2018年人教B版高中数学选修2-1全册学案

2017-2018学年高中数学人教B版选修1-2全册同步学案
目录
1.1.1命题
1.1.21.1.2 量词
1.2.1“且”与“或”
1.2.2“非”（否定）
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
1.3.2 命题的四种形式
1疑难规律方法：第一章常用逻辑用语
1章末复习课
2.1.1 曲线与方程的概念
2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
2.2.1 椭圆的标准方程（一）
2.2.1 椭圆的标准方程（二）
2.2.2椭圆的几何性质（一）
2.2.2椭圆的几何性质（二）
2.3.1 双曲线的标准方程
2.3.2 双曲线的几何性质
2.4.1 抛物线的标准方程
2.4.2 抛物线的几何性质
2.5直线与圆锥曲线
2疑难规律方法：第二章圆锥曲线与方程
2章末复习课
3.1.1 空间向量的线性运算
3.1.2 空间向量的基本定理
3.1.3 两个向量的数量积
3.1.4空间向量的直角坐标运算
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
3.2.3 直线与平面的夹角--3.2.4 二面角及其度量3.2.5距离（选学）
3疑难规律方法：第三章空间向量与立体几何3章末复习课
1.1 命题与量词 1．1.1 命 题
学习目标 1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.了解命题的构成形式．
知识点一 命题的概念
思考1 在初中，我们已经学习了命题的定义，它的内容是什么？
思考2 依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题． ①三角形外角和为360°； ②连接A 、B 两点； ③计算3－2的值； ④过点A 作直线l 的垂线；
⑤在三角形中，大边对的角一定也大吗？
梳理 (1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以____________的__________叫做命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以______________”和“__________”．我们学习过的定理、推论都是命题． (3)分类
命题⎩
⎪⎨⎪⎧
真命题：判断为 的语句，假命题：判断为 的语句.
知识点二 命题的结构
思考1 在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪些知识？
思考2 完成下列题目：
(1)命题“等角的补角相等”：题设是________，结论是________．
(2)命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果________，那么________”．
梳理 (1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的________，q 叫做命题的________．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．
类型一 命题的判断
例1 (1)下列语句为命题的是( ) A ．x －1＝0 B ．2＋3＝8 C ．你会说英语吗？
D ．这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________． ①一个数不是正数就是负数； ②梯形是不是平面图形呢？ ③22 015是一个很大的数； ④4是集合{2,3,4}中的元素； ⑤作△ABC ≌△A ′B ′C ′.
反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．
跟踪训练1 给出下列语句，其中不是命题的有________． ①2是无限循环小数； ②x 2－3x ＋2＝0； ③当x ＝4时，2x >0；
④垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ ⑤一个数不是奇数就是偶数； ⑥2030年6月1日上海会下雨． 类型二 命题真假的判断 例2 给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b ；
②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π
2
是函数y ＝sin x 的一条对称轴；
④在△ABC 中，若AB →·BC →
>0，则△ABC 是钝角三角形． 其中为真命题的是________________． 引申探究
1．本例中命题④变为：若AB →·BC →
<0，则△ABC 是锐角三角形，该命题还是真命题吗？
2．本例中命题④改为：若AB →·BC →＝0，则△ABC 是________三角形．
反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 跟踪训练2 下列命题中假命题的个数为( ) ①多边形的外角和与边数有关；
②如果数量积a ·b ＝0，那么向量a ＝0或b ＝0； ③二次方程a 2x 2＋2x －1＝0有两个不相等的实根； ④函数f (x )在区间[a ，b ]内有零点，则f (a )·f (b )<0. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 类型三 命题结构形式解读
例3 将下列命题写成“若p ，则q ”的形式． (1)末位数是0或5的整数，能被5整除； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实数根．
反思与感悟 把命题改写成“若p ，则q ”的形式，关键是找到命题的条件“p ”和结论“q ”，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么． 跟踪训练3 将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)负数的立方是负数；
(3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x －5时，y ＝－3，x ＝2.
1．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( ) A ．两个平面 B ．一条直线 C ．垂直
D ．两个平面垂直于同一条直线 2．下列命题是真命题的为( )
A ．若a >b ，则1a <1
b
B ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列
C ．若|x |<y ，则x 2<y 2
D ．若a ＝b ，则a ＝b
3．若命题“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a 的取值范围为____________．
4．若命题“函数y ＝log 2(x 2－mx ＋4)的值域为R ”为真命题，则实数m 的取值范围为________________．
5．命题“3mx 2＋mx ＋1>0恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围．
1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p ，则q ”的形式．含有大前提的命题写成“若p ，则q ”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p 中．
提醒：完成作业 第一章 1.1.1
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 能判断真假的语句叫做命题．
思考2 根据命题的定义，只有①为命题，其他说法都不是命题． 梳理 (1)判断真假 陈述句 (2)判断真假 陈述句 (3)真 假 知识点二
思考1 命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常可以写为“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，而“那么”后面接结论． 思考2 (1)等角的补角 相等 (2)一个数是实数 它的平方是非负数 梳理 (1)条件 结论 题型探究
例1 (1)B (2)①④ 跟踪训练1 ②④⑥ 例2 ①③④ 引申探究
1．解 不是真命题，AB →·BC →<0只能说明∠B 是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角时，才可以判定三角形为锐角三角形． 2．直角 跟踪训练2 C
例3 解 (1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实数根．
跟踪训练3 解 (1)若一个多边形是正n 边形，则这个正n 边形的n 个内角全相等．是真命题．
(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数．是真命题． (3)已知x ，y 为正整数，若y ＝x －5， 则y ＝－3，x ＝2.是假命题． 当堂训练
1．D 2.C 3.(－∞，0)∪(0，1)
4．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
5．解“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立，所以0<m<12满足题意．
综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.
1.1.2量词
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．
知识点一全称量词、全称命题
思考观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．
梳理(1)概念
短语“____________”“____________”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号“______”表示．含有全称量词的命题，叫做____________．
(2)表示
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为____________，读作“对任意x 属于M，有p(x)成立”．
(3)全称命题的真假判定
要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．
知识点二存在量词、存在性命题
思考观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m>5；
Q：存在一个m0∈Z，m0>5.
(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)
梳理(1)概念
短语“____________”“______________”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号
“______”表示．含有存在量词的命题，叫做______________．
(2)表示
存在性命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为______________，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
(3)存在性命题的真假判定
要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．
类型一全称命题与存在性命题的判断
命题角度1全称命题与存在性命题的不同表述
例1设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：
(1)全称命题：∀x∈N，p(x)；
(2)存在性命题：∃x0∈N，p(x0)．
反思与感悟全称命题或存在性命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解．
跟踪训练1“有些整数是自然数”这一命题为________命题．(填“全称”或“存在性”) 命题角度2全称命题与存在性命题的识别
例2判断下列命题是全称命题，还是存在性命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
反思与感悟判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
跟踪训练2判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；
(3)有的函数既是奇函数又是增函数；
(4)对于数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
n n ＋1，总存在正整数n 0，使得0
n a 与1之差的绝对值小于0.01.
类型二 全称命题与存在性命题的真假判断 例3 判断下列命题的真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点P ； (2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数； (3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； (4)存在一个实数x 0，使得等式x 20＋x 0＋8＝0成立； (5)∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＝0； (6)∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2＝0.
反思与感悟 要判断全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
要判断存在性命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题就是假命题．
跟踪训练3 判断下列命题的真假： (1)有一些奇函数的图象过原点； (2)∃x 0∈R ，2x 20＋x 0＋1<0； (3)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.
类型三 利用全称命题和存在性命题求参数的值或取值范围 例4 已知下列命题p (x )为真命题，求x 的取值范围． (1)命题p (x )：x ＋1>x ； (2)命题p (x )：x 2－5x ＋6>0； (3)命题p (x )：sin x >cos x .
反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．
跟踪训练4若方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围．
1．下列命题中，不是全称命题的是()
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
2．命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2，0)，则()
A．p假q真B．p真q假
C．p假q假D．p真q真
3．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是()
A．a≥0 B．a<0 C．b≤0 D．b>1
4．存在性命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是__________命题．(填“真”或“假”)
5．若命题“∃x0∈R，x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．
1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．
2判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．
3．判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假．
提醒：完成作业第一章 1.1.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．梳理(1)所有的任意一个全称∀
全称命题(2)∀x∈M，p(x)
知识点二
思考(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．
梳理(1)存在一个至少有一个存在
∃存在性命题(2)∃x0∈M，p(x0)
题型探究
例1解(1)全称命题：
①对所有的自然数x，2x是偶数；
②对一切的自然数x，2x是偶数；
③对每一个自然数x，2x是偶数；
④任选一个自然数x，2x是偶数；
⑤凡自然数x，都有2x是偶数．
(2)存在性命题：
①存在一个自然数x0，使得2x0是偶数；
②至少有一个自然数x0，使得2x0是偶数；
③对有些自然数x0，使得2x0是偶数；
④对某个自然数x0，使得2x0是偶数；
⑤有一个自然数x0，使得2x0是偶数．
跟踪训练1存在性
例2解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
跟踪训练2 解 (1)是全称命题，表示为∀x ∈N ，x 2≥0.
(2)是存在性命题，表示为∃(x 0，y 0)∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，满足|x 0－y 0＋1|
2＝1.
(3)是存在性命题，∃f (x )∈{函数}，f (x )既是奇函数又是增函数． (4)是存在性命题，∃n 0∈N ＋，00
00|1|0.01.1
n n n a a n <+－，其中＝
例3 解 (1)真命题．
(2)真命题，如函数f (x )＝0，既是偶函数又是奇函数．
(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示． (4)假命题，方程x 2＋x ＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解． (5)假命题，只有x ＝2或x ＝1时，等式x 2－3x ＋2＝0才成立．
(6)真命题，x 0＝2或x 0＝1，都能使等式x 2
0－3x 0＋2＝0成立．
跟踪训练3 解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y ＝x 是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题． (2)该命题是存在性命题．
∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78≥78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0. 故该命题是假命题． (3)该命题是全称命题．
∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π
4)≤2恒成立，∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命
题是真命题．
例4 解 (1)∵x ＋1>x ，∴1>0(此式恒成立)，∴x ∈R . (2)∵x 2－5x ＋6>0，
∴(x －2)(x －3)>0，∴x >3或x <2. (3)∵sin x >cos x ，
∴2k π＋π4<x <2k π＋5π
4
(k ∈Z )．
跟踪训练4 解 由方程x 2＋ax ＋1＝0无实根，可知a 2－4<0，即a 2<4，即－2<a <2，由方程x 2＋2ax ＋2＝0无实根，可知a 2－2<0，即a 2<2，即－2<a <2， 由方程x 2－ax ＋4＝0无实根，可知a 2－16<0，即a 2<16，即－4<a <4，
∴当a 2<2，即－2<a <2时，三个方程均无实根．∴当a ≤－2或a ≥2时，三个方程中至少有一个方程有实根． 故a 的取值范围为
(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
当堂训练
1．D 2.A 3.B 4.假 5.[2，6]
1.2.1“且”与“或”
学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假．
知识点一“且”
思考观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义．
梳理(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“______”．当p，q都是真命题时，p∧q是______命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是______命题．
我们将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：
命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”．
(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足．(3) 我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假．
知识点二“或”
思考观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解．
梳理(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“______”．
(2)判断用“或”联结的命题的真假：当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是______命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是______命题．
我们将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：
命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．
(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x∉B，也可以是x∉A 且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.
(4) 我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假．
类型一含有“且”“或”命题的构成
命题角度1命题形式的区分
例1指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)2≥2.
反思与感悟 不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题称之为复合命题．
判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题． 跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题． 命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p 且q ”“p 或q ”形式的命题． (1)p ：梯形有一组对边平行，q ：梯形有一组对边相等；
(2)p ：－1是方程x 2＋4x ＋3＝0的解，q ：－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解．
反思与感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结p ，q 构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p ，q 中的条件或结论合并．
跟踪训练2 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p ，q . (1)0≤2；
(2)30是5的倍数，也是6的倍数．
类型二 “p ∧q ”和“p ∨q ”形式命题的真假判断 例3 分别指出“p ∨q ”“p ∧q ”的真假．
(1)p ：函数y ＝sin x 是奇函数；q ：函数y ＝sin x 在R 上单调递增； (2)p ：直线x ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切；q ：直线x ＝1
2与圆x 2＋y 2＝1相交．
反思与感悟 形如p ∨q ，p ∧q 命题的真假，根据真值表判定．如：
跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”形式的命题的真假． (1)p ：3是无理数，q ：π不是无理数； (2)p ：集合A ＝A ，q ：A ∪A ＝A ；
(3)p ：函数y ＝x 2＋3x ＋4的图象与x 轴有公共点，q ：方程x 2＋3x －4＝0没有实数根．
类型三 已知复合命题的真假求参数范围
例4 设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋1
16a )的定义域为R ；命题q ：关于x 的不等式3x －9x <a
对一切正实数均成立．
(1)如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；
(2)如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
反思与感悟 解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p ，q ，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想．
跟踪训练4 已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．
1．已知命题p 、q ，若p 为真命题，则( ) A ．p ∧q 必为真 B ．p ∧q 必为假 C ．p ∨q 必为真
D ．p ∨q 必为假
2．已知p ：函数y ＝sin x 的最小正周期为π
2，q ：函数y ＝sin 2x 的图象关于直线x ＝π对称，
则p ∧q 是________命题．(填“真”或“假”)
3．已知命题p ：函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2＋ax 在[1，2]上是增函数，若p ∧q 为真，则实数a 的取值范围是________．
4．已知命题p ：函数f (x )＝(x ＋m )(x ＋4)为偶函数；命题q ：方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．
1．判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论．
2．对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假．(1)“p∧q”形式的命题简记为：同真则真，一假则假；(2)“p∨q”形式的命题简记为：同假则假，一真则真．
提醒：完成作业第一章 1.2.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思．“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替．
梳理(1)p且q真假
知识点二
思考命题③是将命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．
“或”从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}．“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q，即两者中至少要有一个．
梳理(1)p或q(2)真假
题型探究
例1解(1)是p∧q形式命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p∨q形式命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是p∨q形式命题．
其中p：2>2，q：2＝2.
跟踪训练1p∧q
例2解(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
跟踪训练2解(1)此命题为“p∨q”形式的命题，其中p：0<2；q：0＝2.
(2)此命题为“p∧q”形式的命题，其中
p：30是5的倍数；
q：30是6的倍数．
例3 解 (1)∵p 真，q 假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假． (2)∵p 真，q 真，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为真．
跟踪训练3 解 (1)∵p 真q 假，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假． (2)∵p 真q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真． (3)∵p 假q 假，∴“p 或q ”为假，“p 且q ”为假． 例4 解 (1)若命题p 为真命题， 则ax 2－x ＋1
16a >0对x ∈R 恒成立．
当a ＝0时，－x >0，不合题意；
当a ≠0时，可得⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ<0
即⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，1－14
a 2<0，∴a >2.
(2)令y ＝3x －9x ＝－(3x －12)2＋14
.
由x >0，得3x >1，∴y ＝3x －9x 的值域为(－∞，0)． 若命题q 为真命题，则a ≥0.
由命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，得命题p ，q 一真一假． 当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤2. ∴满足条件的a 的取值范围是{a |0≤a ≤2}．
跟踪训练4 解 对于命题p ：由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0， 显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1
a
，
∵x ∈[－1，1]，故|－2a |≤1或|1
a
|≤1，即|a |≥1.∴p 为假时得|a |<1.
对于命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，即方程x 2＋2ax ＋2a ＝0与x 轴只有一个交点，由Δ＝4a 2－8a ＝0，得a ＝0或a ＝2. ∴q 为假时得a ≠0且a ≠2.
又命题“p 或q ”为假，即p 与q 都为假命题， ∴a 的取值范围是(－1，0)∪(0，1)． 当堂训练
1．C 2.假 3.[－2，1
2
)
4．解 若命题p 为真，则由f (x )＝x 2＋(m ＋4)x ＋4m ，得m ＋4＝0，解得m ＝－4. 设g (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，其图象开口向上，
若命题q 为真，则g (2)<0，即22＋(2m －1)×2＋4－2m <0，解得m <－3.
由p∧q为假，p∨q为真，得p假q真或p真q假．若p假q真，则m<－3且m≠－4；
若p真q假，则m无解．
所以m的取值范围为
(－∞，－4)∪(－4，－3)．
1.2.2 “非” (否定)
学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p ”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.掌握全称命题与存在性命题的否定．
知识点一 逻辑联结词“非”
思考 观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？逻辑联结词“非”的含义是什么？ (1)p ：5是25的算术平方根；q ：5不是25的算术平方根． (2)p ：y ＝tan x 是偶函数；q ：y ＝tan x 不是偶函数．
梳理 (1)命题的否定：一般地，对一个命题p ________，就得到一个新命题，记作綈p ，读作“非p ”或“________”．
(2)命题綈p 的真假：若p 是真命题，则綈p 必是______命题；若p 是假命题，则綈p 必是______命题．
知识点二 “p ∧q ”与“p ∨q ”的否定
1．对复合命题“p ∧q ”的否定，除将简单命题p 、q 否定外，还需将“且”变为“______”．对复合命题“p ∨q ”的否定，除将简单命题p 、q 否定外，还需将“或”变为“______”． 复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下： (1)确定复合命题的构成形式； (2)判断其中各简单命题的真假； (3)利用真值表判断复合命题的真假．
2．语句“a ∈A 或a ∈B ”的否定形式是“____________”，语句“a ∈A 且a ∈B ”的否定形式是“________________”．对有些不含“且”“或”的命题进行否定，要注意准确把握该命题的含义，然后进行否定，如“1x >0”的含义是“1x 有意义且1x >0”，故其否定应为“1x 无
意义或1x ≤0”，即“x ＝0或1
x <0”．
知识点三 全称命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题的否定的方法． (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0.
梳理写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：∀x∈M，p(x)，
它的否定綈p：____________.
全称命题的否定是__________命题．
知识点四存在性命题的否定
思考尝试写出下面含有一个量词的存在性命题的否定，并归纳写存在性命题的否定的方法．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)∃x∈R，x2＋1<0.
梳理写存在性命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定．
对于含一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：
存在性命题p：∃x∈M，p(x)，
它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．
存在性命题的否定是全称命题．
类型一綈p命题及构成形式
例1写出下列命题的否定形式．
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
反思与感悟綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“綈p∨綈q”等．
跟踪训练1写出下列命题的否定形式．。