成才之路北师大数学选修22习题 第4章 定积分§1 含解析
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第四章 §1
一、选择题
1．一辆汽车作变速直线运动，汽车的速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)之间具有如下函数关系：v (t )＝t 2
2＋6t .求汽车在0≤t ≤2这段时间内行驶的路程s 时，将行驶时间等分成n 段，
下列关于n 的取值中，所得估计值最精确的是( )
A ．5
B ．10
C ．20
D ．50
[答案] D
[解析] 将行驶时间等分得越细，得到的估计值越精确，故选D.
2．已知曲线y ＝f (x )在x 轴下方，则由y ＝f (x )，y ＝0，x ＝－1和x ＝3所围成的曲线梯形的面积S 可表示为( )
A ．⎠⎛－13f (x )d x
B ．⎠⎛－31f (x )d x
C ．－⎠⎛－13f (x )d x
D ．－⎠⎛－31f (x )d x
[答案] C
[解析] 因为f (x )位于x 轴下方，故f (x )<0，
∴⎠⎛－13f (x )d x <0，故上述曲边梯形的面积为－⎠⎛－13f (x )d x . 3．设f (x )＝x 2＋x 6，则与⎠⎛－a a f (x )d x 的值一定相等的是( )
A ．0
B ．2⎠⎛－a a f (x )d x
C ．⎠⎛－a 0 f (x )d x
D ．⎠⎛0
a f (x )d x [答案] B
[解析] f (x )为偶函数，故它在[－a,0]上和[0，a ]上的图像关于y 轴对称，由定积分的几何意义可知⎠⎛－a
a f (x )d x ＝⎠⎛0a f (x )d x .
4.⎠⎛1
4x d x 表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为( )
[答案] B
[解析] 由定积分的几何意义可得．
5．(2014·黄冈检测)如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )
A ．|⎠⎛0
2(x 2－1)d x |
B.⎠⎛0
2(x 2－1)d x
C ．⎠⎛0
2|x 2－1|d x
D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛1
2(x 2－1)d x
[答案] C
[解析] 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛0
2|x 2－1|d x ，故选C ．
二、填空题
6．利用定积分的几何意义在⎠⎛0
39－x 2d x ＝________.
[答案] 94
π
[解析] 被积函数y ＝
9－x 2表示的曲线是圆心在原点，半径为3的圆的上半圆周，积分
区间[0,3]由定积分的几何意义可知此积分计算的是1
4
圆的面积．
所以有⎠⎛
3
9－x 2d x ＝
π×324＝9
4
π.
7．根据定积分的几何意义写出下列定积分．
(1) ⎠⎛－1
1
x d x ＝________；(2)∫2π0cos x d x ＝________.
[答案]
(1)0 (2)0
[解析] (1)如答图①所示，⎠⎛－1
1
x d x ＝－S ＋S ＝0.
(2)如答图②所示，∫2π0cos x d x ＝S 1－S 2＋S 3＝0.
8．若a ＝⎠⎜⎛0
π4 x d x ，b ＝⎠⎜⎛0π4sin x d x ，c ＝⎠⎜⎛0π
4tan x d x ，则三者之间的大小关系为________．