导热基本方程和稳态导热理论
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传热学(第二章)
(2-32)
热阻
R=
1 1 1 ( 4πλ r r2 1
(2-33)
由球坐标系一般形式的导热微分方程
1 T 1 T 1 T T (λr2 + 2 2 (λ ) + 2 (λ sin θ ) + Φ = ρcp r2 r r) r sin θ r sin θ θ θ τ
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁,圆筒壁,球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁,圆筒壁,
1 T 1 T T T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp τ r r r) r z z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 (2-25)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义,通过整个圆筒壁的导热热阻为 (2-29) 29) 与分析多层平壁—样,运用串联热阻叠加的原则,可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 t4 ) Φ= (2-30) ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数,无内热源的空心球壁.内,外半径为r1,r2,其内外表面均匀 恒定温度为t1,t2,球壁内的温度仅沿半径变化,等温面是同心球面. 由傅立叶定律得: dt 各同心球面上的热流率q不相等,而热流量Φ相等. Φ = 4πr2λ dr dr Φ 2 = 4πλdt r
的热传导微分方程:
T(r,τ ) τ ρc 当 λ = const 时, 2T(r,τ ) + Φ = p T(r,τ ) λ λ τ [λT(r,τ )] + g(r,τ ) = ρcp
传热学-第二章 导热基本定律及稳态导热第一讲-动力工程
大多数液体（分子量M不变）： T
液体的热导率随压力p的升高而增大 p
2-3 导热微分方程式及单值性条件
理论解析的基本思路
简化
物理问题
数学模型
求解
热流量
温度场
导热定律
控制方程 定解条件
q -grad T [W m2 ]
建立导热体内的温度分布计算模型是导热理论 的首要任务
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律
导入与导出微元体净热量：
qx dxdydz d
x
[J]
d 时间内、沿 y 轴方向
导入与导出微元体净热量：
qy dxdydz d
y
[J]
d 时间内、沿 z 轴方向导
入与导出微元体净热量：
qz dxdydz d
z
[J]
D. 导入与导出净热量:
[] ( qx qy qz )dxdydzd
[J]
dQx qx dydz d [J]
B. d 时间内、沿 x 轴方向、
经 x+dx 表面处dydz导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
qxdx
qx
qx x
dx
C. d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向
2、推导过程 在导热体中取一微元体，能量平衡分析 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中：
[导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
数学模型建立基本思路 能量平衡分析
(1)导入与导出微元体的净热量
液体的热导率随压力p的升高而增大 p
2-3 导热微分方程式及单值性条件
理论解析的基本思路
简化
物理问题
数学模型
求解
热流量
温度场
导热定律
控制方程 定解条件
q -grad T [W m2 ]
建立导热体内的温度分布计算模型是导热理论 的首要任务
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律
导入与导出微元体净热量：
qx dxdydz d
x
[J]
d 时间内、沿 y 轴方向
导入与导出微元体净热量：
qy dxdydz d
y
[J]
d 时间内、沿 z 轴方向导
入与导出微元体净热量：
qz dxdydz d
z
[J]
D. 导入与导出净热量:
[] ( qx qy qz )dxdydzd
[J]
dQx qx dydz d [J]
B. d 时间内、沿 x 轴方向、
经 x+dx 表面处dydz导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
qxdx
qx
qx x
dx
C. d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向
2、推导过程 在导热体中取一微元体，能量平衡分析 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中：
[导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
数学模型建立基本思路 能量平衡分析
(1)导入与导出微元体的净热量
《传热学》第二章 稳态导热
断面周长： 断面面积：
进行负内热源处理后等截面直肋导热微分方程组如下：
（假定肋端绝热）
定义： 令：
—— 过余温度
使导热微分方程齐次化：
并解出其通解为：
代入边界条件求出c1和c2，并代入通解，得出特解：
等截面直肋的温度分布：
肋端过余温度：
肋片散热量：
当考虑肋端散热时，计算肋片散热量时可采用假想肋高
n层圆筒壁的单位管长热流量：
二、第三类边界条件
常物性时导热微分方程组如下：
根据第一类边界条件时的结果: （此时壁温tw1和tw2为未知） 与以上两个边界条件共三式变形后 相加,可消去tw1和tw2，得：
单层圆筒壁的单位管长热流量：
三、临界热绝缘直径
有绝缘层时的管道总热阻：
当dx增大时： 增 大 减 小
代入肋片效率定义，得到：
肋片效率计算式：
m和l对肋片效率的影响分析：
a. m一定时，l越大，Φ越大，但ηf越低
采用长肋可以提高散热量，但却使肋片散热有效性降低
b. l一定时，m越大，ηf越低
可采用变截面肋片设法降低m
根据肋片效率计算散热量的方法（查线图法）：
矩形及三角形直肋的肋片效率
环肋的肋片效率
h较小时
应用实例：细管，电线 电线的绝缘层外直径小于临界热绝缘直径时， 可起到散热作用
第四节 具有内热源的平壁导热
应用领域：混凝土墙壁凝固
研究对象：厚度为2δ的墙壁，内热源强度为qv， 两边为第三类边界，中间为绝热边界， 取墙壁的一半为研究对象建立导热微分方程 常物性时导热微分方程组如下：
积分两次，得：
《传热学》
第二章 稳态导热
导热微分方程：
稳态时满足：
传热学第二章 第二节 导热微分方程式
∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
传热学---导热微分方程式
dQx
−
dQx+dx
=
−
∂qx ∂x
dxdydz
⋅ dτ
[J]
1
第二节 导热微分方程式
dτ 时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量：
dQy
−
dQ y + dy
=
−
∂q y ∂y
dxdydz ⋅ dτ
[J]
dτ 时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量：
dQz
−
dQz+dz
=
−
∂qz ∂z
dxdydz ⋅ dτ
+
j1 r
∂t ∂θ
+k
r
1 sinθ
∂t ∂φ
⎞ ⎠⎟
ρc
∂t ∂τ
=
1 r2
∂ ∂r
(λr2
∂t ) + ∂r
r2
1 sinθ
∂ ∂θ
(λsinθ
∂t ∂θ
)
+
r2
1 sin2θ
∂ ∂φ
(λ ∂∂φt )+qv
第二节 导热微分方程式
2.导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间(如10)产生极大的热流密度的热量传 递现象， 如激光加工过程。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
第二节 导热微分方程式
1、几何条件 说明导热体的几何形状和大小。 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等。
2、物理条件
说明导热体的物理特征。
如：物性参数 λ、c 和 ρ 的数值，是否随温度变化； 有无内热源、大小和分布；是否各向同性。
传热学
C3-4导热微分方程及其定界条件-稳态导热
dx dx
x 0, t ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt1
x , t t2
若导热系数随温度线性变化
t
t1 t2
0δ
x
（0 1 bt）
λ0、b为常数
则导热微分方程变为
d dx
0
(1
bt
)
dt dx
0
对x积分一次得
0
(1
bt
)
dt dx
c1
对x再次积分得微分方程的通解
0
从中不难看出，λm为平壁两表面温度下的导热系 数值的算术平均值，亦为平壁两表面温度算术平均
值下的导热系数值。
3.通过多层平壁的导热，两侧均为第一类边界
多层平壁：由几层导热系数不同材料组成的复合 平壁。
对于类似这样的问题，可采 t 用热阻的概念进行分析。在稳态、 t1 t2
无内热源的情况下，通过各层的 热流量相等。热流量也等于总温 差比上总热阻。
tw2。（1）导热系数为常数；（2）导热系数是温度 的函数。
2. 一块厚度为 的平板，平板内有均匀的内热源，
热源强度为 ，平板一侧温度为tw1，平板另一侧
绝热。
3. 一块厚度为 的平板，平板内有均匀的内热源，
热源强度为 ，平板一侧绝热，平板另一侧与温
度为tf 的流体对流换热，且表面传热系数为h。
(t
b 2
t
2
)
c1x
c2
利用边界条件最后得温度分布为 抛物线形式
t
b 2
t2
(t1
b 2
t12 )
t1
t2
x 0, t ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt1
x , t t2
若导热系数随温度线性变化
t
t1 t2
0δ
x
（0 1 bt）
λ0、b为常数
则导热微分方程变为
d dx
0
(1
bt
)
dt dx
0
对x积分一次得
0
(1
bt
)
dt dx
c1
对x再次积分得微分方程的通解
0
从中不难看出，λm为平壁两表面温度下的导热系 数值的算术平均值，亦为平壁两表面温度算术平均
值下的导热系数值。
3.通过多层平壁的导热，两侧均为第一类边界
多层平壁：由几层导热系数不同材料组成的复合 平壁。
对于类似这样的问题，可采 t 用热阻的概念进行分析。在稳态、 t1 t2
无内热源的情况下，通过各层的 热流量相等。热流量也等于总温 差比上总热阻。
tw2。（1）导热系数为常数；（2）导热系数是温度 的函数。
2. 一块厚度为 的平板，平板内有均匀的内热源，
热源强度为 ，平板一侧温度为tw1，平板另一侧
绝热。
3. 一块厚度为 的平板，平板内有均匀的内热源，
热源强度为 ，平板一侧绝热，平板另一侧与温
度为tf 的流体对流换热，且表面传热系数为h。
(t
b 2
t
2
)
c1x
c2
利用边界条件最后得温度分布为 抛物线形式
t
b 2
t2
(t1
b 2
t12 )
t1
t2
传热学第二章--稳态导热精选全文
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t ( t ) Φ x x
d 2t dx2
0
o
x 0,
x ,
t t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
2024/11/6
35
带入边界条件：
c1
t2
t1
c t
1 r2
r 2
r
t r
1
r 2 sin
sin
t
r2
1
sin 2
t
Φ
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26
6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
4
2 等温面与等温线
①定义
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
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5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
固体 液体 气体
金属 非金属
金属 12~418 W (m C) 非金属 0.025 ~ 3W/(mC)
合金 纯金属
第二章--稳态热传导(导热理论基础)
具有稳态温度场的导热过程我们常称之为稳态导热；具有非稳态温 度场的导热过程我们常称之为非稳态导热。
2021/3/10
2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
2021/3/10
1
导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
2021/3/10
2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
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导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
传热学第三章稳态导热
传热学第三章稳态导热
11
根据热阻串联的叠加原则，通过三 层壁的热流密度计算式为：
q
tw1 tw4
1 2 3
1 2 3
W/m2
、
qA
1
tw1 tw4
2 3
W
1A 2A 3A
2021/2/12
传热学第三章稳态导热
12
由
q
t
可得各层接触面上的温度分别为 ：
tw2
、tw1
q1 1
℃
tw3
பைடு நூலகம்
tw4
W/m2
可见，通过平壁稳态导热的热流密度 取决于导热系数、壁厚及两侧面的温差。
稳态下平壁内与热流相垂直的各截面 上的热流密度为常量。
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传热学第三章稳态导热
6
通过整个平壁的热流量为：
AqAt
W
当λ=λ0(1+bt) 时，在温差(t1-t2 ) 下的导热量仍可用常物性导热计算式来 计算，只需用平均温度t=(t1+t2)/2 下的平 均导热系数计算即可。
rλ
rh2
传热学第三章稳态导热
返回 15
第二节 通过圆筒壁的导热
一、第一类边界条件下的圆筒壁导热 二、第三类边界条件下的圆筒壁导热 三、临界热绝缘直径
2021/2/12
传热学第三章稳态导热
16
一、第一类边界条件下的圆筒壁导热
1.单层圆筒壁
已知：长圆筒壁 r1、r2、 l ；
λ=const
r=r1 ,t=tw1; r=r2 ,t=tw2 求： (1) Φ=？
第三章 稳态导热
§3-1 通过平壁的导热 §3-2 通过圆筒壁的导热 §3-3 通过球壁的导热 §3-4 接触热阻 §3-5 通过肋片的导热
传热学第二章
△n
Δn0 Δn n
温度梯度和热流密度
•温度梯度是向量，垂直于等温面， 正向朝着温度增加的方向；
•温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。
t t n m
温度梯度的解析定义：
温度场 t f (x, y, z) 中点(x, y, z) 处的温度梯度：
gradt t i t j t k x y z
温度梯度垂直于等温面吗？
设等温面方程： t f (x, y, z) c 在点 (x, y, z)处,等温面的法线向量n n ( t , t , t ) x y z gradt 平行于 n
梯度方向垂直于等温面。
两个定义一致，解析定义便于计算
（4） 热流密度
热流密度是指单位时间经过单位面积所传递的热量，用 q 表示，单位为 W / m2。
根据上面的条件可得：
x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t z
)
qv
(cp t)
d 2t dx2
0
第一类边界条件：
x 0,t t1
x ,t t2
直接积分：
dt dx
c1
带入边界条件：
t c1x c2
c1
t2
t1
c2 t1
t
t2
t1
x
t1
dt t2 t1
dx
带入傅里叶定律得
t y
qz
t z
对于一维导热问题：
q dt
dx
3 导热系数
导热系数的定义式可由傅立叶定律的表达式得出
q t n
n
(1)物理意义：
表示了物质导热能力的大小，是在单位温度梯度作用下 的热流密度。工程计算采用的各种物质的导热系数值都是由 专门实验测定出来的。
东南大学传热学 第二章 导热基本定律及稳态导热
第二章 导热基本定律 及稳态导热
本章重点讨论稳态导热问题。为此首先介绍 一些相关的基本知识，如温度场、温度剃度、 导热基本定律等；然后应用这些基本知识推 导出求解导热问题的微分方程；最后应用这 些微分方程求解常见的导热问题。
第一节 导热基本定律
温度场
• 定义：某一瞬间物体内的温度分布，称为温度场。 • 分类 1.按温度是否随时间而变化可分为 稳态温度场：物体内温度不随时间的变化而变化的温度场 非稳态温度场：物体内的温度随时间变化而变化的温度场 2.按温度随空间的变化可分为 一维温度场：温度只在一个方向有变化的温度场 二维温度场：温度在两个方向有变化的温度场 三维温度场：温度在三个方向有变化的温度场 • 表示：三种表示方法
n x y z
导热基本定律
• 傅立叶定律：单位时间内通过单位截面积所传 递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的 温度变化率，即温度剃度，其比例系数为导热 系数。
• 表示型式： A t n
n
导热系数
•
定义：
q
t n
n
• 物理意义：单位时间单位面积当温度变化率为1时，由导
热所传递的热量
• 影响因素：主要是物质的种类和物质所处的状态
第三节 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的导热
通过 平壁导热
通过 圆筒壁导热
通过 球壳导热
通过变导热 系数物体 的导热
单层平壁 多层平壁 单层圆筒壁 多层圆筒壁 单层球壳 多层球壳
通过单层平壁的导热
通过单层 平壁的导热
物理模型
数学描写
温度分布
热流量计算
数学描写
d 2t dx2 x
数学描写
温度分布
热流量计算
物理模型
本章重点讨论稳态导热问题。为此首先介绍 一些相关的基本知识，如温度场、温度剃度、 导热基本定律等；然后应用这些基本知识推 导出求解导热问题的微分方程；最后应用这 些微分方程求解常见的导热问题。
第一节 导热基本定律
温度场
• 定义：某一瞬间物体内的温度分布，称为温度场。 • 分类 1.按温度是否随时间而变化可分为 稳态温度场：物体内温度不随时间的变化而变化的温度场 非稳态温度场：物体内的温度随时间变化而变化的温度场 2.按温度随空间的变化可分为 一维温度场：温度只在一个方向有变化的温度场 二维温度场：温度在两个方向有变化的温度场 三维温度场：温度在三个方向有变化的温度场 • 表示：三种表示方法
n x y z
导热基本定律
• 傅立叶定律：单位时间内通过单位截面积所传 递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的 温度变化率，即温度剃度，其比例系数为导热 系数。
• 表示型式： A t n
n
导热系数
•
定义：
q
t n
n
• 物理意义：单位时间单位面积当温度变化率为1时，由导
热所传递的热量
• 影响因素：主要是物质的种类和物质所处的状态
第三节 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的导热
通过 平壁导热
通过 圆筒壁导热
通过 球壳导热
通过变导热 系数物体 的导热
单层平壁 多层平壁 单层圆筒壁 多层圆筒壁 单层球壳 多层球壳
通过单层平壁的导热
通过单层 平壁的导热
物理模型
数学描写
温度分布
热流量计算
数学描写
d 2t dx2 x
数学描写
温度分布
热流量计算
物理模型
第二章-导热理论基础-1
一般而言：
λ固 > λ 液 > λ 气 λ 金属 > λ 非金属
一定温度范围内， ∝ f (t ) ，可写成：λ = λ0 ⋅ (1 + bt ) λ 即，导热系数是温度的线性函数。 由于热能的传输在固体中体现为自由电子的迁移和晶格振动 波，于是 λ固 = λe + λl
晶格分量 电子分量 对于金属： e λ
∂t qx = −λ ⋅ ∂x ∂t q y = −λ ⋅ 或 ∂y ∂t q z = − λ ⋅ ∂z
2-1-6 导热系数
q qx =− 定义： λ = − gradt ∂t ∂x
物理意义： 物体中单位时间、单位温降通过单位面积的导
W 热量；为表征物质导热能力的系数。 m ⋅ ℃
如果初始时刻物体各部分的温度相同，可以把初始条件改 写为： t τ =0 = t0 = const
（4）边界条件 ）
①第一类边界条件 已知任何时刻物体边界的温度值 第一类边界条件—已知任何时刻物体边界的温度值 第一类边界条件
tw = const t s = tw = tw = f (τ )
dτ 时间内，微元体内部产生的能量为：
& E g = qv ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ
dτ 时间内，微元体贮存能的变化量为：
∂t dE = ρc p ⋅ dxdydzdτ ∂τ
根据能量守恒： 可得
Ein + E g − Eout = dE
∂t ∂q x ∂q y ∂q z = ρc p ∂x + ∂y + ∂z + qv & ∂τ
∂t −λ ∂x
= h t f − t (0 , τ )
λ固 > λ 液 > λ 气 λ 金属 > λ 非金属
一定温度范围内， ∝ f (t ) ，可写成：λ = λ0 ⋅ (1 + bt ) λ 即，导热系数是温度的线性函数。 由于热能的传输在固体中体现为自由电子的迁移和晶格振动 波，于是 λ固 = λe + λl
晶格分量 电子分量 对于金属： e λ
∂t qx = −λ ⋅ ∂x ∂t q y = −λ ⋅ 或 ∂y ∂t q z = − λ ⋅ ∂z
2-1-6 导热系数
q qx =− 定义： λ = − gradt ∂t ∂x
物理意义： 物体中单位时间、单位温降通过单位面积的导
W 热量；为表征物质导热能力的系数。 m ⋅ ℃
如果初始时刻物体各部分的温度相同，可以把初始条件改 写为： t τ =0 = t0 = const
（4）边界条件 ）
①第一类边界条件 已知任何时刻物体边界的温度值 第一类边界条件—已知任何时刻物体边界的温度值 第一类边界条件
tw = const t s = tw = tw = f (τ )
dτ 时间内，微元体内部产生的能量为：
& E g = qv ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ
dτ 时间内，微元体贮存能的变化量为：
∂t dE = ρc p ⋅ dxdydzdτ ∂τ
根据能量守恒： 可得
Ein + E g − Eout = dE
∂t ∂q x ∂q y ∂q z = ρc p ∂x + ∂y + ∂z + qv & ∂τ
∂t −λ ∂x
= h t f − t (0 , τ )
导热基本定律及稳态导热-讲义
值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分 一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散
a
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分 温度趋向于均匀一致的能力
4-5 一维稳态导热
一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平
板和圆柱内的导热。
t t t t c ( ) ( ) ( ) qv x x y y z z
多维导热问题：首先获得温度场的分布函数 ，然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流 密度矢量。
15
导热微分方程
定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中 的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。 导热微分方程的数学表达式 ： 导热微分方程的推导，假定导热物体是各向同性的。
理论基础：能量守恒定律与傅立叶定律
2
t t1 x t2 o
34
dt 直接积分，得： c1 t c1 x c2 dx
带入边界条件
t2 t1 c1 c2 t1
t2 t1 t x t1 带入Fourier 定律 dt t2 t1 dx
t ~ A x
数学表达式：
t A x
8
负号表示热量传递的方向指向温度降低的方向
傅里叶定律用热流密度表示：
t q x
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）
其中
q
——热流密度(单位时间内通过单位
面积的热流量) t ——物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
9
2.温度梯度（Temperature gradient）
16
▲ 导热微分方程式
通过空间任一点任一 方向的热流量也可分 解为 x 、 y 、 z 坐 标方向的分热流量。
a
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分 温度趋向于均匀一致的能力
4-5 一维稳态导热
一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平
板和圆柱内的导热。
t t t t c ( ) ( ) ( ) qv x x y y z z
多维导热问题：首先获得温度场的分布函数 ，然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流 密度矢量。
15
导热微分方程
定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中 的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。 导热微分方程的数学表达式 ： 导热微分方程的推导，假定导热物体是各向同性的。
理论基础：能量守恒定律与傅立叶定律
2
t t1 x t2 o
34
dt 直接积分，得： c1 t c1 x c2 dx
带入边界条件
t2 t1 c1 c2 t1
t2 t1 t x t1 带入Fourier 定律 dt t2 t1 dx
t ~ A x
数学表达式：
t A x
8
负号表示热量传递的方向指向温度降低的方向
傅里叶定律用热流密度表示：
t q x
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）
其中
q
——热流密度(单位时间内通过单位
面积的热流量) t ——物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
9
2.温度梯度（Temperature gradient）
16
▲ 导热微分方程式
通过空间任一点任一 方向的热流量也可分 解为 x 、 y 、 z 坐 标方向的分热流量。
热工基础-4-(2)-传热-导热基本定律和稳态导热
t1 − q (r1 + r2 + ... + ri )
多层、 多层、第三类边界条件
tf1
∂τ
3.微元体热力学能的增量 = ρ ⋅ c ∂ t d x d y d z
& 4.微元体内热源的生成热 4.微元体内热源的生成热 = Φ d x d y d z
导热微分方程式的导出: 导热微分方程式的导出:
& ∂t ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t Φ = a( 2 + 2 + 2 ) + ρc ∂τ ∂x ∂y ∂z
x t2 δ
带入边界条件
t −t c1 = 2 1 ⇒ δ c2 = t1
o
t 2 − t1 t = δ x + t1 ⇒ d t = t 2 − t1 dx δ
带入Fourier 带入Fourier 定律
t2 − t1 ∆t q = −λ δ = δ λ Φ = ∆t δ ( Aλ )
反映了导热过程中材料的导热能力 热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力 λ 与沿途物质储热能力 ρ c 之间的关系 值大， 值小， a 值大 ， 即 λ 值大或 ρ c 值小 ， 说明物体某部分 获得的热量能在整个物体中很快扩散 热扩散率表征物体被加热或冷却时， 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部 物体被加热或冷却时 分温度趋向于均匀一致的能力 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大， 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体 内部各处的温度差别越小。 内部各处的温度差别越小。
1. 几何条件
说明导热体的几何形状和大小 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等 平壁或圆筒壁；厚度、
2. 物理条件
说明导热体的物理特征 的数值， 如 ： 物性参数 λ 、 c 和 ρ 的数值 ， 是否随 温度变化；有无内热源、大小和分布； 温度变化；有无内热源、大小和分布；是否 各向同性
《冶金传输原理》5 稳态导热及导热微分方程
5、热流量、热通量
热流量 单位时间内通过某一给定面积F的热量叫热流量.
用Q来表示, 单位为W。
热通量 是指在单位时间内通过单位面积的热量,
亦称热流密度, 用q表示, 单位为: W/㎡
热流量与热通量的关系：Q=qF. 热流量是表现热量传输速率的一个物理量.
5. 稳态导热及导热微分方程
5.1.2 傅立叶定律
5. 稳态导热及导热微分方程
3、等温面（线）
– 在温度场中的某一瞬间,所有温度相同的各点组成的 一个空间曲面叫等温面.在该面上,各点都具有同一个 温度值.
– 任意一平面与等温面相交的交线叫等温线,或定义为: 在温度场中某一瞬间,所有温度相同的点组成的一条 空间曲线叫等温线.
– 由于空间任意一点在同一时刻不可能同时具有两个温 度值,故同一时刻两条数值不同的等温面(线),不可能 相交的。此即为等温面(线)的一个重要性质.根据此 性质可用一组等温面(线)来表示一个温度场.
单位时间内通过单位截面积的 热通量与温度梯度成正比。
q Q gradT T
F
n
gradT
i
T
j
T
k
T
x y z
负号表示 导热方 向与温度梯度方向相反 q i qx jqy kqz
qx
T x
qy
T y
Q qF T F
n
qz
T z
5. 稳态导热及导热微分方程
导热系数/热导率
q
温度场
导热速率
5. 稳态导热及导热微分方程
1、温度场
物体温度随空间坐标的分布和随时间的变化规律
在某一瞬间物体内部各点的
温度分布 T f x, y, z,
连续介质
传热学基础(第二版)第三章教学课件 稳态导热讲义
23/40
图中肋片高度为H，肋片厚
度为，肋片宽度为b，肋片
b
根部（肋基）的温度为t0，
Φc
环境温度为t，环境与肋片 之间的换热系数为h。肋片 δ 0 Φx Φ x+dx
x
的横截面积为Af及截面周边
dx
长度为U。导热系数和换热
系数均为常数。
H
24/40
由于肋片的作用是为了
增大传热，故肋片材料
b
的导热性能都比较好，
1、通过单层圆筒壁的导热
导热微分方程:
d r dt 0 r r1,t t1
dr dr
r r2 ,t t2
t1
r1 t2
积分上面的微分方程两次得r
到其通解为 : t c1nr c2
r2
得出圆筒壁的温度分布为:
n r
t t1
r1
t 2 t1 n r2
13/40
r1
圆筒壁内的温度分布是 一条对数曲线。
截面积Af＝4.65cm2，周长U＝12.2cm，导热系数
＝22W/ (m℃）。燃气有效温度Tge=1140K，叶根 温度Tr=755K，燃气对叶片的总换热系数h＝390W/ (m2℃）。假定叶片端面绝热，求叶片的温度分
布和通过叶根的热流。解：
m hU 68.2,
Af
由＝o
chmH x
chmH
6150.0295W / m
2 r1 50 15
17/40
再由圆筒壁的温度分布
r
n
t t1
r1
t2 t1 n r2
r1
代入已知数据有
t 40 nr n0.015
20
n 25
15
18/40
图中肋片高度为H，肋片厚
度为，肋片宽度为b，肋片
b
根部（肋基）的温度为t0，
Φc
环境温度为t，环境与肋片 之间的换热系数为h。肋片 δ 0 Φx Φ x+dx
x
的横截面积为Af及截面周边
dx
长度为U。导热系数和换热
系数均为常数。
H
24/40
由于肋片的作用是为了
增大传热，故肋片材料
b
的导热性能都比较好，
1、通过单层圆筒壁的导热
导热微分方程:
d r dt 0 r r1,t t1
dr dr
r r2 ,t t2
t1
r1 t2
积分上面的微分方程两次得r
到其通解为 : t c1nr c2
r2
得出圆筒壁的温度分布为:
n r
t t1
r1
t 2 t1 n r2
13/40
r1
圆筒壁内的温度分布是 一条对数曲线。
截面积Af＝4.65cm2，周长U＝12.2cm，导热系数
＝22W/ (m℃）。燃气有效温度Tge=1140K，叶根 温度Tr=755K，燃气对叶片的总换热系数h＝390W/ (m2℃）。假定叶片端面绝热，求叶片的温度分
布和通过叶根的热流。解：
m hU 68.2,
Af
由＝o
chmH x
chmH
6150.0295W / m
2 r1 50 15
17/40
再由圆筒壁的温度分布
r
n
t t1
r1
t2 t1 n r2
r1
代入已知数据有
t 40 nr n0.015
20
n 25
15
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传热学一维稳态导热
传热学一维稳态导热传热学是物理学和工程学中一个重要的分支，研究热量在物质中的传递过程。
在传热学中，导热是其中一个重要的热传递方式。
导热是指热量通过传导传递，不涉及物质的移动。
在一维稳态导热的条件下，我们将详细介绍导热的基本原理和计算方法。
一维稳态导热的基本理论一维稳态导热是指热量沿一个方向传导，而且在传导过程中温度分布保持不变。
在一维稳态导热中，我们可以使用傅立叶热传导定律来描述热量的传导过程。
傅立叶热传导定律表明，单位时间通过导热展面的热流量与温度变化率成正比。
数学上可以表示为：$$ q = -k\\frac{{dT}}{{dx}} $$其中，q表示单位时间通过导热展面的热流量，k表示导热系数，dT表示温度的变化量，dx表示距离的微小变化量。
导热系数k是物质的属性，用于衡量物质传热的能力。
单位为W/(m·K)。
根据傅立叶热传导定律，可以得到温度随距离变化的微分方程。
在一维稳态导热中，由于温度分布保持不变，微分方程可以简化为：$$ q = -k\\frac{{dT}}{{dx}} = const $$这意味着在一维稳态导热中，热流量在传导过程中保持不变。
这是因为传热过程中能量守恒的原理。
一维稳态导热的计算方法在一维稳态导热的条件下，我们可以通过解微分方程来计算温度分布和热流量。
以下是一维稳态导热计算的基本步骤：1.确定热传导的边界条件：在一维稳态导热中，通常需要给定两个边界条件，例如温度或热流量。
这些边界条件用于确定问题的求解范围和约束条件。
2.确定物质的导热性质：导热系数k是物质传热能力的关键参数，需要根据材料的物性参数进行选择。
通常可以通过查表或实验来获取。
3.设定坐标系和建立微分方程：在一维稳态导热中，需要选择一个坐标系，并根据傅立叶热传导定律建立微分方程。
根据边界条件确定微分方程的边界条件。
4.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到温度随距离变化的数学表达式。
这将给出热流量和温度分布的解析解。
传热学-第二章导热基本定律及稳态传热
1、导入微元体的净热量
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
传热学-2 导热基本定律和稳态导热
(3) a 表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度 趋向于均匀一致的能力，所以a反应导热过程动态特 性，是研究不稳态导热重要物理量。
2-2 导热微分方程和定解条件
2 圆柱坐标系中的导热微分方程：
c t
1 r
(r
r
t ) r
1 r2
(
t ) ( z
t ) & z
3 球坐标系中的导热微分方程：
2-2 导热微分方程和定解条件
1 笛卡尔坐标系中微元平行六面体
热力学第一定律（能量守恒定律）：
W 0
d V U W U z
单位时间内微元体中： [导入+导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
y
zdz
x
dz
dx
y
z
ydy xdx
dy x
2-2 导热微分方程和定解条件
tw1
Φ
tw2
R 1 ln d2 2l d1
2-3 一维稳态导热
第一次积分
r
dt dr
c1
t c1㏑r c2
tw1 c1㏑r1 c2;
tw2 c1㏑r2 c2
第二次积分 应用边界条件
c1
tw2 tw1
㏑r2 / r1
;
c2
tw1
tw2
tw1
㏑r1
㏑r2 / r1
获得两 个系数
t
t1
注意：①上式对稳态和非稳n态均使用； ②导热现象依 gradt 的存在而存在， 若 gradt＝0，则 q＝0； ③“－”不能少，“－”表示 q与 gradt 方向相
反， 若无，则违反热二定律。
2-1 导热基本定律和热导率
2-2 导热微分方程和定解条件
2 圆柱坐标系中的导热微分方程：
c t
1 r
(r
r
t ) r
1 r2
(
t ) ( z
t ) & z
3 球坐标系中的导热微分方程：
2-2 导热微分方程和定解条件
1 笛卡尔坐标系中微元平行六面体
热力学第一定律（能量守恒定律）：
W 0
d V U W U z
单位时间内微元体中： [导入+导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
y
zdz
x
dz
dx
y
z
ydy xdx
dy x
2-2 导热微分方程和定解条件
tw1
Φ
tw2
R 1 ln d2 2l d1
2-3 一维稳态导热
第一次积分
r
dt dr
c1
t c1㏑r c2
tw1 c1㏑r1 c2;
tw2 c1㏑r2 c2
第二次积分 应用边界条件
c1
tw2 tw1
㏑r2 / r1
;
c2
tw1
tw2
tw1
㏑r1
㏑r2 / r1
获得两 个系数
t
t1
注意：①上式对稳态和非稳n态均使用； ②导热现象依 gradt 的存在而存在， 若 gradt＝0，则 q＝0； ③“－”不能少，“－”表示 q与 gradt 方向相
反， 若无，则违反热二定律。
2-1 导热基本定律和热导率
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t f ( x, y, z ) 中点( x, y, z ) 处的温度梯度：
t t t gradt i j k x y z
i j k －hamilton算子，经此演算，标量场 x y z 变成了矢量场。
t t t i j k x y z
导入微元体的总热流量+微元体内热源生成的热量
=微元体焓（内能）的增量
dQ1 dQ2 dI
Q z dz
Q y dy
dQ1 —净导入热量 dQ2 —生成的热量
dI —内能的增加
z
Qx
dy
dx
Q xdx
dz
y
Qy
Qz
x
热流密度为矢量，净导入微元体的热量写成三个方向的 净热量之和，即：
dQ1 dQx dQy dQz
d 时间内微元体的发热量为：
dQ2 qv dVd
d 时间内微元体的焓值变化为： (c p tdV ) (c p t ) dI d dVd
将上述式代入能量守恒定律得：
t t t ( ) ( ) ( ) qv (c p t ) x x y y z z
t 0 非稳态温度场： 三维非稳态温度场： t f ( x, y, z, ) 三维稳态温度场： t f ( x, y, z )
二维稳态温度场： t f ( x, y) 一维稳态温度场： t f (x)
t 0 稳态温度场：
（2） 等温面和等温线
将温度场中某一时刻温度 相同 的点连接起来所形成的面 或线 称为等温面或等温线。 等温面和等温线的特点： 1. 不能相交； 2. 对于连续介质，只能在物体边界 浇注15分钟后砂型中的温度场 中断或完全封闭； 3. 沿等温面无热量传递； 4. 等温线的疏密可直观反映出不同 区域热流密度的相对大小。
工程中很多情况下可以忽略平壁面内的传热，仅考虑厚向传热
根据上面的条件可得：
t t t ( ) ( ) ( ) qv (c p t ) x x y y z z
——三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微分方 程的一般形式。
2 几种特殊情况 ①若物性参数λ， c，ρ均为常数 p
2t 2t 2t t a 2 2 2 y z x qv t 2 a t 简写为： cp
qv cp
热流量是指单位时间内通过面积F所传递的热量，用Q表示， 单位为W。 Q q dF
F
热流密度和热流量都是矢量，它们和温度梯度位于等温面的 同一法线上，且沿温度降低方向为正 。
总热量是指在时间 内通过面积F所传递的热量，用Qτ表 示，单位为J或kJ。
Q Qd
0
0 F
Q y dy
z
净导入=导入-导出
Qx
dy
dx
Q xdx
dz
y
Qy
Qz
x
同理可得,y，z方向净导入微元体的热量为：
t dQy ( )dVd y y
t dQz ( )dVd z z
x，y，z三个方向净导入的热量为：
t t t dQ1 [ ( ) ( ) ( )]dVd x x y y z z
第二章 导热基本方程和稳态导热理论
主要研究内容： 导热基本定律及导热系数 导热微分方程式及定解条件 平壁、圆筒壁、球壁的稳态导热 通过肋片的导热及散热量的计算
2-1 导热基本定律及导热系数
1 几个基本概念 （1）温度场：导热体中某时刻空间所有各点的温度分布。 时间和空间的函数： t f ( x, y, z, )
假设: (1)所研究的物体是各项同性的(isotropic)连续介质； (2)热导率λ、比热容ср和密度ρ皆为已知；
3 (3)物体内具有均匀分布内热源，热源强度 qv W / m ；
qv —单位体积的导热体在单位时间内放出的热量。
在导热体内任意取出一微元体，根据能量守恒定律，在 d 时间内：
当l 与
g 方向相同时： cos(g , l ) 1
t gradt 达到最大。 l
梯度方向的方向导数最大，其值等于梯度的模。 即，梯度方向是温度变化最大的方向。
温度梯度垂直于等温面吗？ 设等温面方程：
t f ( x, y, z) c
在点 ( x, y, z ) 处,等温面的法线向量 n
2 2 2
球坐标下的拉普拉斯方程：
1 2 1 t 1 2t (rt ) 2 (sin ) 2 0 2 2 r r r sin r sin
常物性、无内热源、一维稳态导热微分方程：
d 2t 0 2 dx
3 定解条件（单值性条件）
导热微分方程+定解条件+求解方法=确定的温度场
保温材料：国家标准规定，温度低于350℃时热导率小 于0.12w/(m.k)的材料（绝热材料）
金属的导热系数
导热系数对温度的依变关系
(4)变导热系数
当导热系数随温度变化较大时，必须考虑温度的影响， 一般可表示为：
0 (1 bt ) 0 : 0℃的导热系数
b：温度系数 平均导热系数
③ 第三类边界条件：当物体壁面与流体相接触进行对流换热时， 已知物体边界上的对流换热系数和周围流体的温度 。
t f , 已知; t w未知
牛顿冷却定律 qw (t w t f ) 傅里叶定律
x
tf
①
n
② x
t qw n w
tw
t )w ①坐标轴与n同向： n t ②坐标轴与n反向： tf tw ( ) w n
t ) w const c.稳态时: n 第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面方向温度梯度值。 qw (
t qw ( ) w const n
特例：绝热边界面 q t 0 w n w
t 0 n w
或
T2
T1
(t ) dt
T2 T1
T2
T1
0 (1 bt ) dt
T2 T1
1 (1 2 ) 2
1 0 (1 bT ), T (T1 T2 ) 2
2-2 导热微分方程及定解条件
目的：确定导热体内部温度的分布t f ( x, y, z, ), 从而进一步 用傅里叶定律计算换热量、计算热应力。 1 导热微分方程式的推导 理论基础：Fourier定律+能量守恒定律 导热微分方程式
常用物质的
值
399 W /(m.K) 36.7 W /(m.K) 0.599 W /(m.K) 0.0259 W /(m.K)
20℃时
铜 钢（含碳量） 水 空气
（3）不同物质的导热系数不同的原因： 构造差别，导热机理不同 a.气体的导热系数 机理：由分子的热运动和相互碰撞产生的能量传递。
气体导热机理示意图
3 导热系数
导热系数的定义式可由傅立叶定律的表达式得出
q t n n
(1)物理意义： 表示了物质导热能力的大小，是在单位温度梯度作用下 的热流密度。工程计算采用的各种物质的导热系数值都是由 专门实验测定出来的。
（2）影响因素：
物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等
金属 非金属；固相 液相 气相.
a 为热扩散系数(导温系数) cp
②无内热源，常物性：
㎡/s
t a 2t
③稳态，常物性：
圆柱坐标下的拉普拉斯方程：
t 1 t 1 t t 2 2 0 2 2 r r r r z
根据傅立叶定律，在 d 时间内X方向导入微元体的净热量为：
Qx Qx (qx dydzd ) dQx Qx (Qx dx) dx dx x x x t t ( dydzd )dx ( )dVd x x x x
Q z dz
①第一类边界条件
非稳态导热： 0时，tw f1 ( ) 最简单的情况： tw const 稳态：
tw const
②第二类边界条件：给定物体表面上热流密度的分布随时间的 变化 。 t 0时，qw ( ) w f 2 ( ) a.非稳态导热： n b.最简单的情况：
1 lcv 3
特点： 1.气体的导热系数几乎不 随压力的改变而变化。 2.随温度的升高而增大。
3.随分子质量的减小而增大。
气体 0.006 0.6W /( mk )
几种气体导热系数和温度的关系
b.液体的导热系数 机理：主要依靠晶格的振动。 特点： • 随压力的升高而增大
qdFd
2 导热基本定律－－Fourier’s Law
导热的热流密度与温度梯度成正比，即：
t q gradt n n
—导热系数，物性值。单位为W/(m· K)。
负号是因为热流密度与温度梯度的方向相反。 热流密度为矢量，其在x、y、z轴上的投影用 傅立叶定律表示为： t t t q y q x q z y z x dt q 对于一维导热问题： dx
（3） 温度梯度
沿等温面法线方向上的温度 增量与法向距离比值的极限。
△m △n
Δt t gradt lim n Δn 0 Δn n
温度梯度和热流密度
•温度梯度是向量，垂直于等温面， 正向朝着温度增加的方向； •温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。
t t n m
温度梯度的解析定义： 温度场
—nabla
grad—gradient
为什么这样定义，它的意义是什么?
温度场中
l (cos ,cos ,cos ) 方向的方向导数：