材料力学 第十三章 能量法

1.轴向拉压的变形能（Strain energy for axial loads)
当拉力为F1 时,杆件的伸长为l1
当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(Δl1)
此外力功的增量为：
dW F1d(Δl1)
d(Δl1
)
dF1l EA
(Energy Method)
F dF1
l F l
F1
O l1
dl1
(Energy Method)
§13-2 杆件变形能的计算 ( Calculation of strain energy for various
types of loading )
一、杆件变形能的计算（Calculation of strain energy for various types of loading）
Chapter13 Energy Method
(Energy Method)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算( Calculation of strain energy for various types of loading ) §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 单位荷载法 • 莫尔定理(Unit-load method & mohr’s theorem) §13-5 卡氏定理(Castigliano’s Theorem)
§13-6 计算莫尔积分的图乘法 (The method of moment areas for mohr’s integration) §13-7 虚功原理(Principle of virtual work)
(Energy Method)
§13-1 概述（Introduction）
一、能量方法 （Energy methods )
（a）在C截面加F2 后,F2 作功
F22(a b) 2EA
（b） 在B截面加F1后,F1作功
F12a 2EA
A
a
B
F1
b C
F2
(Energy Method)
（c）加 F1引起 C 截面的位移
F1a EA
在加F1过程中F2作功（常力作功） F1F2a
A
a
所以应变能为
EA
B
Vε
W
1 2
F1
B1
1 2
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为
B1
F1a EA
外力作功为
W1
1 2
F1δB1
F12a 2EA
（b）再在C截面加 F2
C截面的位移为
C2
F2 (a EA
b)
F2 作功为
W2
1 2
F2 C 2
F22 (a b) 2EA
A
a
B
F1
b C
F2
(Energy Method)
（c）在加F2 后,B截面又有位移
F2 (C1
F1 F2
C2
C3
F3 F2
)
B
F1
C1F1,C2F2,C3F3 分别表示力F1 , F2,
F3 在 C 点引起的竖向位移.
C1,C2,C3 是比例常数.
A
3
F2
F3
B'
C
1
2
在比例加载时 F1/F2和 F3/F2 也是常数
2 与 F2 之间的关系是线性的.
同理,1 与 F1, 3 与F3 之间的关系也是线性的.
F2
C
2
F2 C1
F12a F22(a b) F1F2a
注意： 2EA 2EA
EA
F1
b C
F2
（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别.
（2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次 序无关.
(Energy Method)
例题5 以弯曲变形为例证明 应变能Vε只与外力的最
(Energy Method)
C截面的位移为
3
Mel 2 16EI
A
先加上的力F所作的功为
W3
F3
F
Mel 2 16EI
下两面上的外力将不作功. 只有右侧
面的外力（ dydz） 对相应的位移
a
dx 作了功.
当材料在线弹性范围内工作时,
b
上述力与位移成正比,因此,单元体上
外力所作的功为
z
dx
dW 1 (τdydz)(γdx) 1 τγ(dxdydz)
2
2
比能为
uε
dVε dV
dW dV
dW 1 τγ dxdydz 2
面的挠度.
解：
Vε
M 2( x) dx
l 2EI
A x1
a 0
(
Fb l
x1
2EI
)2 dx1
b 0
(
Fa l
x2
2EI
)2
dx2
a
F 2b2 2EIl 2
a3 3
F 2a2 2EIl 2
b3 3
F 2a2b2 6EIl
F
B
C
x2
b l
W
1F 2
wC
Fa 2b 2 由Vε=W 得 wC 3EIl
M 2( x)dx l 2EI( x)
5.纯剪切应力状态下的比能 （Strain energy density for pure shearing state of stresses）
假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动 dx.
(Energy Method)
因为很小,所以在变形过程中,上
y
A
终值有关,而与加载过程 和加载次序无关.
l/2
C
1
l/2
F Me
B
2
解:
梁中点的挠度为:
1
Fl 3 48EI
Mel 2 16EI
梁右端的转角为: 梁的变形能为:
2
θ
Fl 2 16EI
Mel 3EI
Vε
1 2
F1
1 2
Me 2
1 EI
(
F 2l3 96
Me2l 6
MeFl 2 16
)
(Energy Method)
We will not consider other forms of energy such as thermal energy, chemical energy, and electromagnetic energy. Therefore, if the stresses in a body do not exceed the elastic limit, all of work done on a body by external forces is stored in the body as elastic strain energy.
3.弯曲变形的变形能
Me
来自百度文库
（Strain energy for flexural loads） θ
Me • 纯弯曲（pure bending )
Me
Me
Vε
W
1 2 Me
θ
1 2 Me
Mel EI
M 2l 2EI
• 横力弯曲（nonuniform bending ）
Vε
Me2( x)dx l 2EI ( x)
C
Vε
1 2
Fδ
F--广义力(包括力和力偶)
δ--广义位移
F1
(包括线位移和角位移)
1
2
C'
A
假设广义力按某一比例由零增加到最终值对应的广义位移也 由零增加到最终值.
(Energy Method)
对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，
任一广义位移,例如 2可表示为
δ2 C1F1 C2F2 C3F3
l
l
F
积分得:
W
dW
F 0
F1
ElAdF1
F 2l 2EA
F 2
Δl
(Energy Method)
根据功能原理
Vε= W , 可得以下变形能表达式
Vε
W
1 FΔl 2
1 2
FNΔl
Δl Fl FNl EA EA
Vε
F 2l 2EA
FN2l 2EA
当轴力或截面发生变化时:
Vε
n i 1
FN2i li 2Ei Ai
(Energy Method) 四、功能原理（Work-energy principle）
可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功. 对 于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数 值上就等于积蓄在物体内的应变能.
The formula:
Vε = W （Work-Energy Principle）
(Energy Method)
例题3 试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B
截面的垂直位移. 已知EI为常量.
B
解： M( ) FRsin
F
Vε
M 2( ) Rd
l 2EI
π 2
(
FRsin
)2
Rd
πF 2R3
A
0 2EI
8EI
W
1F 2
y
由Vε=W 得
y
πFR3 4EI
R
θ
O
(Energy Method)
d
x
dx
(Energy Method)
将 = G 代如上式得
uε
1 τγ 2
uε
G 2
γ2
2
2G
等直圆杆扭转时应变能的计算
Vε V uεdV l AuεdAdx
a
uε
G 2
γ2
2
2G
b z
y
d
x
dx
dx
(Energy Method)
( T ρ)2
Vε
l
τ 2 dAdx A 2G
2.扭转杆内的变形能（Strain energy for torsional loads）
Me
Me
Me
o
B
l
Vε
W
1 2
M
e
Δ
1 2 Me
Mel GIp
Me2l 2GIp
T 2l 2GIp
Vε
T 2( x) dx l 2GIp ( x)
或
Vε
n i 1
Ti2li 2Gi Ipi
(Energy Method)
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移,变形和内力 等的方法.
二、外力功（Work of the external force）
固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移, 外力因此而做功,则成为外力功.
三、变形能（Strain energy）
在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄 的能量,称为弹性变形能,简称变形能.
(Energy Method)
3
F2
B
B' F3
C
F1
1
2
A
Fi
i
Fi
i
在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功
Vε
1 2
(
F1δ1
F2δ2
F3δ3 )
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）
(Energy Method)
三、变形能的应用（Application of strain energy）
1.计算变形能（Calculating strain energy） 2.利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection）
(Energy Method)
当轴力或截面连续变化时：Vε
l FN2( x)dx 0 2EA( x)
比能 （ strain energy density）:
单位体积的应变能. 记作u
uε
U V
1 FΔl 2
Al
1 σε 2
σ Eε
uε
1 σε 2
σ2 2E
Eε 2 2
（单位 J/m3)
(Energy Method)
先加力 F 后,再加力偶 Me
（1）先加力F后,C 点的位移
1
Fl 3 48EI
l/2
l/2
F
A
C
B
1
力F 所作的功为
W
1 2
F
1
1F 2
Fl 3 48EI
（2）力偶由零增至最后值 Me
l/2
l/2
F Me
A
C
B
B 截面的转角为 θ Mel
3EI
力偶 Me 所作的功为
W2
1 2
Meθ
1 2
Me
Mel 3EI
l
A
Ip 2G
dAdx
l ( T )2 ρ2dA T 2l
2G Ip A
2GIp
Vε
Me2l 2GIp
将 Tl Mel
GIp GIp
代入上式得
Vε
Me 2
(Energy Method)
二、变形能的普遍表达式
（General formula for strain energy）
3
F2
B
B' F3
例题4 拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度EI ,受到F1和F2 两个力作用.
(1) 若先在 B 截面加 F1, 然后在 C 截面加 F2;
A
a
(2) 若先在 C 截面加 F2, 然后在 B 截面加 F1.
B
F1
b
分别计算两种加力方法拉杆的应变能.
C
F2
(Energy Method)
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
B2
F2a EA
在加 F2 过程中 F1 作功（常力作功）
W3
F1 B2
F1F2a EA
所以应变能为
Vε
W
1 2
F1
B1
1 2
F2
C
2
F1 B2
F12a F22(a b) F1F2a
2EA 2EA
EA
A
a
B
F1
b C
F2
(Energy Method)
（2）若先在C截面加F2 ,然后B截面加F1.
例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度.
解： M( x) F x
Vε
M 2( x)dx l 2EI
l (-Fx)2dx F 2l 3
0 2EI
6EI
W
1F 2
wB
由Vε=W 得
wB
Fl 3 3EI
A
l
F
B x
(Energy Method)
例题2 试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截
(Energy Method)
4.组合变形的变形能（Strain energy for combined loads) 截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,
力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.
Vε
FN2( x) dx l 2EA( x)
T 2( x) dx l 2GIp ( x)