贝塞尔函数

20.3.1 贝塞尔函数的递推公式
由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出
1J ()
J ()d []d v v x x x x x νν+=- (20.3.1) 1d [J ()]J ()d v
v v v x x x x x -= (20.3.2)
以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数N ()v x 和汉克尔函数也应该满足
上述递推关系．
若用()v Z x 代表v 阶的第一或第二或第三类函数,总是有
1d [()]()d v
v v v x Z x x Z x x -= (20.3.3)
1d [()]()d v
v v v x Z x x Z x x --+=- (20.3.4)
把两式左端展开, 又可改写为
1()()()
v v v
Z x Z x Z x x ν+'-=- (20.3.5) 1()()
v v v
Z Z x Z x x ν-'+= (20.3.6)
从(20.3.5)和(20.3.6)消去Z ν或消去Z ν'可得
11()()2()v v v
Z x Z x Z x +-'=- 112()()()v v v v
Z x Z x Z x x +-=-+
即为从)(1x Z v -和)(x Z v 推算)(1x Z v +的递推公式.
上式也可以写成为
11()()2()
v v v v
Z x Z x Z x x -++= （20.3.7）
11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= （20.3.8）
任一满足一组递推关系的函数)(x Z v 统称为柱函数．
例 20.3.1 求
2
J
()d x x x
⎰
【解】 根据公式 (20.3.8) 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= 有
201
J ()J ()2J ()x x x '=-
2
1
1
1
1
1
1
1
J ()d J ()d 2J ()d J ()2[J ()J ()d ]J ()2[J ()J ()d ]J ()2J ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c
'=-=--'=-+=--+⎰⎰⎰⎰⎰
20.3.2贝塞尔函数正交性和模
1．正交性
对应不同本征值的本征函数分别满足
2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m i m i m k k ρρρρρ+-= (20.3.9)
2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m j m j m k k ρρρρρ+-= (20.3.10)
将(20.3.9)乘以
()J ()m m j k ρ，将(20.3.10)乘以()
J ()m m i k ρ，然后两式相减，再积分，利用分部积分法得到
()2()2()()0
()()()()0{[][]}J ()J ()d d d [J ()
J ()J ()J ()]|0d d m m m m i j m i m j m m m m m i m j m j m i k k k k k k k k ρρ
ρρρρ
ρρρρρρρρ-=-=⎰
故当 ()()
m m i j k k ≠时
()()0
J ()J ()d 0
m m m i m j k k ρρρρρ=⎰
(20.3.11)
2．贝塞尔函数的模()
m n N
22()22()
2
0001[]()[J ()]2m m n
m n n n m N
k H ρρρλλ=-+ （20.3.12）
20.3.3 广义傅立叶－贝塞尔级数
按照施－刘型本征值问题的性质，本征函数族()
J ()m m n k ρ是完备的，可作为广义傅立叶级数展开的基．
定义在区间],0[0ρ上的函数)(ρf ，可以展开为广义的傅立叶－贝塞尔级数为 ()
1()J ()
m n m n n f f k ρρ∞
==∑ （20.3.13）
其中广义傅氏系数
()
()2
1()J ()d []
m n m n m n
f f k N
ρρρρρ
=
⎰
(20.3.14)
20.3.4 贝塞尔函数的母函数（生成函数）
1. 母函数（生成函数） 考虑解析函数)1(2),(z
z x e
z x G -=在
+∞<<z 0内的罗朗展式（注意，此处的x 为参变
数，不是复变数z 的实部）．因为
∑∞
==02
!)2(k k k z x
z k x e ， ∑∞=---=-02
)(!)2(1l l
l z
x z l x e
故 ∑∑∞=∞=---=00)
1(2)(!)2(!)2(k l l
l k k z z x z l x z k x e
对于固定的z ，以上两级数在
+∞<<z 0内是可以相乘的，且可按任意方式并项．令
,,2,1,0, ±±==-n n l k 得
1()22000(1)(1)(,)()[()]!!2()!!2x l l z k l k l l n n
z
k l n l x x
G x z e
z z k l n l l ∞
∞
∞∞
-+-+===-∞=--===+∑∑∑∑ 故
(,)J
()n
n
n G x z x z ∞
=-∞
=
∑ (20.3.15)
称)1(2z
z x e -为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）．
2.加法公式
利用母函数公式
(,)J
()n
n
n G x z x z ∞
=-∞
=
∑故有
1
()211
()()22(,)J
() (,)(,)J ()J ()x y z m
z
m
n x y z z k
n
z
z
k n
k n G x y z e x y z e
e
G x z G y z x z
y z +∞
-=-∞
∞
∞
--=-∞
=-∞
+==
+===
∑∑
∑
比较两边的m
z 项的系数，即得加法公式
J ()J
()J ()
m k
m k k x y x y +∞
-=-∞+=
∑ (20.3.16)
3．贝塞尔函数的积分表达式
利用母函数公式(20.3.30)和罗朗展式的系数表达式，得到
1()211J ()d (0,1,2,)2πi x z z
m m C e
x z m z -+=
=±±⎰
其中C 是围绕0=z 点的任意一条闭曲线．如果取C 为单位圆，则在C 上，有i z e θ
=．从
而得到
2π2πi sin i 1i i(sin )
0011J ()()(i )d d 2πi 2πx m x m m x e e e e θθθθθθθ---==⎰⎰
2π
01J ()c o s (s i n )d , (0,1,2,)2πm x x m m θθθ=-=±±⎰ （20.3.17）
其中积分式中的sin(sin )x m ϕϕ-的项已被省去，因为在[0,2π]上其积分为零．
式(20.3.10)就是整数阶贝塞尔函数的积分表达式． 特别若0m =时，有
π
001J ()cos(sin )d πx x θθ
=⎰ （20.3.18）。