人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.锐角△ABC中，已知a=√3，A=π

3

，则b2+ c2+3bc的取值范围是( )

A. (5，15]

B. (7，15]

C. (7，11]

D. (11，15]

2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA=2sinBcosC，则△ABC的形状为( )

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等边三角形

D. 等腰直角三角形

3.在△ABC中，∠A=60∘，b=1，S△ABC=

√3，则a−2b+c

sinA−2sinB+sinC

的值等于( )

A. 2√39

3

B.

26

3

√3 C. 8

3

√3 D. 2√3

4.在△ABC中，有正弦定理：a

sinA =b

sinB

=

c

sinC

=定值，这个定值就是△ABC的外接圆的直径.如图2所示，△DEF中，已知DE= DF，点M在直线EF上从左到右运动(点M

不与E、F重合)，对于M的每一个位置，记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为λ，那么( )

A. λ先变小再变大

B. 仅当M为线段EF的中点时，λ取得最大

值

C. λ先变大再变小

D. λ是一个定值

5.已知三角形ABC中，AB=AC，AC边上的

中线长为3，当三角形ABC的面积最大时，AB的长为( )

A. 2√5

B. 3√6

C. 2√6

D. 3√5

6.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C

所对的边，b=c，且满足sinB

sinA =1−cosB

cosA

.若点

O是△ABC外一点，∠AOB=θ(0<θ<π)，OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是( )

A. 8+5√3

4

B.

4+5√3

4

C. 3

D. 4+5√3

2

7. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30∘，则使△ABC 有两解的x 的范围是( )

A.

(1，2√33

) B .

(1，+∞)

C.

(2√3

3

，2) D. (1，2) 8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的面积为( )

A.

√3

B.

√3

2

C.

2√3

D.

1

9. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A

2

，则△ABC

是( )

A. 等边三角形

B. 等腰三角形

C.

直角三角形

D.

等腰直角三角形

10. 在△ABC 中，已知∠C =60∘.a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b+c +b

c+a 为( ) A.

3−2√3 B. 1

C.

3−2√3或1 D. 3+

2√3

11.设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a=1，B=2A，则b的取值范围为( )

A. (√2，√3)

B. (1，√3)

C. (√2，2)

D. (0，2)

12.在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足2bcosB=acosC+ ccosA，若b=√3，则a+c的最大值为( )

A. 2√3

B. 3

C. 3

2

D. 9

二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

13.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+1

2

c=b，则角A的大小为______ ；若a=1，则△ABC的周长l 的取值范围为______ ．

14.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的长分别为a，b，c.已知a+√2c=2b，sinB=

√2sinC，则sin C

2

=______ ．

15.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别

是a、b、c，若a−b=ccosB−ccosA，则△ABC的形状是______ ．

16. 在△ABC 中，若a 2b 2

=

tanA tanB

，则△ABC 的形

状为______ ．

17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a −b)sinB =asinA −csinC ，且a 2+b 2−6(a +b)+18=0，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 18. 如果满足∠ABC =60∘，AC =

12，BC =k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是______ ．

19. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，外接圆半径为1，且满足

tanA tanB

=

2c−b b

，则△ABC 面积的最大值为

______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共132.0分） 20. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且√3a =2csinA ． (1)求角C 的大小； (2)若a =2，且△ABC 的面积为3√3

2

，求

c 的

值．