函数的基本性质教案

我的函数的基本性质教案
1. .函数的单调性
(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --<⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
注：如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.
2. 奇偶函数的图象特征
函数奇偶性的判定
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
注：若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.
注：对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=
;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2
b
a x +=对称. 注：若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2
(a
对称;若
)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.
3. 多项式函数1
10()n n n n P x a x a x a --=++
+的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性
(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-
(2)()f a x f x ⇔-=.
(2)函数()y f x =的图象关于直线2
a b
x +=
对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.
4. 两个函数图象的对称性
(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b
x m
+=
对称.
(3)函数)(x f y =和)(1
x f
y -=的图象关于直线y=x 对称.
25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图
象.
5. 互为反函数的两个函数的关系
a b f b a f =⇔=-)()(1.
27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11
b x f k
y -=
-,并不是)([1
b kx f
y +=-,而函数)([1
b kx f
y +=-是])([1
b x f k
y -=
的反函数. 6. 几个常见的函数方程
(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
(2)指数函数()x
f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α
=,'
()()(),(1)f xy f x f y f α==.
(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，
()
(0)1,lim
1x g x f x
→==. 7. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，
或)0)(()(1
)(≠=+x f x f a x f ， 或1
()()
f x a f x +=-(()0)f x ≠,
或[]1(),(()0,1)2
f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()
(1
1)(≠+-
=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))
()(1)
()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则
)(x f 的周期T=4a ；
(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++
()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.
8. 分数指数幂
(1)m n
a =
（0,,a m n N *
>∈，且1n >）. (2)1
m n
m n
a
a
-
=
（0,,a m n N *
>∈，且1n >）.
（2）当n
a =； 当n ,0
||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
.
10. 有理指数幂的运算性质
(1)(0,,)r
s
r s
a a a
a r s Q +⋅=>∈.
(2)()(0,,)r s rs
a a a r s Q =>∈.
(3)()(0,0,)r r r
ab a b a b r Q =>>∈.
注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.
34.对数的换底公式
log log log m a m N
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).
推论 log log m n
a a n
b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).
11. 对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;
(2)log log log a
a a M
M N N =-; (3)log log ()n
a a M n M n R =∈.
注：设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42
-=∆.若)(x f 的定义域为
R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要
单独检验.
12. 对数换底不等式及其推论
若0a >,0b >,0x >,1
x a ≠
,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1
(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.
(2)(2)当a b <时,在1(0,)a 和1
(,)a
+∞上log ()ax y bx =为减函数.
推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2
log log log 2
a a a
m n
m n +<.
四．典例解析
题型一：判断函数的奇偶性
例1．讨论下述函数的奇偶性：解：（1）函数定义域为R，
，∴f(x)为偶函数；
（另解）先化简：，显然
为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要
容易得多。

（2）须要分两段讨论：
①设
②设
③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)；
由①、②、③知，对x∈R有f(－x) =－f(x)，∴f(x)为奇函数；
（3），∴函数的定义域为
，
∴f(x)=log21=0(x=±1) ，即f(x)的图象由两个点A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；
（4）∵x2≤a2, ∴要分a >0与a <0两类讨论，
①当a >0时，
，∴当a >0时，f(x)为奇函数；
既不是奇函数，也不是偶函数.
点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。

例2．(2002天津文.16)设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y=－|f
（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。

必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）
答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。

点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。

对学生逻辑思维能力有较高的要求。

题型二：奇偶性的应用
例3．（2002上海春，4）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=lo g
3
（1+x），则f（－2）=____ _。

答案：－1；解：因为x≥0时，f（x）=lo g3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（－x）=－f（x），设x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以f（－2）=－lo g33=－1。

点评：该题考察函数奇偶性的应用。

解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。

例4．已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式。

解：由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑：
①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，
∵f(x)为偶函数，
∴当x∈[－2，0]时，f(x)= f(－x)=－2x－1,
②若x∈[－4，－2，
∴4+ x∈[0，2，
∵f(2+x)+ f(2－x)，
∴f(x)= f(4－x)，
∴f(x)= f(－x)= f[4－（－x）]= f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7；
综上，
点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。

题型三：判断证明函数的单调性
例5．（2001天津，19）设，
是
上的偶函数。

（1）求的值；（2）证明
在
上为增函数。

解：（1）依题意，对一切，有
，即。

∴
对一切
成立，则
，∴，
∵，∴。

（2）(定义法)设，则
，
由，得
，
，
∴，
即，∴
在
上为增函数。

（导数法）∵，∴
∴在
上为增函数
点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。

例6．已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)=
f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。

解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。

在R上任取x1、x2，设x1<x2，∴f(x2)= f(x1)，
∵f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，
∴当x<10时0< f(x)<1, 而当x>10时f(x)>1;
①若x1<x2<5，则0<f(x1)<f(x2)<1,
②∴0< f(x1)f(x2)<1,
∴<0,
∴F (x2)< F(x1)；
②若x2>x1>5，则f(x2)>f(x1)>1 ,
∴f(x1)f(x2)>1,
∴>0,
∴F(x2)> F (x1)；
综上，F (x)在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数。

点评：该题属于判断抽象函数的单调性。

抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。

题型四：函数的单调区间
例7．（2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）＝
（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。

.解：在定义域内任取x1＜x2，
∴f（x1）－f（x2）＝
，
∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x1－x2＜0，
只有当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时函数才单调．
当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时f（x1）－f（x2）＞0．
∴f（x）在（－b，＋∞）上是单调减函数，在（－∞，－b）上是单调减函数．
点评：本小题主要考查了函数单调性的基本知识。

对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。

例8．（1）求函数的单调区间；
（2）已知若
试确定
的单调区间和单调性。

解：（1）函数的定义域为，
分解基本函数为、
显然在
上是单调递减的，而
在
上分别是单调递减和单调递增的。

根据复合函数的单调性的规则：
所以函数在
上分别单调递增、单调递减。

（2）解法一：函数的定义域为R，
分解基本函数为和。

显然在
上是单调递减的，
上单调递增；
而在
上分别是单调递增和单调递减的。

且
，
根据复合函数的单调性的规则：
所以函数的单调增区间为；单调减区间为。

解法二：
，
，
令，得
或
，
令，
或
∴单调增区间为；单调减区间为。

点评：该题考察了复合函数的单调性。

要记住“同向增、异向减”的规则。

题型五：单调性的应用
例9．已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log
(x2+5x+4)］
2
≥0。

解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)。

又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞,0)上为减函数且f(－2)=f(2)=0。

∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2①
或log2(x2+5x+4)≤－2 ②
由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0③
由②得0＜x2+5x+4≤得
≤x＜－4或－1＜x≤④
由③④得原不等式的解集为
{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0。

例10．已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m，使f(c os2θ－3)+f(4m－2mc osθ)>f(0)对所有θ∈
［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由。

解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞］上是增函数，
∴f(x)是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f(c os2θ－3)>f(2mc osθ－4m)，
即c os2θ－3>2mc osθ－4m,即c os2θ－mc osθ+2m－2>0。

设t=c osθ,则问题等价地转化为函数
g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－
+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正。

∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；
当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－
+2m－2>04－
2<m<4+2
，
∴4－2<m≤2。