面积与代数恒等式

面积与代数恒等式

学习目标

1引导学生体会代数式与图形之间的联系,以及几何背景，体会它们的几何

意义。

2 经历探索、讨论、交流、应用数学知识解释有关问题的过程，从中体会

数学的应用价值。

3 培养学生的开拓思想和合作精神，发展数学思维，累积研究问题、解决

问题的经验与方法。

学习重点：数与形的联系，代数恒等式的几何意义；通过探索与思考体会数学

的应用价值。

学习难点：对问题的观察与探索的方向的把握。 导学过程

一、创设问题情境

1、大家把预先准备好的长方形和正方形的硬纸片拿出来，摆在桌子上。

2、写出下列图形的面积

3、写出下列代数式的几何意义

①2a ②ab ③2ab ④222a ab b ++ ⑤ma mb mc ++ ⑥()m a b c ++ ⑦()2

a b + ⑧()()a b a c ++

4、多项式乘以多项式的几何意义：

(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn

（不论字母取什么值， 左边恒等于右边的式子 叫做代数恒等式）

引入课题：面积与代数恒等式

二、自主探究问题前一阶段我们学习了整式的乘法和因式分解，无论是整式的乘法还是因式分解，我们都接触了一些幂的运算公式和乘法公式。今天我们借用拼图的方式来验证它们的正确性。 现在让我们一起参加下面的探索活动。 活动1：

利用制作的纸片拼成一些长方形或正方形,并用所拼成的图形来说明所学的乘法

图

a a a

a

图b b a a 公式及某些幂的运算公式的正确性. 图1可以解释什么等式呢？通过这个等式可以看到哪个幂的运算公式呢？ 2242a a =)( n n n b a ab =)(

图2可以解释什么等式呢？通过这个图形可以说明哪个所学的乘法公式呢？ 2222b ab a b a ++=+)( 完全平方和公式

议一议：

用4个长为a 、宽为b 的长方形拼成一个正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式来.

代数恒等式：(a+b)2-(a-b)2=4ab

利用我们学过的公式进行计算，能验证它的正确性吗？（学生动手计算）

验证：

小结1：同一面积的不同表示方法可以得出的代数恒等式 实践与探索活动2：

例：有若干张如图7所示的正方形和长方形卡片，选用若干张卡片拼成面积为(2)(2)a

b a b ++的大长方形，在下面的表格中填写所选的卡片数量。 1、说明你的拼图方案。

2、大长方形的面积与小正方形、长方形卡片面积的关系可得到的代数恒等式

)()

22

a b a b +--()()()()a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b

=

⋅

ab =

b

()(3)43a b a b a ab b

++=++

为 。

小结2：

由代数恒等来设计图形，可根据代数式的几何意义来展开。如(2a+b)(a+2b)可以看成是一个长为(2a+b)宽为(a+2b)的长方形面积，画出长方形，然后再把它划分成1个边长为的2a 正方形，5个长a 为，宽b 为的长方形，以及2个边长为b 的正方形。

做一做

前面我们利用同一图形面积的不同表示方法，得出了代数恒等式。现已知代数恒等式，你能否设计出相应图形来验证它们的正确性？ (1)a(a+b)=a 2+ab

(2)(a+2b) (2a －b) = 2a 2 +3ab －2b 2

小结：如：2

a 可以看成一个边长为a 的正方形的面积，画出图形；

ab 可以看成一个长为a ，宽为b 的长方形的面积，画出图形；

()()b a b a -+22可以看成一个长为()b a 2+，宽为()b a -2的长方形的面积，画出图形。

然后对画出的图形进行适当的割补！

三、延伸拓展练习：

1 2

四、总结：

1、从同一图形面积的不同表示方法可以得出的代数恒等式；

2、已知代数恒等式，设计图形验证其正确性；

3、体会数形结合的美妙之处。 五 课后练习

1 让大家都当一回设计师，帮一个工程队设计一套住房，要求：在一块长为4y ，宽为4x 的长方形荒地上建成一套两室一厅一厨一卫的房子。其中客厅面积6xy ；两卧室面积共为8xy ；厨房面积为xy ；卫生间面积为xy 。

根据今天所学的内容，请你试着把自己的想法画成平面结构示意图。

2：画出图形面积来说明下面代数恒等式:

(a+2b)2=a 2+4ab+4b

2

4x

4y