高等数学(侯风波)第1章课件PPT

称 函 f的 域 x 称 为 数 值 ， 为 f的 变 ， 称 因 量 自 量 y 为 变 ， 如 图 示 右 所 ．
f
二、Байду номын сангаас函数的几种特性
有界性 单调性
函 设 数f (x)在 区 I 上 定 ， 存 正 M ， 某 间 有 义 若 在 数 使 f (x) ≤ M， 称f (x)在 I 上 界 得 则 有 .
解 王 生 家 距 关 时 的 数 形 左 图 先 离 的 离 于 间 函 图 见 下 ．
离家距离
距 离家距离
6 3
9
O
时 间
O
1 2 3 4 5
时间
果 上 左 标 具 的 值 上 右 ，可 解 表 如 给 页 图 明 体 数 如 页 图则 由 析 达 表 为 式 示
3x, , f (x) = 3 3x−6,
例7 王 生 郊 去 景 他 速 进 离 不 ， 先 到 外 观 ， 匀 前 ， 家 久 他 现 骑 人 自 车 了 他 助 个 把 行 修 发 一 车 的 行 坏 ， 帮 这 人 自 车 好 随 又 路 ． 把 先 离 的 离 于 间 函 ， 后 上 了 请 王 生 家 距 关 时 的 数 用 形 述 来 图 描 出 ．
习 上 是 x表 自 量 而 y 表 函 ， 此 惯 总 用 示 变 ， 用 示 数 因 ， 往 把 x=ϕ(y )改 成 y = ϕ( x )， 为 =f (x) 的 形 往 写 称y 矫 反 − 1 函 ， 作 = f (x).称 数 = f (x)的 函 x =ϕ(y)为 数 记 y 函 y 反 数 直 反 数 接 函 ．
例8 作 下 分 函 的 形 出 面 段 数 图 ：
f(x)
2 1
0, 2 f (x) = x , 3−x,
−1< x ≤0, 0< x ≤1 , 1< ≤ 2. <x
-1
O
1
2
x
解 该 段 数 图 如 图 示 分 函 的 形 上 所 ．
D M 别 两 数 ， 在 应 f 义2 ,若 定 2 设 与 分 是 个 集 存 对 律 ,若 义 D 的 一 数 对 中 每 个 x， 过 应 律f ， 合 中 有 通 对 规 集 M 都 惟 M 一 定 数 y 与 对 ,则 y 为 D 到 的 数 也 确 的 之 应 称 从 函 （ 称 映 ） 记 f : D→M ,其 D 称 函 f 的 义 为 射 , 作 中 为 数 定 域 D中 每 个 x 根 对 规 f 对 于 个 y ， , 的 一 据 应 律 应 一 记 作 y = f (x), 称 函 f 在 x 的 数 ， 体 数 的 为 数 函 值 全 函 值 集 合 M w={y y = f (x), x∈D ⊂M } D
2.函数的两个要素 函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. 函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. （１）对应规律
例1 f (x)=2 x +3 x−1 就 一 特 的 数 是 个 定 函 ， f确 的 应 律 ： 定 对 规 为 2 f（ ） =2( ) +3( )－ . 1
2
1 2 1 y 例2 设 = f (x)= sin ， f ( )． 求 x π x
2x−1 arcsin 即 的 义 为−3 . 定 域 [ ,4] 7 于 ， 求 数 定 域 是 所 函 的 义 是 ［ 3， 2］ [3， ］ . － － ∪ 4
5 例 下 函 是 相 ,为 么 列 数 否 同 什 ? y ln (1) y = lnx2 与 = 2 x ; y (2) ω = u 与 = x ．
三、反函数
定 3 设 定 是 x的 数 =f (x)， 果 y 当 自 义3 义 给 y 函 y 如 把 作 变 量 x当 函 ， 由 系 y =f (x)所 定 函 x =ϕ(y) ， 作 数 则 关 式 确 的 数 称 函 y = f (x)的 函 ． y = f (x)称 直 函 ． 为 数 反 数 而 为 接 数
⑴ x=ϕ(y )与 y = ϕ( x)是 为 一 数 否 同 函 ？
y y x ⑵ y = f (x)、 = ϕ( )、 = f
-1
( x) 在 一 标 中 同 坐 系
的 何 现 什 ？ 几 表 是 么
第二节 初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数
第二节 初等函数
一、基本初等函数
一、 函数的概念 二、 函数的几种特性 三、 反函数
第一节 函数及其性质
一、 函数的概念
1．函数的定义
y， 变 义1 定 1 设 两 变 x和 y， 当 量 x在 数 义 有 个 量 若 实 的 一 围 D 内 任 取 一 数 时 变 y按 一 某 范 ， 意 定 个 值 ， 量 按 照 律f 有 一 定 值 之 应 则 定 规 ， 惟 确 的 与 对 ， 称 y是 x 的 的 律 是 D 其 变 作y= 函 ,记 = f (x)， x∈ ， 中 量 x称 自 量 变 数 作 为 变 ， 量 y称 函 （ 因 量 ． 变 的 值 围 D 称 称 为 数 或 变 ）自 量 取 范 为 函 的 义 ． 数 定 域
（２）定义域
2x−1 x −x−6+arcsin 例4 定 域 义 ． 7 这是两个函数之和的定义域， 解 这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函 数的定义域, 然后求其公共部分即可． 数的定义域, 然后求其公共部分即可．
求 数 = 函 y
2
使 x2 −x−6有 义 必 满 x2－ x－ ≥ ， 定 , 须 足 6 0 即
函 某 间 有 义 若 在 为 的 周期性 设 数f (x)在 区 I 上 定 ， 存 不 零 数 T ,使 对 任 x∈I ,都 f (x +T) = f (x) ， 称 得 于 意 有 则 f (x)为 期 数 通 所 的 期 数 周 是 它 周 函 ， 常 说 周 函 的 期 指 的 小 周 ． 最 正 期
28
28
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个 格 实 达 温 是 期 函 ， 里 存 这 表 确 表 了 度 日 的 数 这 不 在 何 算 度 公 （ 则 不 要 象 了， 任 计 温 的 式 否 就 需 气 局 ）但 是 一 都 产 出 个 一 最 气 ， 每 日 每 天 会 生 一 惟 的 高 温 对 个 期 t， 有 一 与 t 相 的 一 高 温N ． 都 惟 个 应 惟 最 气
函数名称 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数
y=C
函数表达式
(C 为 数 常 )
y = xµ
(µ 为 数 实 )
(a＞ a≠ a为 数 0, 1, 常 )
(a＞ a≠ ,a为 数 0, 1 常 )
y =tan x , y =cot x
y=ax
y=loga x
y =sin x , y =cos x , y=secx, y =csc x
对 确 的 若 于 定 x0 ∈D， 过 应 律 ， 数 有 一 通 对 规 f 函y 惟 确 的 y0 相 应 则 y0为 y = f (x)在 x 处 函 定 值 对 ， 称 的 数 0 值 记 y0 = y x=x0 = f (x0). 函 值 集 ， 为 数 值 ， 作 数 的 合 称 函 的 域 记 ， 作 M.
y ln 解 (1) y = lnx2 与 = 2 x 不 相 的 数因 定 是 同 函 ,因 为 义 不 . 域 同 y (2) ω = u 与 = x 是 同 函 ,因 对 规 相 的 数因 为 应 律 定 域 相 . 与 义 均 同
函数的表示法：表格法、图像法及公式法． 3. 函数的表示法：表格法、图像法及公式法． 函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、 函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、图 像法和公式法． 像法和公式法．
0≤ x ≤1 , 1< x ≤3 , 3< x ≤5.
函 f 为D ［ 5 ， 它 定 域 该 数 ( x)的 义 为 = 0，］但 在 义 内 定 域 不 的 间 是 不 解 式 表 的 这 的 数 为 同 区 上 用 同 析 来 示 ， 样 函 称 分 函 ． 段 数 定 域 的 个 数不 理 为 段 数 分 函 是 义 上 一 函 , 要 解 多 个 数 分 函 需 分 求 ， 段 图 函 ， 段 数 要 段 值 分 作 ．
(x−3 x+2) ≥0 ， )( 解 得 x ≥ 或x ≤ 2 ， 3 － 即 x2 −x−6的 义 为 定 域 (−∞ −2]∪[3 +∞ ; , , )
2x−1 2x−1 而 arcsin 使 有 义必 满 ∣ 定 , 须 足 ∣ 1， ≤ 即 7 7
7 2 1 7 － ≤ x－ ≤ ，
得 解 3 x －≤ ≤ ， 4
函 设 数f (x)在 区 I 上 定 ， 于 间 I 内 某 间 有 义对 区 任 意 点 1， 2， x < x2 时 有f (x ) < f (x2)， 两 x x 当 1 ， 则 1 I 单 增 ， 间 称f (x)在 上 调 加 区 I 称 单 增 间 为 调 区 ； 若 f (x ) > f (x2)则 f (x)在 I 上 调 少 区 称 单 减 ， 间 1 I称 单 减 间 为 调 区 .
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第一章
函
数
第一节 函数及其性质 第二节 初等函数 第三节 数学模型方法简述
第一节 函数及其性质
例 1 （ ） 数 =sin2 x是 y =u2 , u =sin x 复 而 1 函 y 由 合 成 复 函 ， 定 域 (−∞+∞ ， 也 u =sin x 的 的 合 数 其 义 为 , ) 它 是 定 义 . 域 2 （ ） 数 = 1−x ,是 y = u ， u =1− x2 复 2 函 y 由 合 2 而 的 其 义 为 -1， ］ 它 u =1− x 的 义 的 成 ， 定 域 ［ 1， 是 定 域 一 部 . 分 （ ） =arcsinu,u=2+x2 是 能 合 一 函 的 3 y 不 复 成 个 数 ．
解
y
x=
2 π
2 π π π = f ( ) = sin( ) = . 2 2 2 π
f 例3 设 (x+1)= x2-3 x， f (x). 求
解
, x 令 +1=t ， x =t −1 则
)2 ) 2 以 所 f (t) = (t −1 −3(t −1 =t −5t +4,
以 所
f (x)=x2 −5x +4.
思考题
1.确定一个函数需要哪几个因素? 1.确定一个函数需要哪几个因素? 确定一个函数需要哪几个因素 2.思考函数的几种特性的几何意义? 2.思考函数的几种特性的几何意义? 思考函数的几种特性的几何意义
接 数 3.直 函 y =f (x)， 直 反 数 x =ϕ(y)， 矫 其 接 函 为 其
− 1 形 函 为y = f (x) =ϕ(x)． 反 数
例6 中 电 台 天 播 天 预 ， 统 ， 央 视 每 都 放 气 报 经 计 某 1999年 19日 29日 地1999 年9 月19 日 29 日 天 最 气 如 表 示 — 每 的 高 温 下 所 ．
日期(9月) 日期 月 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
最高气温/℃ 最高气温 ℃
反三角函数 y = arcsin x , y =arccotx
y = arccosx ,
y =arctanx
这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、 这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、 图形必须熟悉． 图形必须熟悉．
二、复合函数
设y = f (u),其 u =ϕ(x) ,且ϕ(x) 的 全 或 分 中 值 部 部 落 在f (u)的 义 内 则 y = f [ϕ(x)]为 x 的 合 数 而u 定 域 ，称 复 函 ， 称 中 变 ． 为 间 量
函 某 间 有 义 I 关 原 对 奇偶性 设 数f (x)在 区 I 上 定 ， 为 于 点 称 区 ， 对 任 x∈I ， 有 f (−x)=f (x) ， 的 间 若 于 意 都 则 f (x)为 函 ； f (- x )= -f (x) ， 称 f (x) 称 偶 数若 则 为 函 . 奇 数