高阶偏导数及泰勒公式

z(x,
y)由方程 x 2
y 2
tgz
e 所确定, z
求
x 2
z 2
.
解: (1) 记F (x, y, z) x2 y2 tgz ez
由隐函数求导公式 z Fx , x Fz
有Fx 2x, Fz sec2 z ez .
从而,
z x
ez
2x sec2
z
z
2x
x ez sec2 z
y)
f x( x,
y) y
lim
y0
f x( x,
y
y) y
f x( x,
y) ,
lim
y0
1 y
lxim0
f
(x
x,
y
y) x
f
(x,
y
y)
lim x0
f
(x
x, y) x
f
(x,
y)
lim lim 1 1 f (x x, y y) f (x, y y)
y0 x0 y x
f (x x, y) f (x, y)
一般,若z f (x, y)的k 1阶微分dk1z存在,且仍 可微. 则记dk z d(dk1z),称为z的k阶微分.
下边推导 z 的 k 阶微分的计算公式. 设以 x, y 为自变量 的函数 z = f (x, y)Ck .
有 dz fx(x, y)dx f y(x, y)dy 由于x, y 为自变量,故dx = x, dy = y,与 x, y 的取值无关. 固定x, y,, (即将它们看作常数), 求dz的微分. 易见,当f x, f y存在连续偏导时, dz可微.即, 若f C 2 ,则z f (x, y)存在二阶微分(二阶可微).
另外, A = [ f (x0 +x , y0 +y) – f (x0, y0 +y )] – [ f (x0+x, y0) – f (x0 , y0)]
记 (y) = f (x0 +x , y) – f (x0 , y), 从而
A = (y0 +y) –(y0) (由拉格朗日中值定理) ( y0 3y)y [ f y(x0 x, y0 3y) f y(x0, y0 3y)]y
xf1
2xy
f1 y
1 x2
f2
y x2
f2 y
2 xf1
1 x2
f2 2xy( f11 x2
f12
1) x
y x2
(
f21 x2
f 22
1) x
2xf1
1 x2
f 2
2x3
yf11
yf12
y x3
f 22
其中 f12 f21 .
w f (x2 y, y) x
例5.
设z
f yx (x0 4x, y0 3y)xy, 0 3,4 1.
A fxy (x0 1x, y0 2y)xy A f yx (x0 4x, y0 3y)xy
故
f xy (x0 1x, y0 2y) f yx (x0 4x, y0 3y)
令x 0, y 0. 因 f xy , f yx在(x0 , y0 )连续,有,
2x21 32 x3
f3
二、高阶微分
和一元函数一样, 多元函数也有高阶微分的 概念. 我们只介绍二元函数的高阶微分.
设z f (x, y)可微,则dz fx(x, y)dx f y(x, y)dy. 仍是x, y的函数. 若 dz 还可微, 则记 d2z = d(dz), 称为
z 的二阶微分.
(ez sec2 z)3
例6. 设方程组
x y u v 1.
x2
y2
u2
v2
2.
求
u x
,
v x
,
2u x 2
.
解: (1)先求一阶偏导. 方程两边对x 求偏导.
注意, u, v 看作 x, y 的函数. 得
1
u x
v x
0
2 x
2u
u
2v
v
0
即,
ux vx 1 uux vvx x
解: ux x2 ay, uy x y bsin x.
知ux ,uy均可导,有 uxy a, (连续), uyx 1 b sin x, (连续). 从而,在任何点(x, y),有uxy uyx 即 1 bsin x a. 比较知 a = 1, b = 0.
本题也可 :由ux x2 ay, 积分(以x为积分变量), 得 u 1 x3 axy c( y).
f2 f2(u,v) f2(x y z, xyz)
2w xz
f1 z
z
( yz
f 2 )
f11
u z
f12
v z
yf
2
yz
f 2 z
f11 xyf12 yf2 yz ( f21 1 f22 xy)
f11 (xy yz) f12 xy2zf22 yf2. ( f12 f21).
求 du , 其中f , C1, x 0.
dx
解:
u = f (x, x3, z)
(x2, 3lnx, z) = 0
易见 z, u均 x 的函数, 方程两边对 x 求导数.
ux f11 3x2 f2 f3 zx
1 2x
2
3 x
3
zx
0
得 从而
zx
2x21 32 x3
ux
f1 3x2 f2
2z x 2
dx 2
2
2z xy
dxdy
2 y
z
2
dy
2
易见,当fxx, fxy , f yy存在连续偏导时, z存在三阶微分.
即若f C3,则z f (x, y)存在三阶微分.但其 形式将更加繁杂. 引进记号.
记 z dx z dy dx dy z x y x y
x
x
ux vx 1 uux vvx x
11
1 1
D
v u,
uv
D1 x
xv v
1 1
D2 u
u x, x
从而,
u D1 x v , x D v u
v u x x v u
(2) u x v , v u x , x v u x v u
从而,
2u x 2
3 从而 uy ax c( y). 与 uy x y bsin x比较可得a 1,b 0.
例3. 设w f (x y z, xyz), f C2, 求 2w .
xz
解: 设 u=x+y+z, v=xyz,
从而 w = f (u, v)是x , y , z,的复合函数. 由链式法则.
f xy (x0 , y0 ) f yx (x0 , y0 )
注
1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏 导的情形. 同时可推广到二元以上的函数情形.
即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即 求混合偏导与求导顺序无关).
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k
阶连续偏导. 则记为 f (X)Ck (D). k为非负整数.
例4.
设w
f (x2 y, y), f C2. 求 2w .
x
xy
解:
w x
f1 2xy
f
2
y x2
2xyf1
y x2
f 2.
注意, f1, f2仍是x, y的复合函数, 对它们 求导时要用链式法则.
2w xy
2
xf1
2
xy
f1 y
1 x2
f2
y x2
f2 y
2w xy
2
且 d2z = d(dz) d[ fx(x, y)dx f y(x, y)dy]
d[ fx(x, y)dx] d[ f y(x, y)dy]
d[ fx(x, y)] dx d[ fy(x, y)] dy
[ fxx (x, y)dx fxy (x, y)dy] dx [ f yx (x, y)dx f yy (x, y)dy] dy
类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.
如,
若
2z x2
可偏导,
则记
3z x3
x
2z x2
,
3z x2y
y
2z x2
,等等.
例1. 设z
x2 y2
x sin
y 3,求全部二阶偏导和
3z . x3
x
解:
z
2 y x 1, 2
y
z
2x y 2
cos
y.
x
2
z
2y , 2
2
xy z 4xy.
§1－7 高阶偏导数及泰勒公式
一、高阶偏导数
设z f (x, y)的偏导数为fx(x, y), f y(x, y). 由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论 fx(x, y), f y(x, y)的偏导数.
设z f (x, y)在区域D内可偏导. 若fx(x, y), f y(x, y)还可偏导. 则记,
2
y
2
z
2x sin y, 2
2
x 3 0.
z 3
yx z 4xy,
2
在例1中, 有 2z 2z . xy yx
问题:
是否任何函数的二阶混合偏导数都相等? 若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合 偏导数才相等呢?
定理1
若 z = f (X) = f (x, y)的两个混合偏导数
2 f xy
A = ' (x0 +1x) x [ fx(x0 1x, y0 y) fx(x0 1x, y0 )]x,
其中,0 1 1.
A [ fx(x0 1x, y0 y) fx(x0 1x, y0 )]x
再对变量 y 用拉格朗日中值定理. 得
A f xy (x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1.
(2)上式两端对 x 求偏导. 此时右边的z看作
x 的的函数. y要看作常数. 有
zxx
2(e z
sec2
z)
2x(ez (ez
zx 2 sec sec2 z)2
z
sec z
tgz
zx )
2(e z
sec2
z) 2x(ez 2 sec2 (ez sec2 z)2
z
tgz ) zx
2(ez sec2 z)2 4x2 (ez 2 sec2 z tgz)
w x
f11
f2 yz
f1(x y z, xyz) yzf2(x y z, xyz).
注意： f1 f1(u, v) f1(x y z, xyz)仍是x, y, z
的复合函数 . 对 f1以及 f2 再求偏导时,
还要用链式法则来求.
f1 f1(u,v) f1(x y z, xyz)
(x) = f (x , y0 +y ) – f (x , y0), 有 A = (x0 +x) – (x0)
因f xy在U ( X 0 )内存在,从而f x在U ( X 0 )存在. 即(x) 在x0的某邻域内可导, 故满足拉格郎日 中值定理条件. 因A = (x0 +x) – (x0) , (x) = f (x , y0 +y )–f (x , y0),
x v
v u
x
(1
vx
)(v
u) (v
(x u)2
v)(vx
ux
)
1
u v
x u
(v

u) (x v)
(v u)2
u v
x u
x v
v u
v (v
2u x u)2
(x
v)(u v (v u)3
2x)
例7. 设u = f (x, y, z), y=x3, (x2, lny, z) = 0 .
证: 分别给 x, y 以改变量x, y , 使(x0 +x , y0 +y),
(x 0 +x , y0)及 (x0 , y0 +y)均在U(X0)内.
记 A = [ f (x0 +x , y0 +y) – f (x0 +x , y0)] – [ f (x0, y0 +y) – f (x0 , y0)]
,
2 f yx
在X
0
( x0 ,
y0 )的某邻域U ( X 0 )
内存在, 且它们在X 0连续, 则
2 f (X0) 2 f (X0)
xy
yx
分析. 按定义
fx(x, y)
lim
x0
f
(x
x, y) x
f
(x, y) ,
gy
(
x,
y)
lim
y0
g
(
x,
y
y) y
g
(
x,
y)
,
f xy (x,
2z x2
f
xx
(
x,
y)
x
f x
,
2z xy
fxy (x, y)
y
f x
2z y 2
f yy (x, y)
f , y y
2z yx
f yx (x, y)
f x y
称为 z = f (x, y)的二阶偏导数.
称 fxy (x, y), f yx (x, y)为二阶混合偏导数.
若 f (x, y)Ck (D), 则不论求导顺序如何,
只要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k – m 次, 都
可写成
x
k f my k
m
,
或,
f (k) xm ykm
例2. 设u u(x, y)在任何点(x, y)处的全微分
du (x2 ay)dx (x y bsin x)dy. 求常数a,b.
故, f xy (x0 , y0 )
lim
y0
lim
x0
1 xy
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0
,
y0
+y)
– f (x0 +x , y0) + f (x0 , y0)] 同理 f yx (x0 , y0 )
lim
x0
lim
y0
1 xy
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0
+x
,
y0)
– f (x0, y0 +y ) + f (x0 , y0)]