分布参数系统能控能观性问题的统一处理

论文中英文摘要

作者姓名：付晓玉

论文题目：分布参数系统能控能观性问题的统一处理

作者简介：付晓玉，女，1979年9月出生，2002年9月至2008年7月师从于四川大学张旭教授，先后获得硕士、博士学位。

中文摘要

数学控制论是由L. S. Pontryagin、R. Bellman和R. E. Kalman在上世纪50年代末创立的，可分为有限维系统的控制理论和无限维系统(亦称分布参数系统) 的控制理论两大部分；或者分为确定性系统的控制理论和随机系统的控制理论这两部分。在实际问题中，有限维系统往往只是无限维系统一定程度的近似。另一方面，绝大多数随机控制系统也都是无限维的。因此，可以说分布参数系统控制理论是整个数学控制论的关键部分。在2006年和2010年的ICM（国际数学家大会）上有1个大会报告和5个特邀报告是关于分布参数控制理论的工作。

分布参数控制系统的能控能观性理论起源于上世纪六十年代，它是分布参数控制理论的基础。该领域经典文献为D. L. Russell (SIAM Rev.，20 (1978), 639–739) 和J. L. Lions (SIAM Rev., 30 (1988), 1–68)等人的工作。由于刺激了偏微分方程相关问题的深入研究，J. L. Lions 的工作引发了关于分布参数控制系统能控能观性理论的大量工作。该理论40余年的历史，尤其是近20年的飞速发展，积累了很多方法和结果。但这些方法和结果“各自为政”，缺乏有机的联系和统一的处理。本文致力于用统一的观点和方法来研究确定性分布参数系统的能控能观性问题。

熟知，分布参数系统的能控能观性强烈地依赖于系统本身的特性，如时间可逆与否，典型的例子分别是波动方程与热传导方程。现在已经清楚，这两类方程的能控能观性有着本质的差别。自然地，人们希望知道这两类不同系统的能控能观性理论是否还有某种联系。特别地，如能建立抛物和双曲方程在某种意义下统一的能控能观性理论，则是一个很有意义的工作。该问题最早由分布参数系统理论的创始人之一D. L. Russell在“Studies in Appl. Math., 52 (1973), 189–212”中提出并给出初步结果。关于抛物和双曲方程能控能观性理论的有机联系，可见A. Lopez-X. Zhang-E. Zuazua (2000)，X. Zhang (2001) 以及W. Li-X. Zhang (2005)等人的工作，但关于这两类方程的能控能观性问题的统一处理则没有进一步的工作。

在这篇学位论文中，我们发现；从同一类“类抛物”微分算子(即没有椭圆性条件)的逐点

估计出发，可推导出关于抛物方程、双曲方程、Schrödinger 方程和板方程的所有已知的基于整体Carleman 估计而得到的能控能观性结果。同时, 作为它进一步的应用, 本文给出了一个新的关于复Ginzburg-Landau 方程的能控能观性结果。 这样，在一定程度上, 本文给出一个适用于分布参数系统能控能观性问题的一个较为统一的处理方法。

全文共分四章，其中第一章给出了这种统一处理的方法，并且也是其它各章的基础。 在本文的第一章, 我们建立了形如(),1()(,)m jk t k j j k i b t x αβ=+∂+

∂∂∑的二阶形式偏微分算子

的一个基本的带权恒等式。通过选取适当的函数α, β和()jk m m b ⨯，我们可以利用这个统一的恒等式推导出关于抛物算子、双曲算子以及 Schrödinger 算子等的逐点估计。以此为基础，进一步可以分别得到相应控制系统的能控能观性结果。该工作发表于“C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 342 (2006), 579–584”。当知名数学家E. Zuazua （ICM 特邀报告人）得知这一结果后，在其关于领域进展的长篇综述报告“Controllability and Observability of Partial Differential Equations ：Some Results and Open Problems , in Handbook of Differential Equations: Evolutionary Differential Equations, vol.3, Elsevier, 2006, 527–621”中专门用一段正面评论评述之，尤其是肯定了上述统一性方法。其原话是“Recently a unified approach for Carleman inequalities for parabolic and hyperbolic equations has been presented in [72].….. ”，该工作还被T. Kim 等在“Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser., 24 (2008)，265–280”中公开评价为“...valuable works in this field ”，被知名数学家M. Yamamoto 关于领域进展的长篇综述报告“Carleman estimates for parabolic equations and applications ，Inverse problem, 25(2009), 123013，75 pages ”引用。

作为带权恒等式的应用之一，在本文第二章，我们主要讨论了当非线性函数在无穷远处超线性增长时一类高维变系数半线性双曲型方程的整体精确能控性。关于非线性双曲型方程的整体精确能控性前人仅有为数不多的工作，如D. L. Lukes(1972), O. Yu. Imanuvilov(1989), I. Lasiecka-R. Triggiani(1991), L. Li-X. Zhang(2000), X. Zhang(2000), E. Zuazua(1991,1993)等。 主要困难是如何建立线性化系统的对偶系统的显式能观性估计，尤其是当非线性函数在无穷远处超线性增长时。值得指出的是，当非线性函数不是整体Lipschitz 连续时，非线性双曲方程的整体精确能控性问题相当困难。在我们的工作之前，关于这个问题的进展仅有两篇文章讨论，分别是“E. Zuazua, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire, 10(1993), 109–129”（只考虑了一维的情形）和“L. Li -X. Zhang, J. Math. Anal. Appl., 250(2000), 589–597”（只考虑了高维时主部为常系数情形）。在本章，采用不同于L. Li-X. Zhang （2000）中的方法，我们得到了更为一般的高维变系数半线性双曲型方程的整体内部精确能控性结果。该工作发表于“SIAM J. Control Optim., 46 (2007), 1578–1614”，并被领域的知名数学家I. Lasiecka 等的文章引用。基