32AB =， 所以224AC AB BC -=，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C e 的极坐标方程为23ρθ=．（I ）写出C e 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I ）(2233x y +-=；（II ）()3,0．【解析】试题分析：（I ）先将23ρθ=两边同乘以ρ可得223sin ρρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C e 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则2C 12t P =+，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．试题解析：（I ）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(II)设1(3t),2P +又,则|PC |== 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；（II + 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4． 【解析】试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II ），试题解析：（I ）由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =（II =≤4==1=，即1t =时等号成立，故max4=.考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.。
2015年全国高考理科数学试题—陕西卷(附带解析)
2015年全国高考理科数学试题—陕西卷1．设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N ⋃= （ ） A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) D. (,1]-∞ 答案：A分析：2{|}{0,1}M x x x ===，{|lg 0}{|01}N x x x x =≤=<≤，所以[0,1]M N ⋃=，故选A ．2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A. 167B. 137C. 123D. 93 答案：B分析：该校女老师的人数是11070⨯％150(160+⨯-％)137=，故选B ． 3．已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ） A. (1,0)- B. (1,0) C. (0,1)- D. (0,1) 答案：B分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B ．4．设10()2,0x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ）A. 1-B. 14C. 12D. 32答案：C分析：因为21(2)24f -==，所以111((2))()11422f f f -===-=，故答案选C ．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+ 答案：D分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是121(12)22342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ．6．“s i n c o s αα=”是“cos 20α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 答案：A分析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cosαα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=” ⇐“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ．7．根据如下边框图，当输入x 为6时，输出的（ ）A. 1B. 2C. 5D. 10 答案：D分析：该程序框图运行如下：6330,330,0330x x x =-=>=-==-=-<，2(3)110y =-+=，故答案选D ．8．对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A. ||||||a b a b ⋅≤⋅B. ||||||||a b a b -≤-C. 22()||a b a b +=+D. 22()()a b a b a b +-=- 答案：B分析：因为|||||||,|||||a b a b cos a b a b ⋅=〈〉≤，所以选项A 正确，当a 与b 方向相反时，||||||||a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的摸的平方，所以选项C 正确；22()()a b a b a b +-=-，所以选项D 正确．9．设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）A. 既是奇函数又是减函数B. 既是奇函数又是增函数C. 是有零点的减函数D. 是没有零点的奇函数 答案：B分析：()sin ()()sin()sin (sin )(f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=-，又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数，故答案选B ．10．设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A. q r p =<B. q r p =>C. p r q =<D. p r q => 答案：C分析：p f ==()ln 22a b a bq f ++==，11(()())ln ln 22r f a f b ab =+==．函数()ln f x x =在(0,)+∞上单调递增，因为2a b +>()2a b f f +>，所以q q r >=，故选C ．11．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A. 12万元B. 16万元C. 17万元D. 18万元 答案：D分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+，由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．12．设复数(1)(,)z x yi x y R =-+∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A.3142π+ B. 1142π- C. 112π- D. 112π+ 答案：B分析：22(1)||(1)1z x yi z x y =-+⇒=-+≤，如图可求得(1,1)A ，(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=-， 若||1z ≤，则y x ≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B ．13．中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为______． 答案：5分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．14．如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πφ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为_______．答案：8分析：由图像得，当sin()16x πφ+=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x πφ+=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8．15．函数xy xe =在其极值点处的切线方程为________． 答案：1y e=-分析：()()(1)x xy f x xe f x x e '==⇒=+，令()01f x x '=⇒=-，此时1(1)f e-=-，函数x y xe =在其极值点处的切线方程为1y e=-．16．观察下列等式：11122-= 11111123434-+-=+11111111123456456-+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为______． 答案：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++ 分析：观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n+++++． 故答案为111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++．。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ） A ．167 B ．137 C ．123 D ．93【答案】B考点：扇形图．3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C考点：二项式定理．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件． 7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1、向量的模；2、向量的数量积．8.根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ．2【答案】B 【解析】试题分析：初始条件：2006x =；第1次运行：2004x =；第2次运行：2002x =；第3次运行：2000x =；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；第1003次运行：0x =；第1004次运行：2x =-．不满足条件0?x ≥，停止运行，所以输出的23110y =+=，故选B ． 考点：程序框图．9.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最 大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．考点：线性规划．11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A ．3142π+B ．1142π-C ．112π-D ．112π+【答案】B 【解析】试题分析：22(1)||1(1)1z x yi z x y =-+⇒=⇒-+≤如图可求得(1,1)A ，(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=- 若||1z ≤，则y x ≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B ． 考点：1、复数的模；2、几何概型．12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= ．【答案】考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质． 15.设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 ．【答案】()1,1 【解析】试题分析：因为x y e =，所以x y e '=，所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2 【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行． （I ）求A ； （II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I）3π；（II ）2．试题解析：（I ）因为//m n ，所以sincos 0a B A -=，由正弦定理，得sinAsinB 0-=又sin 0B ≠，从而tan A 由于0Aπ<<，所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+- 而2,a =3πA =得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =. 故∆ABC 的面积为1bcsinA 2.考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3试题解析：（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2π，所以BE ⊥AC 即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1AOC 又CD BE ，所以CD ⊥平面1AOC.(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE⊥ 1OA ，BE ⊥OC 所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 因为11B=E=BC=ED=1A A , BC ED所以1((0,0,2222B -得2BC(22-12A C(0,22-，CD BE (==-. 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ， 则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n =，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =，从而12cos |cos ,|n n θ=〈〉== 即平面1BC A与平面1CD A考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用. 19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（I ）分布列见解析，32；（II ）0.91． 【解析】试题分析：（I ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（II ）先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率．从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121(A )P P T T T=+>=12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=.考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.20．（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方 程．【答案】（III ）221123x y +=． 【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k，再利用AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程．试题解析：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O到直线的距离bcd a==， 由12d c =，得2a b ==c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且|AB|易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =.从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2) 依题意，点A ，B关于圆心M(-2,1)对称，且|AB|设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=， 两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==-因此AB 直线方程为1(2)12y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-= 所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的各项和，其中0x >，n ∈N ， 2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； （II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x =时， ()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <，证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小． 试题解析：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++-则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 解法二 由题设，()()211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx +++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立. 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥.若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<,当1x >,11n k x-+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】试题分析：（I ）先证C D D ∠B =∠BE ，再证D D ∠BA =∠BE ，进而可证C D D ∠B =∠BA ；（II ）先由（I ）知D B 平分C ∠BA ，进而可得D A 的值，再利用切割线定理可得AE 的值，进而可得O 的直径．试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA. （II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD=,又BCAB =所以4AC =，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I）(223x y +=；（II ）()3,0．【解析】试题分析：（I ）先将ρθ=两边同乘以ρ可得2sin ρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则C P =，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．试题解析：（I）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(II)设1(32P +又,则|PC |== 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；（II 的最大值． 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4． 【解析】试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b+<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II ）试题解析：（I ）由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =（II ≤4==，即1t =时等号成立，故max4=.考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.。
陕西高考数学理科试题及答案精选
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【分析及点评】本题主要考察了集合的表示及其相关运算，并结合一元二次方程以及对数运算，属于基础题型，难度不大。
2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A ．167B ．137C ．123D ．93 【答案】B 考点：扇形图．【分析及点评】本题主要考察了统计以及统计图表的相关知识，难度系数很小，属于基础题型。
3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（） A ．5B ．6C ．8D ．10 【答案】C试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．【分析及点评】本题重在转化，将实际问题转化成三角函数问题，对三角函数的图像、性质有较高要求，但作为基础题型，难度不大。
4.二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C考点：二项式定理．【分析及点评】本题主要考察了学生对二项式定理的理解，以及二项式系数的计算，难度不大，属于基础题型。
【推荐】2015年陕西省高考数学试卷(理科)
2015年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设集合M={|2=}，N={|lg≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．1673．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （+φ）+．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．10）的展开式中2的系数为15，则n=（）4．（5分）二项式（+1）n（n∈N+A．7 B．6 C．5 D．45．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π B．4πC．2π+4 D．3π+46．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣28．（5分）根据如图框图，当输入为2006时，输出的y=（）A．2 B．4 C．10 D．289．（5分）设f（）=ln，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）11．（5分）设复数=（﹣1）+yi（，y∈R），若||≤1，则y≥的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣12．（5分）对二次函数f（）=a2+b+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（）的零点B．1是f（）的极值点C．3是f（）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（）上二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．14．（5分）若抛物线y2=2p（p＞0）的准线经过双曲线2﹣y2=1的一个焦点，则p= ．15．（5分）设曲线y=e在点（0，1）处的切线与曲线y=（＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为．16．（5分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．三、解答题，共5小题，共70分17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC 的面积．18．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE 沿BE 折起到A 1BE 的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（Ⅱ）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．19．（12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为200的样本进行统计，结果如下：（2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20．（12分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，原点O 到经过两点（c ，0），（0，b ）的直线的距离为c ． （Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：（+2）2+（y ﹣1）2=的一条直径，若椭圆E 经过A 、B 两点，求椭圆E 的方程．21．（12分）设f n （）是等比数列1，，2，…，n 的各项和，其中＞0，n ∈N ，n ≥2．（Ⅰ）证明：函数F n （）=f n （）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为n），且n =+；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n （），比较f n （）和g n （）的大小，并加以证明．四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA ； （Ⅱ）若AD=3DC ，BC=，求⊙O 的直径．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系Oy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．六、选修4-5：不等式选讲24．已知关于的不等式|+a|＜b的解集为{|2＜＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．2015年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设集合M={|2=}，N={|lg≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={|2=}={0，1}，N={|lg≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．167【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，故选：C．【点评】本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （+φ）+．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】由题意和最小值易得的值，进而可得最大值．【解答】解：由题意可得当sin（+φ）取最小值﹣1时，=﹣3+=2，解得=5，函数取最小值ymin∴y=3sin（+φ）+5，∴当当sin（+φ）取最大值1时，=3+5=8，函数取最大值yma故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．）的展开式中2的系数为15，则n=（）4．（5分）二项式（+1）n（n∈N+A．7 B．6 C．5 D．4【分析】由题意可得==15，解关于n的方程可得．【解答】解：∵二项式（+1）n（n∈N）的展开式中2的系数为15，+∴=15，即=15，解得n=6，【点评】本题考查二项式定理，属基础题．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π B．4πC．2π+4 D．3π+4【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D．【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．6．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属7．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．【解答】解：选项A恒成立，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C恒成立，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题．8．（5分）根据如图框图，当输入为2006时，输出的y=（）A．2 B．4 C．10 D．28【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当=﹣2时不满足条件≥0，计算并输出y的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得=2006，=2004满足条件≥0，=2002满足条件≥0，=2000…满足条件≥0，=0满足条件≥0，=﹣2不满足条件≥0，y=10输出y的值为10．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．9．（5分）设f（）=ln，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q【分析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B．【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为，y吨，利润为元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为，y吨，利润为元，则，目标函数为=3+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由=3+4y得y=﹣+，平移直线y=﹣+由图象可知当直线y=﹣+经过点B时，直线y=﹣+的截距最大，此时最大，解方程组，解得，即B的坐标为=2，y=3，=3+4y=6+12=18．∴ma即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）设复数=（﹣1）+yi（，y∈R），若||≤1，则y≥的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．【解答】解：∵复数=（﹣1）+yi（，y∈R）且||≤1，∴||=≤1，即（﹣1）2+y2≤1，∴点（，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，而y≥表示直线y=左上方的部分，（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率P==故选：D．【点评】本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．12．（5分）对二次函数f（）=a2+b+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（）的零点B．1是f（）的极值点C．3是f（）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（）上【分析】可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．【解答】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（）=a2+b+c的导数为f′（）=2a+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a 为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．故选：A．【点评】本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 5 ．【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：5【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．14．（5分）若抛物线y2=2p（p＞0）的准线经过双曲线2﹣y2=1的一个焦点，则p= 2．【分析】先求出2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2p的准线，依据p的意义求出它的值．【解答】解：双曲线2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2p的准线为=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y2=2p中p 的意义．15．（5分）设曲线y=e 在点（0，1）处的切线与曲线y=（＞0）上点P 的切线垂直，则P 的坐标为 （1，1） ．【分析】利用y=e 在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标． 【解答】解：∵f'（）=e ， ∴f'（0）=e 0=1．∵y=e 在（0，1）处的切线与y=（＞0）上点P 的切线垂直 ∴点P 处的切线斜率为﹣1． 又y'=﹣，设点P （0，y 0） ∴﹣=﹣1，∴0=±1，∵＞0，∴0=1 ∴y 0=1∴点P （1，1） 故答案为：（1，1）【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．16．（5分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2 ．【分析】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．【解答】解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=a 2，因为抛物线经过（5，2），可得a=，所以抛物线方程：y=，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：2×=2（）=，等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2．故答案为：1.2．【点评】本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．三、解答题，共5小题，共70分17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0， 所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7=4+c 2﹣2c ，解得c=3， △ABC 的面积为：=．【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE 沿BE 折起到A 1BE 的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（Ⅱ）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD ⊥平面A 1OC ； （Ⅱ）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E 是AD 的中点，∠BAD=，∴BE ⊥AC ，即在图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 则BE ⊥平面A 1OC ；∵CD ∥BE ， ∴CD ⊥平面A 1OC ；（Ⅱ）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 由（Ⅰ）知BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，∴∠A 1OC 为二面角A 1﹣BE ﹣C 的平面角， ∴∠A 1OC=，如图，建立空间坐标系，∵A 1B=A 1E=BC=ED=1．BC ∥ED ∴B （，0，0），E （﹣，0，0），A 1（0，0，），C （0，，0），=（﹣，，0），=（0，，﹣），设平面A 1BC 的法向量为=（，y ，），平面A 1CD 的法向量为=（a ，b ，c ）， 则得，令=1，则y=1，=1，即=（1，1，1），由得，取=（0，1，1），则cos ＜＞===，∴平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为．【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．19．（12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为200的样本进行统计，结果如下：（2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．【分析】（1）由统计结果可得T 的频率分布，以频率估计概率得T 的分布列，能求出T 的分布列与数学期望ET ．（II ）设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“唐教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，事件A 对应于“唐教授在途中的时间不超过70分钟”．由此能求出唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【解答】解：（1）由统计结果可得T 的频率分布为0.4+40×0.1=32．（分钟）…（4分）（II ）设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“唐教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟， 所以事件A 对应于“唐教授在途中的时间不超过70分钟”．P （A ）=P （T 1+T 2≤70）=P （T 1=25，T 2≤45）+P （T 1=30，T 2≤40）+P （T 1=35，T 2≤35）+P （T 1=40，T 2≤30）=1×0.2+1×0.3+0.9×0.4+0.5×0.1=0.91．…（10分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，原点O到经过两点（c ，0），（0，b ）的直线的距离为c ． （Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：（+2）2+（y ﹣1）2=的一条直径，若椭圆E 经过A 、B 两点，求椭圆E 的方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b ）和（c ，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为2+4y 2=4b 2，①设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b ）和（c ，0）的直线方程为b+cy ﹣bc=0， 则原点到直线的距离为d==c ，即为a=2b ，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为2+4y 2=4b 2，① 由题意可得圆心M （﹣2，1）是线段AB 的中点，则|AB|=，易知AB 与轴不垂直，记其方程为y=（+2）+1，代入①可得 （1+42）2+8（1+2）+4（1+2）2﹣4b 2=0， 设A （1，y 1），B （2，y 2），则1+2=．12=，由M 为AB 的中点，可得1+2=﹣4，得=﹣4，解得=，从而12=8﹣2b 2，于是|AB|=•|1﹣2|=•==，解得b 2=3，则有椭圆E 的方程为+=1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．21．（12分）设f n （）是等比数列1，，2，…，n 的各项和，其中＞0，n ∈N ，n≥2．（Ⅰ）证明：函数F n （）=f n （）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为n），且n =+；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n （），比较f n （）和g n （）的大小，并加以证明．【分析】（Ⅰ）由F n （）=f n （）﹣2=1++2+…++n ﹣2，求得F n （1）＞0，F n （）＜0．再由导数判断出函数F n （）在（，1）内单调递增，得到F n （）在（，1）内有且仅有一个零点n ，由F n （n ）=0，得到；（Ⅱ）先求出，构造函数h （）=f n （）﹣g n （）=1++2+…++n ﹣，当=1时，f n （）=g n （）．当≠1时，利用导数求得h （）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到f n （）＜g n （）．【解答】证明：（Ⅰ）由F n （）=f n （）﹣2=1++2+…+n ﹣2， 则F n （1）=n ﹣1＞0，F n （）=1+．∴F n （）在（，1）内至少存在一个零点， 又，∴F n （）在（，1）内单调递增，∴F n （）在（，1）内有且仅有一个零点n ， ∵n 是F n （）的一个零点，∴F n （n ）=0， 即，故；（Ⅱ）由题设，，设h（）=fn （）﹣gn（）=1++2+…+n﹣，＞0．当=1时，fn （）=gn（）．当≠1时，．若0＜＜1，h′（）＞=．若＞1，h′（）＜=．∴h（）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，∴h（）＜h（1）=0，即fn （）＜gn（）．综上，当=1时，fn （）=gn（）；当＞0且≠1时，fn （）＜gn（）．【点评】本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题．四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系Oy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5：不等式选讲24．已知关于的不等式|+a|＜b的解集为{|2＜＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）关于的不等式|+a|＜b可化为﹣b﹣a＜＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{|2＜＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．。
2015年陕西省高考理科数学试题word版
a2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 A ．167 B ．137 C ．123 D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为A ．5B ．6C ．8D ．104.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n = A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要7.对任意向量,a b ，下列关系式中u 恒成立的是A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=-8.根据右边的图，当输入x 为2005时，输出的y =A28 B10 C4 D29.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率 A ．3142π+B ．1142π-C ．112π-D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A ．-1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D.点(2,8)在曲线()y f x =上 二、填空13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p=15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17、（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．()I 求A ； ()II 若a =2b =求C ∆AB 的面积．18、（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE折起到1∆A BE 的位置，如图2．()I 证明：CD ⊥平面1C A O ；()II 若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．19、（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：求T 的分布列与数学期望ET ；()II 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．()I 求椭圆E 的离心率；()II 如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．21、（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．()I 证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； ()II 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．()I 证明：C D D ∠B =∠BA ；()II 若D 3DC A =，C B =，求O 的直径．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．()I 写出C 的直角坐标方程；()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．()I 求实数a ，b 的值；()II薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。
2015年陕西省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（2015•陕西）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A ．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．解答：解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．点评：本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．（5分）（2015•陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A ．93 B．123 C．137 D．167考点：收集数据的方法．专题：计算题；概率与统计．分析：利用百分比，可得该校女教师的人数．解答：解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为40×150%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，故选：C．点评：本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）（2015•陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A ．5 B．6 C．8 D．10考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．解答：解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，函数取最小值y min=﹣3+k=2，解得k=5，∴y=3sin（x+φ）+5，∴当当sin（x+φ）取最大值1时，函数取最大值y max=3+5=8，故选：C．点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．4．（5分）（2015•陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（）A ．7 B．6 C．5 D．4考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由题意可得==15，解关于n的方程可得．解答：解：∵二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，∴=15，即=15，解得n=6，故选：B．点评：本题考查二项式定理，属基础题．5．（5分）（2015•陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为S几何体=π•12+π×1×2+2×2=3π+4．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．解答：解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．7．（5分）（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．解答：解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B点评：本题考查平面向量的数量积，属基础题．8．（5分）（2015•陕西）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（）A ．2 B．4 C．10 D．28考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2006，x=2004满足条件x≥0，x=2002满足条件x≥0，x=2000…满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=﹣2不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．9．（5分）（2015•陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A ．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．解答：解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B点评：本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．10．（5分）（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A ．12万元B．16万元C．17万元D．18万元考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）（2015•陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A ．+B．+C．﹣D．﹣考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．解答：解：∵复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，∴|z|=≤1，即（x﹣1）2+y2≤1，∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，而y≥x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率P==故选：D．点评：本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．12．（5分）（2015•陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上考点：二次函数的性质．专题：创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．解答：解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．故选：A．点评：本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2015•陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5．考点：等差数列．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得首项的方程，解方程可得．解答：解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：5点评：本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．14．（5分）（2015•陕西）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．解答：解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．点评：本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y2=2px中p的意义．15．（5分）（2015•陕西）设曲线y=e x在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为（1，1）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：利用y=e x在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．解答：解：∵f'（x）=e x，∴f'（0）=e0=1．∵y=e x在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣，设点P（x0，y0）∴∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1∴y0=1∴点P（1，1）故答案为：（1，1）点评：本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．16．（5分）（2015•陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．解答：解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过（5，2），可得a=，所以抛物线方程：y=，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：2×=2（）=，等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2．故答案为：1.2．点评：本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．三、解答题，共5小题，共70分17．（12分）（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．点评：本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18．（12分）（2015•陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．解答：证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=，∴BE⊥AC，即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，则BE⊥平面A1OC；∵CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC，∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，∴∠A1OC=，如图，建立空间坐标系，∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），=（﹣，，0），=（0，，﹣），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），平面A1CD的法向量为=（a，b，c），则得，令x=1，则y=1，z=1，即=（1，1，1），由得，取=（0，1，1），则cos＜＞===，∵平面A1BC与平面A1CD为钝二面角，∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为﹣．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．19．（12分）（2015•陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25 30 35 40频数（次）20 30 40 10（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量，数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）；（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出P（）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.09，即P（A）=1﹣P（）=0.91．解答：解（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T的分布列为T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故P（A）=1﹣P（）=0.91故答案为：（Ⅰ）分布列如上表，数学期望ET=32（分钟）（Ⅱ）0.91点评：本题考查了频率=频数÷样本容量，数学期望，对学生的理解事情的能力有一定的要求，属于中档题．20．（12分）（2015•陕西）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．解答：解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．21．（12分）（2015•陕西）设f n（x）是等比数列1，x，x2，…，x n的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．（Ⅰ）证明：函数F n（x）=f n（x）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为x n），且x n=+x；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n （x），比较f n（x）和g n（x）的大小，并加以证明．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由F n（x）=f n（x）﹣2=1+x+x2+…++x n﹣2，求得F n（1）＞0，F n（）＜0．再由导数判断出函数F n（x）在（，1）内单调递增，得到F n（x）在（，1）内有且仅有一个零点x n，由F n（x n）=0，得到；（Ⅱ）先求出，构造函数h（x）=f n（x）﹣g n（x）=1+x+x2+…++x n﹣，当x=1时，f n（x）=g n（x）．当x≠1时，利用导数求得h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到f n（x）＜g n（x）．解答：证明：（Ⅰ）由F n（x）=f n（x）﹣2=1+x+x2+…++x n﹣2，则F n（1）=n﹣1＞0，F n（）=1+．∴F n（x）在（，1）内至少存在一个零点，又，∴F n（x）在（，1）内单调递增，∴F n（x）在（，1）内有且仅有一个零点x n，∵x n是F n（x）的一个零点，∴F n（x n）=0，即，故；（Ⅱ）由题设，，设h（x）=f n（x）﹣g n（x）=1+x+x2+…++x n﹣，x＞0．当x=1时，f n（x）=g n（x）．当x≠1时，．若0＜x＜1，h′（x）＞=．若x＞1，h′（x）＜=．∴h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，∴h（x）＜h（1）=0，即f n（x）＜g n（x）．综上，当x=1时，f n（x）=g n（x）；当x≠1时，f n（x）＜g n（x）．点评：本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题．四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．解答：证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5：不等式选讲24．（2015•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．解答：解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4点评：本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．2015年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（2015•陕西）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]2．（5分）（2015•陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．1673．（5分）（2015•陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．104．（5分）（2015•陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（）A．7B．6C．5D．45．（5分）（2015•陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+46．（5分）（2015•陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣28．（5分）（2015•陕西）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（）A．2B．4C．10 D．289．（5分）（2015•陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q10．（5分）（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元11．（5分）（2015•陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣12．（5分）（2015•陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2015•陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．14．（5分）（2015•陕西）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=．15．（5分）（2015•陕西）设曲线y=e x在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为．16．（5分）（2015•陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．三、解答题，共5小题，共70分17．（12分）（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．18．（12分）（2015•陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．19．（12分）（2015•陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25 30 35 40频数（次）20 30 40 10（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20．（12分）（2015•陕西）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．21．（12分）（2015•陕西）设f n（x）是等比数列1，x，x2，…，x n的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．（Ⅰ）证明：函数F n（x）=f n（x）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为x n），且x n=+x；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n （x），比较f n（x）和g n（x）的大小，并加以证明．四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．六、选修4-5：不等式选讲24．（2015•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．。
[历年真题]2015年陕西省高考数学试卷(理科)
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2015年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题,共12小题,每小题5分,共60分1．（5分）设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=（）A．[0,1]B．（0,1]C．[0,1）D．（﹣∞,1]2．（5分）某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．1673．（5分）如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知,这段时间水深（单位:m）的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．104．（5分）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15,则n=（）A．7 B．6 C．5 D．45．（5分）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+46．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣28．（5分）根据如图框图,当输入x为2006时,输出的y=（）A．2 B．4 C．10 D．289．（5分）设f（x）=lnx,0＜a＜b,若p=f（）,q=f（）,r=（f（a）+f（b））,则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元11．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x,y∈R）,若|z|≤1,则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣12．（5分）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数）,四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2,8）在曲线y=f（x）上二、填空题,共4小题,每小题5分,共20分13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为．14．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点,则p=．15．（5分）设曲线y=e x在点（0,1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直,则P的坐标为．16．（5分）如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示）,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．三、解答题,共5小题,共70分17．（12分）△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．向量=（a,b）与=（cosA,sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=,b=2,求△ABC的面积．18．（12分）如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD 的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图2．（Ⅰ）证明:CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．19．（12分）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路通畅状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T（分钟）25303540频数（次）20304010（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20．（12分）已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的半焦距为c,原点O到经过两点（c,0）,（0,b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图,AB是圆M:（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径,若椭圆E经过A、B两点,求椭圆E的方程．21．（12分）设f n（x）是等比数列1,x,x2,…,x n的各项和,其中x＞0,n∈N,n≥2．（Ⅰ）证明:函数F n（x）=f n（x）﹣2在（,1）内有且仅有一个零点（记为x n）,且x n=+x；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n（x）,比较f n（x）和g n（x）的大小,并加以证明．四、选修题,请在22、23、24中任选一题作答,如果多做则按第一题计分．选修4-1:几何证明选讲22．（10分）如图,AB切⊙O于点B,直线AO交⊙O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C．（Ⅰ）证明:∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC,BC=,求⊙O的直径．五、选修4-4:坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数）,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标．六、选修4-5:不等式选讲24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a,b的值；（Ⅱ）求+的最大值．2015年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题,共12小题,每小题5分,共60分1．（5分）（2015•陕西）设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=（）A．[0,1]B．（0,1]C．[0,1）D．（﹣∞,1]【分析】求解一元二次方程化简M,求解对数不等式化简N,然后利用并集运算得答案．【解答】解:由M={x|x2=x}={0,1},N={x|lgx≤0}=（0,1],得M∪N={0,1}∪（0,1]=[0,1]．故选:A．【点评】本题考查了并集及其运算,考查了对数不等式的解法,是基础题．2．（5分）（2015•陕西）某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．167【分析】利用百分比,可得该校女教师的人数．【解答】解:初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60,∴该校女教师的人数为77+60=137,故选:C．【点评】本题考查该校女教师的人数,考查收集数据的方法,考查学生的计算能力,比较基础．3．（5分）（2015•陕西）如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知,这段时间水深（单位:m）的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】由题意和最小值易得k的值,进而可得最大值．【解答】解:由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时,函数取最小值y min=﹣3+k=2,解得k=5,∴y=3sin（x+φ）+5,∴当当sin（x+φ）取最大值1时,函数取最大值y max=3+5=8,故选:C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质,涉及三角函数的最值,属基础题．4．（5分）（2015•陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15,则n=（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】由题意可得==15,解关于n的方程可得．）的展开式中x2的系数为15,【解答】解:∵二项式（x+1）n（n∈N+∴=15,即=15,解得n=6,故选:B．【点评】本题考查二项式定理,属基础题．5．（5分）（2015•陕西）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱体的一部分,利用图中数据求出它的表面积．【解答】解:根据几何体的三视图,得；该几何体是圆柱体的一半,∴该几何体的表面积为S几何体=π•12+π×1×2+2×2=3π+4．故选:D．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题,是基础题目．6．（5分）（2015•陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α,即可判断出．【解答】解:由cos2α=cos2α﹣sin2α,∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选:A．【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力,属于基础题．7．（5分）（2015•陕西）对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．【解答】解:选项A恒成立,∵||=|||||cos＜,＞|,又|cos＜,＞|≤1,∴||≤||||恒成立；选项B不恒成立,由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C恒成立,由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D恒成立,由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选:B【点评】本题考查平面向量的数量积,属基础题．8．（5分）（2015•陕西）根据如图框图,当输入x为2006时,输出的y=（）A．2 B．4 C．10 D．28【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x的值,当x=﹣2时不满足条件x≥0,计算并输出y的值为10．【解答】解:模拟执行程序框图,可得x=2006,x=2004满足条件x≥0,x=2002满足条件x≥0,x=2000…满足条件x≥0,x=0满足条件x≥0,x=﹣2不满足条件x≥0,y=10输出y的值为10．故选:C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题．9．（5分）（2015•陕西）设f（x）=lnx,0＜a＜b,若p=f（）,q=f（）,r=（f （a）+f（b））,则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q【分析】由题意可得p=（lna+lnb）,q=ln（）≥ln（）=p,r=（lna+lnb）,可得大小关系．【解答】解:由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb）,q=f（）=ln（）≥ln（）=p,r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb）,∴p=r＜q,故选:B【点评】本题考查不等式与不等关系,涉及基本不等式和对数的运算,属基础题．10．（5分）（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,利润为z元,然后根据题目条件建立约束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解:设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,利润为z元,则,目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时,直线y=﹣x+的截距最大,此时z最大,解方程组,解得,即B的坐标为x=2,y=3,∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2,3吨,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元,故选:D．【点评】本题主要考查线性规划的应用,建立约束条件和目标函数,利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）（2015•陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x,y∈R）,若|z|≤1,则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比,分别求面积可得．【解答】解:∵复数z=（x﹣1）+yi（x,y∈R）且|z|≤1,∴|z|=≤1,即（x﹣1）2+y2≤1,∴点（x,y）在（1,0）为圆心1为半径的圆及其内部,而y≥x表示直线y=x左上方的部分,（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比,∴所求概率P==故选:D．【点评】本题考查几何概型,涉及复数以及圆的知识,属基础题．12．（5分）（2015•陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数）,四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2,8）在曲线y=f（x）上【分析】可采取排除法．分别考虑A,B,C,D中有一个错误,通过解方程求得a,判断是否为非零整数,即可得到结论．【解答】解:可采取排除法．若A错,则B,C,D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b,即有f′（1）=0,即2a+b=0,①又f（1）=3,即a+b+c=3②,又f（2）=8,即4a+2b+c=8,③由①②③解得,a=5,b=﹣10,c=8．符合a为非零整数．若B错,则A,C,D正确,则有a﹣b+c=0,且4a+2b+c=8,且=3,解得a∈∅,不成立；若C错,则A,B,D正确,则有a﹣b+c=0,且2a+b=0,且4a+2b+c=8,解得a=﹣不为非零整数,不成立；若D错,则A,B,C正确,则有a﹣b+c=0,且2a+b=0,且=3,解得a=﹣不为非零整数,不成立．故选:A．【点评】本题考查二次函数的极值、零点等概念,主要考查解方程的能力和判断分析的能力,属于中档题．二、填空题,共4小题,每小题5分,共20分13．（5分）（2015•陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为5．【分析】由题意可得首项的方程,解方程可得．【解答】解:设该等差数列的首项为a,由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为:5【点评】本题考查等差数列的基本性质,涉及中位数,属基础题．14．（5分）（2015•陕西）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点,则p=2．【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点,得到抛物线y2=2px的准线,依据p的意义求出它的值．【解答】解:双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣,0）,故抛物线y2=2px的准线为x=﹣,∴=,∴p=2,故答案为:2．【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义．15．（5分）（2015•陕西）设曲线y=e x在点（0,1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直,则P的坐标为（1,1）．【分析】利用y=e x在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率,进而求得切点坐标．【解答】解:∵f'（x）=e x,∴f'（0）=e0=1．∵y=e x在（0,1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣,设点P（x0,y0）∴﹣=﹣1,∴x0=±1,∵x＞0,∴x0=1∴y0=1∴点P（1,1）故答案为:（1,1）【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用,在高考中属基础题型,常出现在选择填空中．16．（5分）（2015•陕西）如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示）,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2．【分析】建立直角坐标系,求出抛物线方程,然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积,求出梯形面积,即可推出结果．【解答】解:如图:建立平面直角坐标系,设抛物线方程为:y=ax2,因为抛物线经过（5,2）,可得a=,所以抛物线方程:y=,横截面为等腰梯形的水渠,泥沙沉积的横截面的面积为:2×=2（）=,等腰梯形的面积为:=16,当前最大流量的横截面的面积16﹣,原始的最大流量与当前最大流量的比值为:=1.2．故答案为:1.2．【点评】本题考查抛物线的求法,定积分的应用,考查分析问题解决问题的能力,合理建系是解题的关键．三、解答题,共5小题,共70分17．（12分）（2015•陕西）△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．向量=（a,b）与=（cosA,sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=,b=2,求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用向量的平行,列出方程,通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A,以及a=,b=2,通过余弦定理求出c,然后求解△ABC的面积．【解答】解:（Ⅰ）因为向量=（a,b）与=（cosA,sinB）平行,所以asinB﹣=0,由正弦定理可知:sinAsinB﹣sinBcosA=0,因为sinB≠0,所以tanA=,可得A=；（Ⅱ）a=,b=2,由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,可得7=4+c2﹣2c,解得c=3,△ABC的面积为:=．【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用,三角形的面积的求法,考查计算能力．18．（12分）（2015•陕西）如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图2．（Ⅰ）证明:CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明:CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE,建立空间坐标系,利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．【解答】证明:（Ⅰ）在图1中,∵AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,∠BAD=,∴BE⊥AC,即在图2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,则BE⊥平面A1OC；∵CD∥BE,∴CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE,由（Ⅰ）知BE⊥OA1,BE⊥OC,∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角,∴∠A1OC=,如图,建立空间坐标系,∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED∴B（,0,0）,E（﹣,0,0）,A1（0,0,）,C（0,,0）,=（﹣,,0）,=（0,,﹣）,设平面A1BC的法向量为=（x,y,z）,平面A1CD的法向量为=（a,b,c）,则得,令x=1,则y=1,z=1,即=（1,1,1）,由得,取=（0,1,1）,则cos＜＞===,∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为．【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解,建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．19．（12分）（2015•陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路通畅状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T（分钟）25303540频数（次）20304010（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．【分析】（Ⅰ）求T的分布列即求出相应时间的频率,频率=频数÷样本容量,数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）；（Ⅱ）设T1,T2分别表示往、返所需时间,事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”,先求出P（）=P（T1=35,T2=40）+P（T1=40,T2=35）+P（T1=40,T2=40）=0.09,即P（A）=1﹣P（）=0.91．【解答】解（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）（Ⅱ）设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同,设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35,T2=40）+P（T1=40,T2=35）+P（T1=40,T2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故P（A）=1﹣P（）=0.91故答案为:（Ⅰ）分布列如上表,数学期望ET=32（分钟）（Ⅱ）0.91【点评】本题考查了频率=频数÷样本容量,数学期望,对学生的理解事情的能力有一定的要求,属于中档题．20．（12分）（2015•陕西）已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的半焦距为c,原点O到经过两点（c,0）,（0,b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图,AB是圆M:（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径,若椭圆E经过A、B两点,求椭圆E的方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0,b）和（c,0）的直线方程,运用点到直线的距离公式,结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①设出直线AB的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,结合圆的直径和中点坐标公式,解方程可得b2=3,即可得到椭圆方程．【解答】解:（Ⅰ）经过点（0,b）和（c,0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0,则原点到直线的距离为d==c,即为a=2b,e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①由题意可得圆心M（﹣2,1）是线段AB的中点,则|AB|=,易知AB与x轴不垂直,记其方程为y=k（x+2）+1,代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=．x1x2=,由M为AB的中点,可得x1+x2=﹣4,得=﹣4,解得k=,从而x1x2=8﹣2b2,于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==,解得b2=3,则有椭圆E的方程为+=1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用,联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查直线和圆的位置关系,以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用,属于中档题．21．（12分）（2015•陕西）设f n（x）是等比数列1,x,x2,…,x n的各项和,其中x＞0,n ∈N,n≥2．（Ⅰ）证明:函数F n（x）=f n（x）﹣2在（,1）内有且仅有一个零点（记为x n）,且x n=+x；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n（x）,比较f n（x）和g n（x）的大小,并加以证明．【分析】（Ⅰ）由F n（x）=f n（x）﹣2=1+x+x2+…++x n﹣2,求得F n（1）＞0,F n（）＜0．再由导数判断出函数F n（x）在（,1）内单调递增,得到F n（x）在（,1）内有且仅有一个零点x n,由F n（x n）=0,得到；（Ⅱ）先求出,构造函数h（x）=f n（x）﹣g n（x）=1+x+x2+…++x n ﹣,当x=1时,f n（x）=g n（x）．当x≠1时,利用导数求得h（x）在（0,1）内递增,在（1,+∞）内递减,得到f n（x）＜g n（x）．【解答】证明:（Ⅰ）由F n（x）=f n（x）﹣2=1+x+x2+…++x n﹣2,则F n（1）=n﹣1＞0,F n（）=1+．∴F n（x）在（,1）内至少存在一个零点,又,∴F n（x）在（,1）内单调递增,∴F n（x）在（,1）内有且仅有一个零点x n,∵x n是F n（x）的一个零点,∴F n（x n）=0,即,故；（Ⅱ）由题设,,设h（x）=f n（x）﹣g n（x）=1+x+x2+…++x n﹣,x＞0．当x=1时,f n（x）=g n（x）．当x≠1时,．若0＜x＜1,h′（x）＞=．若x＞1,h′（x）＜=．∴h（x）在（0,1）内递增,在（1,+∞）内递减,∴h（x）＜h（1）=0,即f n（x）＜g n（x）．综上,当x=1时,f n（x）=g n（x）；当x≠1时,f n（x）＜g n（x）．【点评】本题考查了函数零点的判定方法,考查了等比数列的前n项和,训练了利用导数研究函数的单调性,考查了数学转化与化归等思想方法,是中档题．四、选修题,请在22、23、24中任选一题作答,如果多做则按第一题计分．选修4-1:几何证明选讲22．（10分）（2015•陕西）如图,AB切⊙O于点B,直线AO交⊙O于D,E两点,BC ⊥DE,垂足为C．（Ⅰ）证明:∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC,BC=,求⊙O的直径．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明:∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明:（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径,则∠BED+∠EDB=90°,∵BC⊥DE,∴∠CBD+∠EDB=90°,即∠CBD=∠BED,∵AB切⊙O于点B,∴∠DBA=∠BED,即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA,则=3,∵BC=,∴AB=3,AC=,则AD=3,由切割线定理得AB2=AD•AE,即AE=,故DE=AE﹣AD=3,即可⊙O的直径为3．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明,根据相应的定理是解决本题的关键．五、选修4-4:坐标系与参数方程23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数）,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标．【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2,把代入即可得出；．（II）设P,又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=,再利用二次函数的性质即可得出．【解答】解:（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2,化为x2+y2=,配方为=3．（II）设P,又C．∴|PC|==≥2,因此当t=0时,|PC|取得最小值2．此时P（3,0）．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．六、选修4-5:不等式选讲24．（2015•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a,b的值；（Ⅱ）求+的最大值．【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组,解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+,由柯西不等式可得最大值．【解答】解:（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a,又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4},∴,解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4,当且仅当=即t=1时取等号,∴所求最大值为4【点评】本题考查不等关系与不等式,涉及柯西不等式求最值,属基础题．参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123；刘长柏；lincy；742048；沂蒙松；w3239003；maths；双曲线；雪狼王；qiss；依依（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。
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2015年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设集合M={x |x 2=x }，N={x |lgx ≤0}，则M ∪N=（ ） A ．[0，1] B ．（0，1] C ．[0，1） D ．（﹣∞，1]2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．93B ．123C ．137D ．1673．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （π6x +φ）+k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．104．（5分）二项式（x +1）n （n ∈N +）的展开式中x 2的系数为15，则n=（ ） A ．7B ．6C ．5D ．45．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．2π+4D ．3π+46．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．（5分）对任意向量a →、b →，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．|a →⋅b →|≤|a →||b →| B ．|a →−b →|≤||a →|﹣|b →|| C ．（a →+b →）2=|a→+b →|2 D ．（a →+b →）•（a →−b →）=a →2﹣b →28．（5分）根据如图框图，当输入x 为2006时，输出的y=（ ）A ．2B ．4C ．10D ．289．（5分）设f （x ）=lnx ，0＜a ＜b ，若p=f （√ab ），q=f （a+b 2），r=12（f （a ）+f（b ）），则下列关系式中正确的是（ ）A ．q=r ＜pB ．p=r ＜qC ．q=r ＞pD ．p=r ＞q10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）甲 乙 原料限额A （吨） 3 2 12B （吨）128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11．（5分）设复数z=（x ﹣1）+yi （x ，y ∈R ），若|z |≤1，则y ≥x 的概率为（ ）A ．34+12πB ．12+1πC ．12﹣1πD ．14﹣12π12．（5分）对二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．﹣1是f （x ）的零点 B ．1是f （x ）的极值点C ．3是f （x ）的极值D ．点（2，8）在曲线y=f （x ）上二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．14．（5分）若抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线经过双曲线x 2﹣y 2=1的一个焦点，则p= ． 15．（5分）设曲线y=e x 在点（0，1）处的切线与曲线y=1x（x ＞0）上点P 的切线垂直，则P 的坐标为 ．16．（5分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．三、解答题，共5小题，共70分17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量m →=（a ，√3b ）与n →=（cosA ，sinB ）平行． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a=√7，b=2，求△ABC 的面积．18．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=π2，AB=BC=1，AD=2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE 沿BE 折起到A 1BE 的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（Ⅱ）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．19．（12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为200的样本进行统计，结果如下： T （分钟） 25 30 35 40 频数（次）40608020（1）求T 的分布列与数学期望ET ；（2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，原点O 到经过两点（c ，0），（0，b ）的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：（x +2）2+（y ﹣1）2=52的一条直径，若椭圆E 经过A 、B两点，求椭圆E 的方程．21．（12分）设f n （x ）是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x ＞0，n ∈N ，n ≥2．（Ⅰ）证明：函数F n （x ）=f n （x ）﹣2在（12，1）内有且仅有一个零点（记为x n ），且x n=12+12x n n+1；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n（x），比较f n（x）和g n（x）的大小，并加以证明．四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=√2，求⊙O的直径．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3+12ty=√32t（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2√3sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．六、选修4-5：不等式选讲24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求√at+12+√bt的最大值．2015年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设集合M={x |x 2=x }，N={x |lgx ≤0}，则M ∪N=（ ） A ．[0，1] B ．（0，1] C ．[0，1） D ．（﹣∞，1] 【解答】解：由M={x |x 2=x }={0，1}， N={x |lgx ≤0}=（0，1]，得M ∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]． 故选：A ．2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．93B ．123C ．137D ．167【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137， 故选：C ．3．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （π6x +φ）+k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【解答】解：由题意可得当sin （π6x +φ）取最小值﹣1时，函数取最小值y min =﹣3+k=2，解得k=5，∴y=3sin （π6x +φ）+5，∴当当sin （π6x +φ）取最大值1时，函数取最大值y max =3+5=8， 故选：C ．4．（5分）二项式（x +1）n （n ∈N +）的展开式中x 2的系数为15，则n=（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4【解答】解：∵二项式（x +1）n （n ∈N +）的展开式中x 2的系数为15，∴C n 2=15，即n(n−1)2=15，解得n=6，故选：B ．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．2π+4D ．3π+4【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱， 底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×12π+（2+π）×2=3π+4，故选：D6．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解答】解：由cos2α=cos 2α﹣sin 2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件． 故选：A ．7．（5分）对任意向量a →、b →，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．|a →⋅b →|≤|a →||b →| B ．|a →−b →|≤||a →|﹣|b →|| C ．（a →+b →）2=|a→+b →|2 D ．（a →+b →）•（a →−b →）=a →2﹣b →2【解答】解：选项A 恒成立，∵|a →⋅b →|=|a →||b →||cos ＜a →，b →＞|， 又|cos ＜a →，b →＞|≤1，∴|a →⋅b →|≤|a →||b →|恒成立；选项B 不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|a →−b →|≥||a →|﹣|b →||；选项C 恒成立，由向量数量积的运算可得（a →+b →）2=|a→+b →|2；选项D 恒成立，由向量数量积的运算可得（a →+b →）•（a →−b →）=a →2﹣b →2．故选：B8．（5分）根据如图框图，当输入x 为2006时，输出的y=（ ）A ．2B ．4C ．10D ．28【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x=2006， x=2004满足条件x ≥0，x=2002 满足条件x ≥0，x=2000 …满足条件x ≥0，x=0 满足条件x ≥0，x=﹣2 不满足条件x ≥0，y=10 输出y 的值为10． 故选：C ．9．（5分）设f （x ）=lnx ，0＜a ＜b ，若p=f （√ab ），q=f （a+b 2），r=12（f （a ）+f（b ）），则下列关系式中正确的是（ ）A ．q=r ＜pB ．p=r ＜qC ．q=r ＞pD ．p=r ＞q【解答】解：由题意可得若p=f （√ab ）=ln （√ab ）=12lnab=12（lna +lnb ），q=f （a+b 2）=ln （a+b 2）≥ln （√ab ）=p ，r=12（f （a ）+f （b ））=12（lna +lnb ）， ∴p=r ＜q ， 故选：B10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）甲 乙 原料限额A （吨） 3 2 12B （吨）128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x ，y 吨，利润为z 元， 则{3x +2y ≤12x +2y ≤8x ≥0，y ≥0，目标函数为 z=3x +4y ．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x +4y 得y=﹣34x +z4，平移直线y=﹣34x +z 4由图象可知当直线y=﹣34x +z 4经过点B 时，直线y=﹣34x +z4的截距最大， 此时z 最大，解方程组{3x +2y =12x +2y =8，解得{x =2y =3，即B 的坐标为x=2，y=3， ∴z max =3x +4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元， 故选：D ．11．（5分）设复数z=（x ﹣1）+yi （x ，y ∈R ），若|z |≤1，则y ≥x 的概率为（ ）A ．34+12πB ．12+1πC ．12﹣1πD ．14﹣12π【解答】解：∵复数z=（x ﹣1）+yi （x ，y ∈R ）且|z |≤1， ∴|z |=√(x −1)2+y 2≤1，即（x ﹣1）2+y 2≤1，∴点（x ，y ）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部， 而y ≥x 表示直线y=x 左上方的部分，（图中阴影弓形） ∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比， ∴所求概率P=14⋅π⋅12−12×1×1π⋅12=14−12π故选：D ．12．（5分）对二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．﹣1是f （x ）的零点 B ．1是f （x ）的极值点C ．3是f （x ）的极值D ．点（2，8）在曲线y=f （x ）上 【解答】解：可采取排除法．若A 错，则B ，C ，D 正确．即有f （x ）=ax 2+bx +c 的导数为f′（x ）=2ax +b ， 即有f′（1）=0，即2a +b=0，①又f （1）=3，即a +b +c=3②，又f （2）=8，即4a +2b +c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a 为非零整数．若B 错，则A ，C ，D 正确，则有a ﹣b +c=0，且4a +2b +c=8，且4ac−b 24a=3，解得a ∈∅，不成立；若C 错，则A ，B ，D 正确，则有a ﹣b +c=0，且2a +b=0，且4a +2b +c=8，解得a=﹣83不为非零整数，不成立； 若D 错，则A ，B ，C 正确，则有a ﹣b +c=0，且2a +b=0，且4ac−b 24a=3，解得a=﹣34不为非零整数，不成立． 故选：A ．二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 5 ．【解答】解：设该等差数列的首项为a ， 由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2 解得a=5 故答案为：514．（5分）若抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线经过双曲线x 2﹣y 2=1的一个焦点，则p= 2√2 ．【解答】解：双曲线x 2﹣y 2=1的左焦点为（﹣√2，0），故抛物线y 2=2px 的准线为x=﹣√2，∴p2=√2，∴p=2√2， 故答案为：2√2．15．（5分）设曲线y=e x 在点（0，1）处的切线与曲线y=1x（x ＞0）上点P 的切线垂直，则P 的坐标为 （1，1） ． 【解答】解：∵f'（x ）=e x ， ∴f'（0）=e 0=1．∵y=e x 在（0，1）处的切线与y=1x（x ＞0）上点P 的切线垂直 ∴点P 处的切线斜率为﹣1． 又y'=﹣1x 2，设点P （x 0，y 0）∴﹣1x 02=﹣1，∴x 0=±1，∵x ＞0，∴x 0=1 ∴y 0=1∴点P （1，1） 故答案为：（1，1）16．（5分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2 ．【解答】解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax 2，因为抛物线经过（5，2），可得a=225，所以抛物线方程：y=225x 2，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为： 2×(∫5225x 2−12×2×2)=2（275x 3|05−2）=83，等腰梯形的面积为：10+62×2=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣83， 原始的最大流量与当前最大流量的比值为：1616−83=1.2．故答案为：1.2．三、解答题，共5小题，共70分17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量m →=（a ，√3b ）与n →=（cosA ，sinB ）平行． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a=√7，b=2，求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量m →=（a ，√3b ）与n →=（cosA ，sinB ）平行，所以asinB ﹣√3bcosA =0，由正弦定理可知：sinAsinB ﹣√3sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=√3，可得A=π3；（Ⅱ）a=√7，b=2，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7=4+c 2﹣2c ，解得c=3，△ABC 的面积为：12bcsinA =3√32．18．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=π2，AB=BC=1，AD=2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE 沿BE 折起到A 1BE 的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（Ⅱ）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E 是AD 的中点，∠BAD=π2，∴BE ⊥AC ，即在图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 则BE ⊥平面A 1OC ； ∵CD ∥BE ， ∴CD ⊥平面A 1OC ；（Ⅱ）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 由（Ⅰ）知BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，∴∠A 1OC 为二面角A 1﹣BE ﹣C 的平面角， ∴∠A 1OC=π2，如图，建立空间坐标系， ∵A 1B=A 1E=BC=ED=1．BC ∥ED∴B （√22，0，0），E （﹣√22，0，0），A 1（0，0，√22），C （0，√22，0），BC →=（﹣√22，√22，0），A 1C →=（0，√22，﹣√22），CD →=BE →=(−√2，0，0)设平面A 1BC 的法向量为m →=（x ，y ，z ），平面A 1CD 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{m →⋅BC →=0m →⋅A 1C →=0得{−x +y =0y −z =0，令x=1，则y=1，z=1，即m →=（1，1，1）， 由{n →⋅A 1C →=0n →⋅CD →=0得{a =0b −c =0，取n →=（0，1，1），则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →||n →|=√3×√2=√63，∴平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为√63．19．（12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为200的样本进行统计，结果如下： T （分钟） 25 30 35 40 频数（次）40608020（1）求T 的分布列与数学期望ET ；（2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．【解答】解：（1）由统计结果可得T 的频率分布为 T （分钟） 25 30 35 40 频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T 的分布列为 T 25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32．（分钟）…（4分）（II ）设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“唐教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟， 所以事件A 对应于“唐教授在途中的时间不超过70分钟”．P （A ）=P （T 1+T 2≤70）=P （T 1=25，T 2≤45）+P （T 1=30，T 2≤40）+P （T 1=35，T 2≤35）+P （T 1=40，T 2≤30）=1×0.2+1×0.3+0.9×0.4+0.5×0.1=0.91．…（10分）20．（12分）已知椭圆E ：x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，原点O 到经过两点（c ，0），（0，b ）的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率； （Ⅱ）如图，AB 是圆M ：（x +2）2+（y ﹣1）2=52的一条直径，若椭圆E 经过A 、B 两点，求椭圆E 的方程．【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b ）和（c ，0）的直线方程为bx +cy ﹣bc=0，则原点到直线的距离为d=√22=12c ，即为a=2b ，e=ca=√1−b2a2=√32； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2，①由题意可得圆心M （﹣2，1）是线段AB 的中点，则|AB |=√10， 易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为y=k （x +2）+1，代入①可得 （1+4k 2）x 2+8k （1+2k ）x +4（1+2k ）2﹣4b 2=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=−8k(1+2k)1+4k 2．x 1x 2=4(1+2k)2−4b 21+4k 2，由M 为AB 的中点，可得x 1+x 2=﹣4，得−8k(1+2k)1+4k 2=﹣4，解得k=12，从而x 1x 2=8﹣2b 2，于是|AB |=√1+(12)2•|x 1﹣x 2|=√52•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2)=√10，解得b 2=3，则有椭圆E 的方程为x 212+y 23=1．21．（12分）设f n （x ）是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x ＞0，n ∈N ，n ≥2．（Ⅰ）证明：函数F n （x ）=f n （x ）﹣2在（12，1）内有且仅有一个零点（记为x n ），且x n =12+12x n n+1；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n （x ），比较f n （x ）和g n （x ）的大小，并加以证明． 【解答】证明：（Ⅰ）由F n （x ）=f n （x ）﹣2=1+x +x 2+…+x n ﹣2， 则F n （1）=n ﹣1＞0，F n （12）=1+12+(12)2+⋯+(12)n −2=1−(12)n+11−12−2=−12n＜0．∴F n （x ）在（12，1）内至少存在一个零点，又F n ′(x)=1+2x +⋯+nx n−1＞0，∴Fn （x ）在（12，1）内单调递增，∴F n （x ）在（12，1）内有且仅有一个零点x n ，∵x n 是F n （x ）的一个零点，∴F n （x n ）=0，即1−x n n+11−x n −2=0，故x n =12+12x n n+1；（Ⅱ）由题设，g n (x)=(n+1)(1+x n )2，设h （x ）=f n （x ）﹣g n （x ）=1+x +x 2+…+x n ﹣(n+1)(1+xn )2，x ＞0．当x=1时，f n （x ）=g n （x ）．当x ≠1时，ℎ′(x)=1+2x +⋯+nxn−1−n(n+1)x n−12．若0＜x ＜1，h′（x ）＞x n−1+2x n−1+⋯+nx n−1−n(n+1)x n−12=n(n+1)x n−12−n(n+1)x n−12=0．若x ＞1，h′（x ）＜x n−1+2x n−1+⋯+nx n−1−n(n+1)xn−12=n(n+1)x n−12−n(n+1)x n−12=0．∴h （x ）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减， ∴h （x ）＜h （1）=0，即f n （x ）＜g n （x ）． 综上，当x=1时，f n （x ）=g n （x ）； 当x ＞0且x ≠1时，f n （x ）＜g n （x ）．四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA ；（Ⅱ）若AD=3DC ，BC=√2，求⊙O 的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE 是⊙O 的直径， 则∠BED +∠EDB=90°， ∵BC ⊥DE ，∴∠CBD +∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED ， ∵AB 切⊙O 于点B ，∴∠DBA=∠BED ，即∠CBD=∠DBA ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分∠CBA ，则BA BC =AD CD=3， ∵BC=√2，∴AB=3√2，AC=√AB 2−BC 2=4， 则AD=3，由切割线定理得AB 2=AD•AE ， 即AE=AB 2AD=6，故DE=AE ﹣AD=3，即可⊙O 的直径为3．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+12ty =√32t（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2√3sinθ． （Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【解答】解：（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2√3sinθ． ∴ρ2=2√3ρsinθ，化为x 2+y 2=2√3y ， 配方为x 2+(y −√3)2=3．（II ）设P (3+12t ，√32t)，又C (0，√3)．∴|PC |=√(3+12t)+(32t −√3)=√22√3，因此当t=0时，|PC |取得最小值2√3．此时P （3，0）．六、选修4-5：不等式选讲24．已知关于x 的不等式|x +a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4} （Ⅰ）求实数a ，b 的值； （Ⅱ）求√at +12+√bt 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）关于x 的不等式|x +a |＜b 可化为﹣b ﹣a ＜x ＜b ﹣a ， 又∵原不等式的解集为{x |2＜x ＜4}， ∴{−b −a =2b −a =4，解方程组可得{a =−3b =1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得√at +12+√bt =√−3t +12+√t =√3√4−t +√t ≤√[(√3)2+12][(√4−t)2+(√t)2] =2√4−t +t =4，当且仅当√4−t √3=√t1即t=1时取等号，∴所求最大值为4第1页（共1页）。