圆锥曲线中的定值定点问题

2019届高二文科数学新课改试验学案(10)

---圆锥曲线中的定值定点问题

1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2,点()

2,2在C 上. （I ）求C 的方程；

（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.

2.已知椭圆C ：22

221x y a b

+=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率；

（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值.

3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12

，其左焦点到点()2,1P 的距离为10 （I ）求椭圆C 的标准方程

（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

<圆锥曲线中的定值定点问题>答案

1.【答案】（I ）22

22184

x y +=（II ）见试题解析

试题解析：

【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22

,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.

2.

32c e a ==．

从而四边形ABNM 的面积为定值．

【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

3.解：（1）1::2:32

c e a b c a ==⇒=，设左焦点()1,0F c - ()()22

120110PF c ∴=--+-=，解得1c = 2,3a b ∴==∴椭圆方程为22

143

x y += （2）由（1）可知椭圆右顶点()2,0D

设()()1122,,,A x y B x y ，Q 以AB 为直径的圆过()2,0D

DA DB ∴⊥即DA DB ⊥u u u r u u u r 0DA DB ∴⋅=u u u r u u u r

()()()121212*********DA DB x x y y x x x x y y ∴⋅=--+=-+++=u u u r u u u r ①

联立直线与椭圆方程：223412

y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()()222348430k x mkx m +++-= ()

22222222438312434343

k m mk mk m k m k k k -⋅-=-+=+++，代入到① 27

m k ∴=-或2m k =- 当2

7m k =-时，22:77l y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ l ∴恒过2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭

当2m k =-时，():22l y kx k k x =-=- l ∴恒过()2,0，但()2,0为椭圆右顶点，不符题意，故舍去l ∴恒过2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭

3.