高一数学必修五知识点总结

高中数学必修五知识点总结

解三角形复习知识点

一、知识点总结

【正弦定理】

1．正弦定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：

()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R

=

=2c

R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；

（4）R C

B A c

b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

【余弦定理】

1．余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩

2.推论：

222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪

=

⎨⎪

⎪+-=

⎪⎩

. 设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若2

2

2

a b c +=，则90C =； ②若2

2

2

a b c +>，则90C <； ③若2

2

2

a b c +<，则90C >．

3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

【面积公式】

已知三角形的三边为a,b,c,

1.111sin ()222

a S ah a

b C r a b

c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）

2.设)(2

1

c b a p ++=

,))()((c p b p a p p S ---=

【三角形中的常见结论】

（1）π

=++C B A (2)

sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- 2cos 2sin

C B A =+,2

sin 2cos C

B A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, （3）若⇒>>

C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> （大边对大角，小边对小角）

（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于

60，最小角小于等于

60

(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.

钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （7）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是

60=B .

(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总

题型1【判定三角形形状】

判断三角形的类型 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形

是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形

∆

（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）

(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2

π

=

+B A .

例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.

题型2【解三角形及求面积】

一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

例2.在ABC ∆中，1=a ，3=

b ，030=∠A ，求的值

例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3

π

=

C ．

（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；

（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积．

题型3【证明等式成立】

证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.

例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.

题型4【解三角形在实际中的应用】

仰角 俯角 方向角 方位角 视角

例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？