4-与或图搜索
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a b
5-5=0
a b
6-5=1
a
5-6=-1
b
a b
5-5=0
a b
5-4=1
6-4=2
5-5=0
23 4-5=-1
5-6=-1 人工智能6-6=0
4-6=-2 sspu 王帅
极大极小法
在极大极小分析法中，总是先生成一定深 度的博弈树，然后对端节点进行估值，再 计算出上层节点的倒推值，这样做的效率 很低 由于博弈树具有“与”节点和“或”节点 逐层交替出现，如果能边生成节点边计算 估值计算倒推值，就有可能删去一些不必 要的节点，从而减少搜索及计算的工作量
5
人工智能 sspu 王帅
等价变换
对于复杂问题，除了可用“分解”方法进 行求解外，还可利用等价变换，把它变换 为若干个较容易求解的新问题，若新问题 中有一个可解，则就得到了原问题的解 问题的等价变换过程，也可用一个图表示， 称为“或图”
…...
6
人工智能 sspu 王帅
与或图
与图和或图结合起 来使用，此时的图 称为“与或图”， 其中既有“与”节 点，也有“或”节 点 后面介绍的更多的 是“与或树”
≤1 1 ≥6
b
≥0 0
n e
3
k
a
0
c
≤-3
g
5 4
i
1
≤-3
6
j
0
5
-3
3
3
-3
0
2
2
-3
0
-2
3 5 4
1
-3
0 6
8 9
-3
30
人工智能
sspu 王帅
-剪枝
在-剪枝 技术中，一个节点的第一个子 节点的倒推值或估值是很重要的 对于一个“或”节点，如果估值最高的子 节点最先生成，或者对于一个“与”节点， 估值最低的子节点最先生成，则被剪除的 节点数最多，搜索的效率最高。这称为最 优-剪枝 法
目标
7
人工智能 sspu 王帅
初始节点s a c b
目标
与或图的其他概念
本原问题
不能在分解或变换，而且直接可解的子问题
端节点与终止节点
没有子节点的节点称为端节点 本原问题对应的节点称为终止节点
终止节点一定是端节点，端节点不一定是终
止节点
8
人工智能 sspu 王帅
与或图的其他概念
可解节点
（3,2,2）
（4,3）
（3,3,1）
（5,1,1） （4,2,1）
（4,1,1,1） （3,1,1,1,1）
（3,2,1,1）
（2,2,2,1） 我方必胜
sspu 王帅
（2,2,1,1,1）
人工智能
（2,1,1,1,1,1） 15
对于较简单的博弈问题，可以求出解图，解图 代表了从开局到终局任何阶段上的弈法，但这 对于复杂的博弈问题是不可能实现的 在博弈问题中，每个格局可供选择的行动方案 有很多，因此会生成十分庞大的博弈树。
全信息
对垒过程中，双方都了解当前格局及过去的历史
非偶然
双方都是理智的分析决定自己的行动，不存在“碰运气”的偶然因
素
11
人工智能
sspu 王帅
博弈树
在博弈过程中，任何一方都希望自己取得胜利。因此，在 某一方当前有多个行动方案可供选择时，他总是挑选对自 己最有利而对对方最不利的那个方案行动。 如果我们站在A方立场，则可供A选择的若干方案之间是 “或”关系，因为主动权在A方手里，他或者选择这个方 案，或者选择另一个方案，完全由A决定 但若B也有若干可供选择的方案，则对A来说这些方案之间 是“与”关系，因为这时主动权在B，这些可供选择的方 案中的任何一个都可能被B选中，A必须考虑对自己最不利 的情况的发生 把上述博弈过程用图表示出来，得到的是一棵“与／或” 树 注意：该“与／或”树是始终站在某一方（例如Ａ方）的 立场上得出的，不能一会站在Ａ方立场，一会又站在Ｂ方 立场
28
人工智能 sspu 王帅
-剪枝技术的一般规律
剪枝的条件：
后辈节点的值≤祖先节点的值时， 剪枝 后辈节点的 值≥祖先节点的值时， 剪枝
简记为：
极小≤极大， 剪枝
极大≥极小， 剪枝
29
人工智能
sspu 王帅
-剪枝 —例
f
≤0 0 ≥0 1
d
≥3
m h
≥1 1
中国象棋 一盘棋平均走50步，总状态数约为10161。 假设1毫微秒走一步，约需10145年。 西洋跳棋 博弈树约有1040个节点 围棋
结论：不可能穷举。试图利用完整的博弈树来 进行分析是很困难的
16
人工智能 sspu 王帅
博弈树搜索
可行的办法
只生成一定深度的博弈树，然后进行极大极小分析，
基本思想
设博弈双方中一方为A，另一方为B，极大极小分析法是为其中
的一方（例如A）寻找一个最优行动方案的方法 为了找到当前最优方案，需对各个方案可能产生的后果进行比 较，考虑每个方案实施后对方可能采取的所有行动，并计算可 能的得分 为计算得分，需根据问题的特性信息定一个估价函数，用来估 算当前博弈树端节点的得分（称为静态估值） 当端节点的估值计算出来后，再推算父节点的得分（成为倒推 值）
24
人工智能 sspu 王帅
极大极小法—计算倒推值示例
1
b
0
1
a
0
3
1
6
极大
极小
0
-3
3
-3
-3
-2
1
-3
6
-3
0
5
-3
3
3
-3
0
2
2
-3
0
-2
3 5 4
1
-3
0 6
8 9
-3
25
人工智能
sspu 王帅
-剪枝
S0
3 ≥3 S2 ≤2
S1
3
3 5 S3 S4
2 S5 S6
设有博弈树，各端点的估值如 图所示，其中S6还没计算估值。 由S3与S4的估值得到S1的倒推 值为3，这表示S0的倒推值最小 为3。另外，由S5的估值得知S2 的倒推值最大为2，因此S0的倒 推值为3。 这里，虽然没有计算S6的估值， 仍然不影响对上层节点倒推值 的推算，这表示S6这个分枝可 以从博弈树中剪去
例
b a
则f(P)=6-4=2
21
人工智能
sspu 王帅
一字棋
假定具有对称性的两个棋局算作一个棋局
a a
还假定A先走，我们站在A的立场上 为了不至于生成太大的博弈树，假设每次只 扩展两层
22
人工智能
sspu 王帅
最佳走法
-1
a
-2
a
1
a
a
b
a
b
a b
b a a
b
b a b a
6-5=1
20
人工智能
sspu 王帅
一字棋
估价函数定义如下
设棋局为P，估价函数为f(P) 若P是A必胜的棋局，则f(P)=+∞ 若P是B必胜的棋局，则f(P)=-∞ 若P是胜负未定的棋局，则f(P)=f(+P)-f(-P)
> 其中f（+P）表示棋局P上有可能使a成为三子一线的数目 > 其中f（-P）表示棋局P上有可能使b成为三子一线的数目
13
人工智能 sspu 王帅
例—分钱币问题
有一堆数目为Ｎ的钱币，由两位选手轮流 进行分堆，要求每个选手每次只把其中某 一堆分成数目不等的两小堆，直到有一位 选手无法把钱币再分成不相等的两堆时就 得认输
14
人工智能
sspu 王帅
分钱币问题 状态空间图及搜索解图
对方先走 （6,1）
（7）
（5,2）
1
a
0
3
1
6
极大
极小
0
-3
3
-3
-3
-2
1
-3
6
-3
0
5
-3
3
3
-3
0
2
2
-3
0
-2
3 5 4
1
-3
0 6
8 9
-3
19
人工智能
sspu 王帅
极大极小法应用
例：一字棋 设有九个空格，由A，B二人对弈，轮到谁走 棋谁就往空格上放自己的一只棋子，谁先使自 己的棋子构成三子成一线，谁就取得了胜利 设A的棋子用a表示，B的棋子用b表示
人工智能 sspu 王帅
26
-剪枝
对于“或”节点，它取当前子节点中的最 大倒推值最为它倒推值的下界，称此值为 值 对于“与”节点，它取当前子节点中的最 小倒推值最为它倒推值的上界，称此值为 值
27
人工智能
sspu 王帅
-剪枝技术的一般规律
任何“或”节点x的值如果不能降低其父节点 的值，则对节点x以下的分枝可停止搜索，并 使x的倒推值为。这种剪枝称为剪枝 任何“与”节点x的值如果不能降低其父节点 的值，则对节点x以下的分枝可停止搜索，并 使x的倒推值为 。这种剪枝称为剪枝 注意： 剪枝和剪枝，剪去的都是节点x以下 的分枝，此时的x节点还不能剪去。因为x节点 对计算其父节点的倒推值还是有用的。
找出当前最好的行动方案（极大极小搜索是博弈树 搜索最常用的基本方法） 在此之后，再在已经选定的分枝上扩展一定深度， 再选最好的方案 如此进行，直到取得胜败的结果为止
每次生成博弈树的深度，当然越大越好，但由 于受到计算机存储空间的限制，只能根据实际 情况而定
17
人工智能 sspu 王帅
极大极小分析法
9
人工智能 sspu 王帅
AO* 算法
也是一种启发式搜索算法，与A*算法有些 类似 具体算法步骤（略）
10
人工智能
sspu 王帅
2.3 博弈树搜索
博弈
诸如下棋、打牌、战争等一类竞争性智能活动称为博弈
最简单的一种博弈具有以下特征
二人零和
双方对垒，轮流采取行动； 对一方有利的对另一方必然不利； 博弈结果只能有三种情况：A胜B败、B胜A败、平局
与或图搜索
1
主要内容
与或图的概念 与或树搜索 博弈树搜索（重点）
2
人工智能
sspu 王帅
与或图的概念
在上一章状态空间搜索的问题中，一个问题可 以有几种求解方法，只要其中一种方法可以求 解，则该问题就可以求解。即该节点的后继节 点之间是“或”的关系，即只要一个后继节点 能够求解，则该节点也就可以求解了。从初始 节点到目标节点之间，可以得到一条由节点序 列组成的求解路径 但现实世界中，有时一个问题也可能需要求解 几个子问题，这些子问题必须全部求解，才可 求解原始问题，即这些子问题之间是“与”的 关系。这类问题可以用与或图表示
31
人工智能 sspu 王帅
-剪枝
S0
Awk.baidu.com
B
19
20 17
15
无法剪枝 思考：如果把A，B互换， 会怎样？ 答：若把A，B互换，则D， E节点可以剪去
C
D
E
32
人工智能
sspu 王帅
-剪枝
S0
A
B
10
同样无法剪枝 但若把A，B互换，则可 剪枝D，E
25 17
15
C
D
E
33
人工智能
sspu 王帅
作业
P75 2.6
34
人工智能
sspu 王帅
3
人工智能 sspu 王帅
与或图的概念
对于一个复杂问题，直接求解往往比较困 难。此时，可以通过下述方法进行简化
分解 等价变换
4
人工智能
sspu 王帅
分解
把一个复杂问题分解为若干个较简单的子问题， 每个子问题又继续分解为若干个更简单的子问 题，重复此过程，直到不需要再分解或者不能 在分解为止。 然后对每个子问题分别求解，最后把各子问题 的解复合起来就得到了原问题的解。 这时子节点间是“与”关系 …... 通常用一条弧把各边连接起来 构成的图称为“与图” K个 若一节点有k个与关系子节点，则称该节点有一 个k-连接符
对“或”节点，选其子节点中一个最大的得分作为它的得分（使
自己在可选方案中选一个最己最有利的方案） 对“与”节点，选其子节点中一个最小的得分作为它的得分（这 是为了立足于最坏的情况）
如果一个方案能获得较大的倒推值，则它就是当前最好的方案
18
人工智能
sspu 王帅
极大极小法—计算倒推值示例
1
b
0
在与或树中，满足下列条件之一的称为可解节点 是一个终止节点 是一个“或”节点，且其子节点中至少有一个是可解节点 是一个“与”节点，且其子节点全部是可解节点
不可解节点
不是可解节点的节点
解树
由可解节点构成，且由这些可解节点可推出初始节
点（对应于原始问题）为可解节点的子树称为解树 在解树中一定包含初始节点
12
人工智能 sspu 王帅
博弈树的特点
博弈的初始格局是初始节点 在博弈树中，“或”节点和“与”节点是逐层 交替出现的
己方扩展的节点之间是“或”关系
对方扩展的节点之间是“与”关系 双方轮流扩展节点
所有能使己方获胜的终局都是本原问题，相应 的节点是可解节点；所有使对方获胜的终局都 是不可解节点
5-5=0
a b
6-5=1
a
5-6=-1
b
a b
5-5=0
a b
5-4=1
6-4=2
5-5=0
23 4-5=-1
5-6=-1 人工智能6-6=0
4-6=-2 sspu 王帅
极大极小法
在极大极小分析法中，总是先生成一定深 度的博弈树，然后对端节点进行估值，再 计算出上层节点的倒推值，这样做的效率 很低 由于博弈树具有“与”节点和“或”节点 逐层交替出现，如果能边生成节点边计算 估值计算倒推值，就有可能删去一些不必 要的节点，从而减少搜索及计算的工作量
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人工智能 sspu 王帅
等价变换
对于复杂问题，除了可用“分解”方法进 行求解外，还可利用等价变换，把它变换 为若干个较容易求解的新问题，若新问题 中有一个可解，则就得到了原问题的解 问题的等价变换过程，也可用一个图表示， 称为“或图”
…...
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人工智能 sspu 王帅
与或图
与图和或图结合起 来使用，此时的图 称为“与或图”， 其中既有“与”节 点，也有“或”节 点 后面介绍的更多的 是“与或树”
≤1 1 ≥6
b
≥0 0
n e
3
k
a
0
c
≤-3
g
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1
≤-3
6
j
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-3
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2
2
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3 5 4
1
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0 6
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人工智能
sspu 王帅
-剪枝
在-剪枝 技术中，一个节点的第一个子 节点的倒推值或估值是很重要的 对于一个“或”节点，如果估值最高的子 节点最先生成，或者对于一个“与”节点， 估值最低的子节点最先生成，则被剪除的 节点数最多，搜索的效率最高。这称为最 优-剪枝 法
目标
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人工智能 sspu 王帅
初始节点s a c b
目标
与或图的其他概念
本原问题
不能在分解或变换，而且直接可解的子问题
端节点与终止节点
没有子节点的节点称为端节点 本原问题对应的节点称为终止节点
终止节点一定是端节点，端节点不一定是终
止节点
8
人工智能 sspu 王帅
与或图的其他概念
可解节点
（3,2,2）
（4,3）
（3,3,1）
（5,1,1） （4,2,1）
（4,1,1,1） （3,1,1,1,1）
（3,2,1,1）
（2,2,2,1） 我方必胜
sspu 王帅
（2,2,1,1,1）
人工智能
（2,1,1,1,1,1） 15
对于较简单的博弈问题，可以求出解图，解图 代表了从开局到终局任何阶段上的弈法，但这 对于复杂的博弈问题是不可能实现的 在博弈问题中，每个格局可供选择的行动方案 有很多，因此会生成十分庞大的博弈树。
全信息
对垒过程中，双方都了解当前格局及过去的历史
非偶然
双方都是理智的分析决定自己的行动，不存在“碰运气”的偶然因
素
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人工智能
sspu 王帅
博弈树
在博弈过程中，任何一方都希望自己取得胜利。因此，在 某一方当前有多个行动方案可供选择时，他总是挑选对自 己最有利而对对方最不利的那个方案行动。 如果我们站在A方立场，则可供A选择的若干方案之间是 “或”关系，因为主动权在A方手里，他或者选择这个方 案，或者选择另一个方案，完全由A决定 但若B也有若干可供选择的方案，则对A来说这些方案之间 是“与”关系，因为这时主动权在B，这些可供选择的方 案中的任何一个都可能被B选中，A必须考虑对自己最不利 的情况的发生 把上述博弈过程用图表示出来，得到的是一棵“与／或” 树 注意：该“与／或”树是始终站在某一方（例如Ａ方）的 立场上得出的，不能一会站在Ａ方立场，一会又站在Ｂ方 立场
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人工智能 sspu 王帅
-剪枝技术的一般规律
剪枝的条件：
后辈节点的值≤祖先节点的值时， 剪枝 后辈节点的 值≥祖先节点的值时， 剪枝
简记为：
极小≤极大， 剪枝
极大≥极小， 剪枝
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人工智能
sspu 王帅
-剪枝 —例
f
≤0 0 ≥0 1
d
≥3
m h
≥1 1
中国象棋 一盘棋平均走50步，总状态数约为10161。 假设1毫微秒走一步，约需10145年。 西洋跳棋 博弈树约有1040个节点 围棋
结论：不可能穷举。试图利用完整的博弈树来 进行分析是很困难的
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人工智能 sspu 王帅
博弈树搜索
可行的办法
只生成一定深度的博弈树，然后进行极大极小分析，
基本思想
设博弈双方中一方为A，另一方为B，极大极小分析法是为其中
的一方（例如A）寻找一个最优行动方案的方法 为了找到当前最优方案，需对各个方案可能产生的后果进行比 较，考虑每个方案实施后对方可能采取的所有行动，并计算可 能的得分 为计算得分，需根据问题的特性信息定一个估价函数，用来估 算当前博弈树端节点的得分（称为静态估值） 当端节点的估值计算出来后，再推算父节点的得分（成为倒推 值）
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人工智能 sspu 王帅
极大极小法—计算倒推值示例
1
b
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极大
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0 6
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人工智能
sspu 王帅
-剪枝
S0
3 ≥3 S2 ≤2
S1
3
3 5 S3 S4
2 S5 S6
设有博弈树，各端点的估值如 图所示，其中S6还没计算估值。 由S3与S4的估值得到S1的倒推 值为3，这表示S0的倒推值最小 为3。另外，由S5的估值得知S2 的倒推值最大为2，因此S0的倒 推值为3。 这里，虽然没有计算S6的估值， 仍然不影响对上层节点倒推值 的推算，这表示S6这个分枝可 以从博弈树中剪去
例
b a
则f(P)=6-4=2
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人工智能
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一字棋
假定具有对称性的两个棋局算作一个棋局
a a
还假定A先走，我们站在A的立场上 为了不至于生成太大的博弈树，假设每次只 扩展两层
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人工智能
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最佳走法
-1
a
-2
a
1
a
a
b
a
b
a b
b a a
b
b a b a
6-5=1
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一字棋
估价函数定义如下
设棋局为P，估价函数为f(P) 若P是A必胜的棋局，则f(P)=+∞ 若P是B必胜的棋局，则f(P)=-∞ 若P是胜负未定的棋局，则f(P)=f(+P)-f(-P)
> 其中f（+P）表示棋局P上有可能使a成为三子一线的数目 > 其中f（-P）表示棋局P上有可能使b成为三子一线的数目
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例—分钱币问题
有一堆数目为Ｎ的钱币，由两位选手轮流 进行分堆，要求每个选手每次只把其中某 一堆分成数目不等的两小堆，直到有一位 选手无法把钱币再分成不相等的两堆时就 得认输
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人工智能
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分钱币问题 状态空间图及搜索解图
对方先走 （6,1）
（7）
（5,2）
1
a
0
3
1
6
极大
极小
0
-3
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1
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人工智能
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极大极小法应用
例：一字棋 设有九个空格，由A，B二人对弈，轮到谁走 棋谁就往空格上放自己的一只棋子，谁先使自 己的棋子构成三子成一线，谁就取得了胜利 设A的棋子用a表示，B的棋子用b表示
人工智能 sspu 王帅
26
-剪枝
对于“或”节点，它取当前子节点中的最 大倒推值最为它倒推值的下界，称此值为 值 对于“与”节点，它取当前子节点中的最 小倒推值最为它倒推值的上界，称此值为 值
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人工智能
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-剪枝技术的一般规律
任何“或”节点x的值如果不能降低其父节点 的值，则对节点x以下的分枝可停止搜索，并 使x的倒推值为。这种剪枝称为剪枝 任何“与”节点x的值如果不能降低其父节点 的值，则对节点x以下的分枝可停止搜索，并 使x的倒推值为 。这种剪枝称为剪枝 注意： 剪枝和剪枝，剪去的都是节点x以下 的分枝，此时的x节点还不能剪去。因为x节点 对计算其父节点的倒推值还是有用的。
找出当前最好的行动方案（极大极小搜索是博弈树 搜索最常用的基本方法） 在此之后，再在已经选定的分枝上扩展一定深度， 再选最好的方案 如此进行，直到取得胜败的结果为止
每次生成博弈树的深度，当然越大越好，但由 于受到计算机存储空间的限制，只能根据实际 情况而定
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人工智能 sspu 王帅
极大极小分析法
9
人工智能 sspu 王帅
AO* 算法
也是一种启发式搜索算法，与A*算法有些 类似 具体算法步骤（略）
10
人工智能
sspu 王帅
2.3 博弈树搜索
博弈
诸如下棋、打牌、战争等一类竞争性智能活动称为博弈
最简单的一种博弈具有以下特征
二人零和
双方对垒，轮流采取行动； 对一方有利的对另一方必然不利； 博弈结果只能有三种情况：A胜B败、B胜A败、平局
与或图搜索
1
主要内容
与或图的概念 与或树搜索 博弈树搜索（重点）
2
人工智能
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与或图的概念
在上一章状态空间搜索的问题中，一个问题可 以有几种求解方法，只要其中一种方法可以求 解，则该问题就可以求解。即该节点的后继节 点之间是“或”的关系，即只要一个后继节点 能够求解，则该节点也就可以求解了。从初始 节点到目标节点之间，可以得到一条由节点序 列组成的求解路径 但现实世界中，有时一个问题也可能需要求解 几个子问题，这些子问题必须全部求解，才可 求解原始问题，即这些子问题之间是“与”的 关系。这类问题可以用与或图表示
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人工智能 sspu 王帅
-剪枝
S0
Awk.baidu.com
B
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20 17
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无法剪枝 思考：如果把A，B互换， 会怎样？ 答：若把A，B互换，则D， E节点可以剪去
C
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人工智能
sspu 王帅
-剪枝
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同样无法剪枝 但若把A，B互换，则可 剪枝D，E
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C
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人工智能
sspu 王帅
作业
P75 2.6
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人工智能
sspu 王帅
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人工智能 sspu 王帅
与或图的概念
对于一个复杂问题，直接求解往往比较困 难。此时，可以通过下述方法进行简化
分解 等价变换
4
人工智能
sspu 王帅
分解
把一个复杂问题分解为若干个较简单的子问题， 每个子问题又继续分解为若干个更简单的子问 题，重复此过程，直到不需要再分解或者不能 在分解为止。 然后对每个子问题分别求解，最后把各子问题 的解复合起来就得到了原问题的解。 这时子节点间是“与”关系 …... 通常用一条弧把各边连接起来 构成的图称为“与图” K个 若一节点有k个与关系子节点，则称该节点有一 个k-连接符
对“或”节点，选其子节点中一个最大的得分作为它的得分（使
自己在可选方案中选一个最己最有利的方案） 对“与”节点，选其子节点中一个最小的得分作为它的得分（这 是为了立足于最坏的情况）
如果一个方案能获得较大的倒推值，则它就是当前最好的方案
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sspu 王帅
极大极小法—计算倒推值示例
1
b
0
在与或树中，满足下列条件之一的称为可解节点 是一个终止节点 是一个“或”节点，且其子节点中至少有一个是可解节点 是一个“与”节点，且其子节点全部是可解节点
不可解节点
不是可解节点的节点
解树
由可解节点构成，且由这些可解节点可推出初始节
点（对应于原始问题）为可解节点的子树称为解树 在解树中一定包含初始节点
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博弈树的特点
博弈的初始格局是初始节点 在博弈树中，“或”节点和“与”节点是逐层 交替出现的
己方扩展的节点之间是“或”关系
对方扩展的节点之间是“与”关系 双方轮流扩展节点
所有能使己方获胜的终局都是本原问题，相应 的节点是可解节点；所有使对方获胜的终局都 是不可解节点