谓词公式的解释
谓词公式与翻译(精)
（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，b）
= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）=
1。
求下列公式在解释I下的真值
2）x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））；
在解释I下
5
2.3 谓词公式与翻译
由例可知，对于命题翻译成谓词公式时，机动性很大，由于对个 体描述性质的刻划深度不同，就可翻译成不同形式的谓词公式。
例如：这只大红书柜摆满了那些古书
解法1：
解法2：
设：F(x,y): x摆满了y
设：F(x,y): x摆满了y
R(x): x是大红书柜
x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））
=（ P（f（a））∧Q（a，f（a）））∨（ P（f（b））∧Q（b，f
（b）））
=（ P（b）∧Q（a，b））∨（ P（a）∧Q（b，a））
=（ 1∧1）∨（ 0∧1）
= 1∨0
= 1 2019/6/3
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【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
人总是要犯错误的。
解：设F(x)：x犯错误，M(x)：x是人。则上句符
号化为：
(a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例2】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。
解：设P(x)：x聪明，M(x)：x是人。则上句符号 化为：
2019/6/3 x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
2019/6/3
7
2.3 谓词公式与翻译
离散数学23谓词公式与翻译
元，则(x)A，(x)A是合式公式。 ⑸ 只有有限次地应用⑴、⑵、⑶、⑷所得的公式 是合式公式。
2
二、命题翻译
谓词公式也有以下约定： ⑴ 最外层的括号可以省略。 ⑵ 如果按¬、∧、∨、→、↔在运算中的优先级 别，省略括号后不改变原来的运算次序，可以 省略括号，但量词后面括号不能省略。
A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(a,b)
7
二、命题翻译
由例题4可知，由命题翻译成谓词演算公式， 机动性很大，对个体刻划尝试的不同就可 翻译成不同的谓词公式。 一般的，对日常语言，我们可以有一个大 体的准则，根据这些准则可以进行命题的 翻译。
名词：专用名词（如南京、刘翔等）是客体
一谓词公式简单命题函数与逻辑联结词可以组合成一些命题表达式与命题公式概念类似不是所有谓词表达式都可以成为谓词公式并进行谓词演算下面介绍谓词的合式公式的概念
一、谓词公式
简单命题函数与逻辑联结词可以组合成一些命题 表达式 与命题公式概念类似，不是所有谓词表达式都可 以成为谓词公式并进行谓词演算，下面介绍谓词 的合式公式的概念。
以上只是一般准则，具体应用时会有例外
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本课小结
谓词公式 命题翻译
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课后作业
补充:用谓词写出下列各断言 (1)长江比黄河长,金陵饭店比北京饭店高. (2)南京位于武汉和上海之间. (3)不是所有男人都比女人高. (4)有而且仅有一个素数是偶数. (5)凡是资本家都会剥削人,但剥削人者未必都
该命题符号化为： ¬(x) (y) (F(x)∧G(y)→H(x,y))
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
要想出国留学谓词公式
要想出国留学谓词公式
出国留学谓词公式是指在逻辑学中用于描述命题结构的一种符
号表示方法。
在命题逻辑中，谓词是指用来表达命题的符号，而公
式则是由谓词和变元组成的符号串。
在出国留学这个话题下，我们
可以用以下谓词公式来描述相关命题结构：
1. 出国留学(x)，表示一个人 x 出国留学的命题，其中 x 是
一个变元，可以代表不同的人或群体。
2. 成功(y)，表示一个人 y 在出国留学后取得成功的命题，其
中 y 是一个变元，可以代表不同的人或群体。
3. 获得签证(z)，表示一个人 z 获得出国留学所需签证的命题，其中 z 是一个变元，可以代表不同的人或群体。
4. 花费资金(w)，表示一个人 w 在出国留学过程中需要花费的
资金的命题，其中 w 是一个变元，可以代表不同的人或群体。
通过上述谓词公式，我们可以描述出国留学的相关命题，例如：
对于特定的个体 A，出国留学(A) ∧ 获得签证(A) ∧ 花费资
金(A)。
对于特定的个体 B，出国留学(B) ∧ 成功(B) ∧ 花费资金(B)。
这些谓词公式可以帮助我们在逻辑上清晰地描述出国留学的相
关命题结构，从而更好地理解和分析这一话题。
当然，在实际应用中，还需要根据具体情况进行进一步的细化和扩展。
谓词公式范式
条件式的代换实例 德摩律
x(P(x)Q(x))
量词的分配律
谓词公式范式
例 xP(x,y) yQ(x,y)转换为前束范式 xP(x,y) yQ(x,y) rP(r,y) sQ(x,s) 约束变元改名 rP(r,y) sQ(x,s) 转换条件式 rP(r,y) sQ(x,s) 德摩律 rs(P(r,y)Q(x,s)) 量词辖域的扩张
离散数学
谓词公式范式
例 公式xP(x)xQ(x)转换为前束范式
xP(x)xQ(x) xP(x)yQ(y) xP(x) yQ(y) xP(x)yQ(y) xy(P(x)yQ(y)) 或，显然不唯一
后方约束变元改名 条件式的代换实例 否定到底 量词辖域的扩张
xP(x)xQ(x)
xP(x)xQ(x) xP(x)xQ(x)
离散均在全式的开 头，它们的作用域延伸到整个公式的末尾，则该 公式称为前束范式，形如Q1x1Q2x2…QkxkB，其 中Qi为或，B中不含有数量词。
如 xy(F(x)G(y)H(x,y)) 是前束范式
x(F(x)y(G(y)H(x,y))不是！因B有量词
例x(yA(x,y)xy(B(x,y)y(A(y,x)B(x,y))))为前范式 x(yA(x,y)xy(B(x,y)y(A(y,x)B(x,y))))
x(yA(x,y)xy(B(x,y)r(A(r,x)B(x,r)))) 改名 x(yA(x,y)xs(B(x,s)r(A(r,x)B(x,r)))) 改名 x(yA(x,y)ts(B(t,s)r(A(r,t)B(t,r)))) 改名 书上错了 x(yA(x,y)ts(B(t,s)r(A(r,t)B(t,r)))) 条件式 x (yA(x,y)ts(B(t,s)r(A(r,t)B(t,r)))) 德摩律 x (yA(x,y)ts(B(t,s)r(A(r,t)B(t,r)))) 同上
《应用离散数学》谓词公式及其解释
§2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀（2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀ （3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →；x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是y ∃的约束变元。
（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。
2. 设个体域}21{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。
（1）))()((x Q x P x →∀ （2）))()((x Q x P x ∧∃解（1）解释1I ：个体域}21{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
（2）解释2I ：个体域}21{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。
（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀（2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。
第二讲谓词公式及其性质
4、自由变元的代入
(1)对于谓词公式中的自由变元可以代入，代入时需对公 式中出现该自由变元的每一处进行； (2)用以代入的变元与原公式中所有变元名称不能相同。 (x)(F(x,y) P(y))∧(x)(Q(x,y) R(z) ) ∧(y)B(y) (x)(F(x,w) P(w))∧(x)(Q(x,w) R(z) ) ∧(y)B(y)
2. 相应概念
量词的指导变元 (x)P(x) (x)P(x) 量词作用域 (x)( …… (y)(……) )
量词的作用域是邻 接其后的公式，除 非作用域是个原子 公式，否则应在公 式的两侧插入圆括 号。
约束变元 (x)( …P(x)…） (x)(…Q(x)…）
自由变元 (y)( …P(x)…Q(x,y)…） (y)(…Q(x)…R(x,y)…）
说明下列各式的作用域和变元约束情况
1、(x)(A(x) ( y)(B(y) ∧ F(x,y))) 2、(x)(P(x) ( y)(Q(y) ∧ F(x,y,z))) 3、(x) (y)(P(x,y) ∧Q(y,z) 呈自由出现，又呈约束出现 设A(x)：x是大学生 论域：我们班全体学生 (x)A(x) (y)A(y) (z)A(z)
5、量化断言与命题的关系
假设个体域D={a1, a2，…，an} (x) (P(x)) P(a1) ∧ P(a2) ∧ … ∧ P(an) ( x)(P(x)) P(a1) ∨ P(a2) ∨ … ∨ P(an)
如何由命题函数变成命题？
具体客体名称取代客体变元获得命题 用量化客体变元的方法获得命题
3、约束变元的换名
换名的目的： 避免由于变元的约束与自由同时出现而引起的混乱。
代数结构与数理逻辑-谓词公式语义解释
指派，I→U的同态映射称为项解释。
例 ： P(Y) 中 的 个 体 常 元 集 C=， 函 数 词 集 合 为 {f11,f21,f22}，谓词集合R={R21}，P(Y)的解释域定义为： U={0,1,2,…,n,…}；2(f11)=f'11， 使 得 f'11(n)=n+1； 2(f21)=f'21； 使 得 f'21(i,j)=i+j， 这 里 i,jU；2(f22)=f'22， 使得f'22(i,j)=i×j，i,jU; 3(R21)=R'21，使得R'21表示 “相等”关系。
对 于 P(Y) 中 只 含 有 闭 项 的 原 子 公 式 p=R21(c1,c2)， 在 此 解 释 域 下 ， p 解 释 为 “2与3是小于关系”，是真命题。
若把解释域中关系的解释R'21修改为“相 等”关系，则p解释为“2与3是相等关 系”，则是假命题。
有了解释域，就可以对只含有闭项的原子 公式讨论其真假值，但由于对个体变元并 没有赋值，因此一般的原子公式还是无法 确定其真假值。
是真命题。
三、P(Y)的赋值 首先引进两个记号：对给定解释域U和项
解释的原子公式集Y记为YU,,而谓词公 式集P(Y)则相应记为P(YU,).
定义19.10:谓词公式的赋值函数
v:P(YU,)→Z2分三步(a),(b)子公式p=Rni(t1,…,tn)YU,定义：
若╞p，则p就是重言式，简记为╞p。
ACon(A)
例：证明： {x(p(x)→q(x))}╞xp(x)→xq(x)
谓词公式的解释
谓词公式的解释谓词公式是一种用于形式化描述逻辑关系的重要数学工具，最常见的应用领域包括计算机科学中的图灵机理论，数理逻辑学中的表示定理证明，和程序设计语言中的语法表示。
一. 什么是谓词公式谓词公式（Predicate Calculus）是形式逻辑中的一种用来描述复杂逻辑关系的工具。
它是一个根据指定的规则，使用符号表示客观事实的工具，既可以表示逻辑性的事实，也可以表示关系，或表明某件事是否存在。
它包括3个基本元素：1. 变量：变量是用来引述客观事实和客观关系封装在谓词公式中的一种复杂符号，一般在低级语言或数学语言中使用；2. 函数：函数是一种用来构建复杂表达式的符号，它可以表示逻辑关系和多个已知变量的组合；3. 关系：关系是用来表达客观关系的抽象概念，它可以用来描述两个变量之间的关系和前提条件。
二. 谓词公式的用途谓词公式有多种用途，这些用途不仅限于形式化描述逻辑关系，还可以用于计算机科学、数理逻辑学和程序设计语言等领域。
最常见的用途如下：1. 图灵机理论：谓词公式可以用来描述图灵机的解，给出具体的计算机程序设计方案和执行结果。
这种常用的符号公式有助于编写出可以有效求解图灵机的编程语言，并有效运行。
2. 表示定理证明：谓词公式可以用来描述推理过程，表达式可以用来将复杂的定理证明过程精简，使之更容易理解和验证。
3. 语法表示：谓词公式可以用来描述程序设计语言中的语法结构，展示代码之间的逻辑关系，帮助开发者实现意图的语法及代码的有效组织。
三. 谓词公式的优势1. 数学表达：谓词公式涉及到数学表达，比如变量、函数和等式，使得逻辑关系更易于理解。
2. 推理过程：谓词公式可以用来描述推理过程，使得逻辑性更加易懂，有助于深入理解和记忆，也有助于识别假设、论据和结论等关系式。
3. 生成代码：谓词公式可用于生成程序设计语言中的代码，可以根据谓词公式推断出程序对应的实现，也可以正确地分析给定程序的逻辑关系结构和执行路径。
1.5 谓词公式
解法3：反证法 H：WQ, WS, SR；C：RQ
解：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (RQ) (RQ) RQ R Q WQ WQ (WQ) (QW) QW P(附加前提) T,(1),E11 T,(2),E5 T,(3),I1 T,(3),I2 P T,(6),E12 T,(7),E12 T,(8),I2
(1)他是三好学生 (2)7是奇数 (3)每天早晨跑步是好习惯
个体和谓词(Cont.)
在谓词演算中，将原子命题分解为个体 和 谓词 两部分。 定义
个体：原子命题中所描述的对象。它可以是独立 存在的东西,既可以是一个具体的事物，也可以是 一个抽象的概念。 谓词：用以刻划客体的性质或客体与客体之间的 关系。
谓词逻辑的内容?个体谓词和量词?谓词公式与翻译?变元的约束?公式解释与类型?等价式和蕴涵式?谓词公式范式?谓词逻辑的推理理论本节内容?个体谓词和量词?谓词公式与翻译本节要求?理解基本概念?学会谓词公式符号化的方法本节难点?谓词公式符号化个体谓词和量词个体和谓词?一般来说反映判断的句子是由主语和谓语两部分组成的
当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二元谓词，…。 一元谓词：说明一个个体词的谓词，如：“…是光荣 的”、“…是导体”、“…大于零”、…。 二元谓词：说明两个个体词的谓词，如：“…是…的 父亲”、“…大于…”、“赞扬”、“欣赏”、…。 n元谓词：说明n个个体的谓词。
特别地，当n=0，称为零元谓词。零元谓词是命题， 故命题是n元谓词的一个特殊情况，这样命题与谓词 就得到了统一。
量词举例
例 试用量词、谓词表示下列命题：
① 所有大学生都热爱祖国； ② 每个自然数都是实数； ③ 一些大学生有远大理想； ④ 有的自然数是素数。
谓词公式的解释
谓词公式的解释2.2.3 谓词公式的解释定义2.12谓词逻辑中公式A的每一个解释（赋值）I由以下几部分构成：1）非空个体域D；2）D中的某些特定元素；3）D中的某些特定的函数；4）D中某些特定的谓词。
用一个解释I解释一个谓词公式A包括：将I的个体域D作为A的个体域，A中的个体常元用I中的特定元素代替，A中的函数用I中的特定函数代替，谓词用I上的特定谓词代替。
把这样得到的公式记作A*。
称A*为A在I下的解释，或A在I下被解释成A*。
给定解释I如下：1）个体域为实数集合R；2）R中的特定元素a=0；3）R上的特定函数f(x, y) =x+y, g(x, y)=xy；4）R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，求下列各式的真值：1）∃xF(f(x, a), g(x, a))2）∀x∀y(F(f(x, y), g(x, y))→F(x, y)) 3）∀xF(g(x, y), a)给定解释I如下：1）个体域为实数集合R；2）R中的特定元素a=0；3）R上的特定函数f(x, y) =x+y, g(x, y)=xy；4）R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，公式分别解释为：1）∃xF(f(x, a), g(x, a)) 解释为：2）∀x∀y(F(f(x, y), g(x, y))→F(x, y)) )) 解释为：3）∀xF(g(x, y), a) 解释为：封闭的公式在任何解释下都成为命题。
定理2.1在实数集合R中，∃x(x+0=x⋅0) 真值为1;在实数集合R中，∀x∀y(x+y=x⋅y→x=y) 真值为0;在实数集合R中，∀x(x⋅y=0) 真值不确定。
2.2.4 谓词公式的类型定义2.13若谓词公式A在任何解释下均为真, 则称A为逻辑有效的或永真式；若A在任何解释下均为假, 则称A为不可满足的或永假式；若至少有一个解释使A为真, 则称A为可满足的。
逻辑有效的公式为可满足的，但反之不真。
离散数学中,谓词公式和命题公式的区别
离散数学是一门研究离散对象及其性质的数学分支，它在计算机科学、信息技术以及工程领域具有重要的应用价值。
在离散数学中，谓词公式和命题公式是两个重要的概念，它们在逻辑推理和证明中起着至关重要的作用。
本文将对谓词公式和命题公式进行详细的比较与分析。
1. 谓词公式谓词公式是一种含有变量的复合命题，它通常用来描述对象之间的关系或者属性。
谓词公式由谓词符号和变量组成，例如P(x)、Q(x, y)等。
在谓词公式中，变量可以取代具体的对象，从而得到一个具体的命题。
谓词公式一般可以表示为∀x(∃yP(x, y))，其中∀表示全称量词，∃表示存在量词，P(x, y)表示谓词公式。
谓词公式的真假取决于变量的取值范围和具体的谓词定义。
谓词公式的真假可以通过逻辑运算和推理来确定，通常需要使用证明方法或者真值表等工具来进行验证。
2. 命题公式命题公式是一个不含变量的简单命题，它通常用来表示一个完整的陈述或者断言。
命题公式可以是一个简单的原子命题，也可以是多个原子命题通过逻辑连接词组合而成的复合命题。
“今天下雨”、“2加2等于4”等都可以看作是命题公式。
命题公式的真假只取决于公式本身的内容，它只有两种取值：真和假。
命题公式可以通过真值表的方法来验证其真假，并且可以使用逻辑等价和逻辑推理来进行推导和证明。
3. 谓词公式和命题公式的区别从上面的比较可以看出，谓词公式和命题公式在以下几个方面有着明显的区别：3.1 变量的使用谓词公式使用变量来表示对象之间的关系，而命题公式不含有变量，它是一个固定的陈述或者断言。
谓词公式可以根据变量的取值范围得到不同的命题，而命题公式的真假只取决于公式本身的内容。
3.2 真假的判断谓词公式的真假取决于变量的取值范围和具体的谓词定义，需要使用证明方法或者真值表来进行验证；而命题公式的真假只取决于公式本身的内容，可以通过真值表的方法来验证其真假，并且可以使用逻辑等价和逻辑推理来进行推导和证明。
3.3 表达的含义谓词公式通常用来描述对象之间的关系或者属性，它具有一定的泛化和普适性；而命题公式通常用来表示一个完整的陈述或者断言，它具有明确的含义和指向性。
谓词公式及解释
一个是在马路上散步的“李勇”，
为了避免这种“误会”出现，要对“约束变元”改名。
谓词公式及解释-个体变元的身份 例题 分析x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z))变
元身份 解：尽管x在公式x(F(x)G(y))出现，又在
y(H(x)L(x,y,z))出现，但两个x不是一回事， 只是恰巧二个名字相同而矣，
x是量词的指导变元。 (F(x,y)G(x,z))是量词的辖域 在 (F(x,y)G(x,z))中x是约束出现，出现2次。 在(F(x,y)G(x,z))自由出现的变元y/z，各一次。
谓词公式及解释-个体变元的身份 量词指导变元：xA和xA中的x 量词辖域：xA和xA中的A为量词/辖域 变元的约束出现：指导变元的每次出现(称约束变元)。 变元的自由出现：不是约束出现的变元(称自由变元) 。 例题 x(F(x,y)G(x,z)) 例题 x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z)) 解：
与变元约束情况
解：x、y的作用域是(P(x,y)Q(y,z))， x的作用域是P(x,y)。
将与自由变元同名约束变元yr， 将与前一个同名约束变元xs，则原公式
xr(P(x,r)Q(r,z))sP(s,y)
谓词公式及解释-个体变元的身份 例题 x(P(x)xQ(x,z)yR(x,y))Q(x,y)
(4)同一样公式在不同的论域下真值不同，究竟 如何确定一个公式的真值呢？
谓词公式及解释
非逻辑符号:个体常元、函数符号、谓词符号 逻辑符号:个体变元、量词符号、联结词、逗号、 括号。
项的定义：个体常元与变元及其函数式为项。
(1)个体常元和个体变元是项。 (则2)若(t1,(tx2,1…,x,2,t…n)是, x项n)是。n元函数,t1,t2,…tn是n个项， (3)有限次使用(2)得到的表达式是项。 原子公式：
2.2谓词公式与解释
大 学
解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变
元x第一次出现是约束出现，第二次出
现是自由出现，y的出现是自由出现。
所以第一个x是约束变元，第二个x是
自由变元，本质上这两个x的含义是不
同的；而y仅是自由变元。
换名规则
可以看出,在谓词公式中一个变元可能既是约束出现,同
时又有自由出现,则该变元既是自由变元又是约束变元,
有限次地应用前三条，得到公式。
判断下列符号串是否为合式公式： 1. x(P(x) ∧ Q(x)) 2. xy(P(x) Q(y)) 3. yx∧ P(x) 4. x f(x) → x(g(x,y) ∨f(x) )
二、约束部分
在谓词公式中，形如xP(x)或xP(x)以及
xP(x，y)的部分中x称为指导变元，在辖
解释举例2
例2：已知指定一个解释N如下： (1)个体域为自然数集合DN (2)指定常项a=0 (3)DN上的指定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=x*y (4)指定谓词F(x,y)为x=y 在以上指定的解释N下,说明下列公式的真值
(1)xF(g(x,a),x) 即x(x*0=x)该命题假的
(2)xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) 在解释N下此公式：xy(x+0=yy+0=x)此命题为真 (3)F(f(x,y),f(y,z))在解释N下该公式x+y=y+z 此时,x,y,z均为自由变元,解释不对自由变元进行指定。因而该 公式是命题函数,不是命题,真值不能确定。
公式类型举例
西 判断下列公式的类型：
华
大 学
1)
x
F(x)
(x
yG(x,y)
x
离散数学19.谓词公式与翻译
下面都是合式公式： P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式： xyP(x) ，P(x)∧Q(x)x.
为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边 有括号，则此括号不能省. 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号不是最外 层括号，所以不可以省略.
谓词公式与翻译
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其 中x1,x2,...,xn 是客体变元。
例如 Q, A(x) , A(x,y), A(x,f(x)), B(x,y,z), B(x,a,b) 都 是原子谓词公式。
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1）原子谓词公式是合式公式； 2）如果A是合式公式，则A也是合式公式； 3）如果A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (AB)都是合式公式； 4）如果A是合式公式，X是A中的任何客体变元，则(X) A和 (X) A也是合式公式； 5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
P(|x-a|,0))→Q(|f(x)-b|, )).
例1 在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡正数都大于零. （2）存在小于2的素数. （3）没有不能表示成分数的有理数. （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩.
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零. 则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为： （x)(E(x)∧S(x)).
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例2 对任意小的正数，存在一个正数，使得当
0<|x-a|<时，有|f(x)-b|<.此时称 lim f x b . xa 解：令P(x,y)表示“x大于y”, Q(x,y)表示“x小于y”,故 lim f x b 可命题符号化为： xa ( )( ) (x)(((P(,0)→P(,0))∧Q(|x-a|,)∧
1第2章谓词逻辑本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词....
第2章 谓词逻辑本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明.一、重点内容1. 谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。
谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词. 个体词分个体常项(用a ,b ,c ,…表示)和个体变项(用x ,y ,z ,…表示)；谓词分谓词常项(表示具体性质和关系)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，用F ,G ,P ,…表示.注意，单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和谓词分开不是命题.量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”.在谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点：(1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变.(2) 在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全总个体域.(3) 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义.谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题. 所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应.在谓词逻辑中，命题符号化必须明确个体域，无特别说明认为是全总个体域。
一般地，使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧.2. 公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x (F (x )→G (x ))，∃x (F (x )∧G (x ))，∀x ∀y (F (x )∧F (y )∧L (x ,y )→H (x ,y ))等都是谓词公式. 变元与辖域，在谓词公式∀xA 和∃xA 中，x 是指导变元，A 是相应量词的辖域. 在∀x 和∃x 的辖域A 中，x 的所有出现都是约束出现，即x 是约束变元，不是约束出现的变元，就是自由变元. 也就是说，量词后面的式子是辖域. 量词只对辖域内的同一变元有效.换名规则，就是把公式中量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变.代入规则，就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号.解释(赋值)，谓词公式A 的个体域D 是非空集合，则 (1) 每一个常项指定D 中一个元素； (2) 每一个n 元函数指定D n 到D 的一个函数；(3) 每一个n 元谓词指定D n 到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A 的一个解释或赋值.在有限个体域下，消除量词的规则为：如D ＝{a 1,a 2,…,a n }，则)(...)()()()(...)()()(2121n n a A a A a A x xA a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃∧∧∧⇔∀谓词公式分类，在任何解释下，谓词公式A 取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)；在任何解释下谓词公式A 取真值0，公式A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，公式A 称为可满足式.3. 前束范式 一个谓词公式的前束范式仍是谓词公式. 若谓词公式F 等值地转化成B x Q x Q x Q k k ...2211那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，x 1,x 2,…,x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式.每个谓词公式F 都可以变换成与它等值的前束范式. 其步骤如下：① 消去联结词→，↔，⎺∨；② 将联结词⌝移至原子谓词公式之前；③ 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不同，并且自由变元与约束变元的符号也不同；④将∀x ,∃x 移至整个公式最左边；⑤ 得到公式的前束范式.4.谓词逻辑的推理理论 谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中的基本等值公式，重言蕴含式以及P ，T ，CP 规则在谓词演算中仍然使用. 在谓词演算推理中，某些前提和结论可能受到量词的限制，为了使用这些推理，引入消去和附加量词的规则，有US 规则(全称量词消去规则)，UG 规则(全称量词附加规则)，ES 规则(存在量词消去规则)，EG 规则(存在量词附加规则)等，以便使谓词演算公式的推理过程可类似于命题演算的推理进行.二、实例例2.1 将下列命题符号化：(1) 有某些实数是有理数；(2) 所有的人都呼吸；(3)每个母亲都爱自己的孩子.注意：一般地，全称量词“∀”后，跟蕴含联结词“→”；存在量词“∃”后，跟合取联结词“∧”.解 (1) 设R (x )：x 是实数，Q (x )：x 是有理数。
02-23.1 谓词公式的解释和分类-课件
离散数学及其应用
例题（续）
解 (1) xF(g(x,y),z) x(xy=z)，不是命题，真值不确定。 （2）xF(g(x,a),x)F(x,y) x(xa=x)(x=y) x(0=x)(x=y) 1，因为蕴含式前件为假。 （3）xyzF(f(x,y),z) xyz(x+y=z) 1。 定理2.3.1 封闭的谓词公式在任何解释下都变成命题。 证明 略。 不是闭式的谓词公式在某些解释下也可能变成命题，如公 式(2)
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离散数学及其应用
例题
判断下列公式是永真式还是矛盾式。
1. xF(x)xF(x);
2. xF(x)(yG(y) xF(x));
3. F(x,y) (G(x,y) F(x,y)); 解 1. xF(x)xF(x)为永真式。 2. 因为p(qp) 1，而xF(x)(yG(y)xF(x))是p(qp)
离散数学及其应用
离散数学及其应用
谓词公式的解释和分类
华南理工大学 计算机科学与工程学院
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离散数学及其应用
谓词公式的解释和分类
谓词公式的解释 定义 谓词逻辑中公式A的一个解释（或赋值）I由如下四部 分组成： 1. 非空的个体域集合D； 2. A中的每个常元符号，指定D中的某个特定的元素； 3. A中的每个n元函数符号，指定Dn到D的某个特定的函数； 4. A中的每个n元谓词符号，指定Dn到{0,1}的某个特定的谓词；
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离散数学及其应用
例题
给定解释I如下： I. 个体域为自然数集合N； II. a=0； III. N中特定的函数f(x,y)=x+y，g(x,y)=xy； IV.N中特定的谓词F(x,y)：x=y。 在
解释I下，求下列公式的真值。
谓词公式的推理
谓词公式的推理
谓词公式推理是逻辑推理的一种形式，它基于谓词逻辑进行推理。
谓词逻辑是一种用于描述和推理事物状态的逻辑系统。
谓词公式由一个或多个谓词符号（或称为函数符号）和变量符号组成，用于描述个体（或对象）的属性或关系。
谓词公式推理主要基于规则，这些规则告诉我们在什么条件下可以接受一个特定的结论。
在谓词逻辑中，常用的推理规则包括：
1. 替换规则：允许在公式中替换变量符号，而不改变公式的真值。
2. 附加规则：允许将一个公式附加到另一个公式上，从而形成更复杂的公式。
3. 分离规则：允许从两个公式中分离出一个子公式，前提是这两个公式在某些条件下都为真。
4. 普遍附加规则：允许在公式中添加一个普遍量词，前提是该公式在某些条件下为真。
5. 普遍分离规则：允许从公式中分离出一个普遍量词，前提是该公式在某些条件下为真。
这些规则可以组合使用，以进行复杂的推理。
例如，可以使用附加规则和分离规则来推导出一个结论，然后使用替换规则来将结论中的变量符号替换为具体的值。
总的来说，谓词公式推理是一种强大的逻辑工具，可用于描述和推理事物的属性和关系。
它广泛应用于数学、哲学、计算机科学等领
域。
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小结
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，公式分别解释为： 1） xF(f(x, a), g(x, a)) 解释为：
在实数集合R中，x(x+0=x0)
把这样得到的公式记作A*。称A*为A在I下的解释，或A在I下被解释成A*。
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，求下列各式的真值：
1）xF(f(x, a), g(x, a)) 2） xy(F(f(x, y), g(x, y))F(x, y)) 3 ）xF(g(x, y), a)
定理2.2 重言式的代换实例都是逻辑有效的，永假式的代换实例都是不可满足的。
பைடு நூலகம்2.9
判断下列公式中，哪些是逻辑 有效的，哪些是不可满足的？ 1）xF(x)(xyG(x,y)xF(x)) 2）(xF(x)yG(y))yG(y) 3）x(F(x)G(x))
分析——两种思路 1 公式的解释； （2）定理2.2。
小结
本小节内容的思维形式注记图：
定义2.13
若谓词公式A在任何解释下均为真, 则称A为逻辑有效的或永真式； 若A在 任何解释下均为假, 则称A为不可满足的或永假式；
若至少有一个解释使A为真, 则称A为可满足的。
逻辑有效的公式为可满足的，但反之不真。 在命题逻辑中，可以用真值表等方法判断任意给定命题公式的类型。 判断谓词公式类型的问题是不可判定的，既不存在一个算法能够在有限步内判断任意 给定的公式的类型。
谓词公式的解释
2.2.3 谓词公式的解释
定义2.12
谓词逻辑中公式A的每一个解释（赋值）I由以下几部分构成：
1 非空个体域D； 2 D中的某些特定元素； 3 D中的某些特定的函数； 4 D中某些特定的谓词。
用一个解释I解释一个谓词公式A包括：将I的个体域D作为A的个体域，A中的个体常元 用I中的特定元素代替， A中的函数用I中的特定函数代替，谓词用I上的特定谓词代替。
真值为1;
2）xy(F(f(x, y), g(x, y))F(x, y)) )) 解释为： 在实数集合R中，xy(x+y=xyx=y) 真值为0;
3） xF(g(x, y), a) 解释为： 在实数集合R中，x(xy=0) 真值不确定。
定理2.1
封闭的公式在任何解释下都成为命题。
2.2.4 谓词公式的类型
2.2.4 谓词公式的类型
对一些满足特殊条件的公式我们有一些简便的判定方法。
定义2.14
设A0是含命题变元P1,P2, …,Pn的命题公式，A1, A2, …,An是n个谓词公式， 用Ai (1in) 处处代替A0中的Pi，所得公式A称为A0的代换实例。
例， F(x)G(x), xF(x)yG(y)等都是PQ的代换实例。
❖ 把形如P(t1, t2, …,tn)称为谓词演算的原子谓词公式，其中，P是谓词，t1, t2, …,tn是个体或函数。 ❖ 谓词演算的合式公式，又称为谓词公式，由递归定义构成。 ❖ 判定谓词公式中指导变元及其辖域，从而确定变元的约束的情况。
▪ 可应用换名规则将谓词公式中的约束变元更改名称符号； ▪ 也可以应用代入规则进行自由变元代入。 ❖在证明一个谓词公式既不是逻辑有效的也不是不可满足时，可以为公式分别找一个成真的解释 和一个成假的解释；当证明一个谓词公式是逻辑有效或不可满足的公式时，可以使用相应的命题 公式进行代换。若命题公式为永真式，则原谓词公式也是逻辑有效的；若命题公式为矛盾式，则 原谓词公式也是不可满足的。