中考数学复习证明题专项练习

结论探索性试题

（常德市）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O 的割线PDE 垂直AB 于点F ，交BC 于点G ，连结PC ，∠BAC=∠BCP，求解下列问题： (1)求证：CP 是⊙O 的切线。

(2)当∠ABC=30°，BG=32，CG=34时，求以PD 、PE 的长为两根的一元二次方程. (3)若(1)的条件不变，当点C 在劣弧AD 上运动时，应再具备什么条件可使结论BG 2

=BF·BO 成立？试写出你的猜想，并说明理由。

B

P

解：(1) 连结OC ，证∠OCP=90°即可

(2)∵∠B=30°

∴∠A=∠BGP=60°

∴∠BCP=∠BGP=60° ∴ΔCPG 是正三角形. ∴ PG=CP=34 ∵ PC 切⊙O 于C

∴ PC 2=PD·PE=48)34(2= 又∵BC=36

∴AB=6,FD=33,EG=3

∴PD=23 ∴PD+PE=3103832=+

∴以PD 、PE 为两根的一元二次方程为x 2－48x ＋103=0

(3)当G 为BC 中点，OG⊥BC，OG∥AC 或∠BOG=∠BAC 时，结论BG 2=BF·BO 成立.要让此结论成立，只要证明ΔBFG∽ΔBGO 即可，凡是能使ΔBFG∽ΔBGO 的条件都可以.

（福建省南平市）如图，为测河宽，小丽在河对岸岸边任意选取一点A ，再在河这边B 处观察A ，

此时视线BA与河岸BD所成的夹角为600；小丽沿河岸BD向前走了50米到CA与河岸BD所成的夹角为450.根据小丽提供的信息能测出河宽吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由.

（结果精确到1米）

（海安县）已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的

长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F。

(1)求证：CD与⊙O相切．

(2)若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径。

(3)对于以点M、E、A、F以及CD与O⊙的切点为顶点的五边形的五条边，

从相等的关系考虑，你可以得出什么结论?请你给出证明

(1)连结OM，作ON⊥CD于N

∵⊙O与BC相切∴OM⊥BC

∵四边形ABCD是正方形∴AC平分∠BCD

∴OM=ON ∴CD与⊙O相切

(2)∵四边形ABCD是正方形

∴AD=CD=1，∠D=90°，∠ACD=45°

∴AC=NOC=45°=∠ACD

∴NC=OC=OA ∴

∵AC=AO+OC=∴AO+∴

(3)ME=FN，AE=AF

证明：作OG⊥AD，OH⊥AB

∵AC平分∠BAD ∴OG=OH ∴AE=AF

∵AD=AB ∴DF=BE

∵CD、CB与⊙O相切∴CM=CN ∵BC=DC ∴BM=DN

又∵∠B=∠D=90°∴△EBM≌△FDN ∴EM=FN

（河北省）已知线段AC=8，BD=6。

⑴已知线段AC垂直于线段BD。设图⑴、图⑵和图⑶中的四边形ABCD的面积分别为S

1、S

2

和S

3，则S

1

= ，S

2

= ，S

3

= ；

⑴⑵⑶⑷

⑵如图⑷，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，

请你就四边形ABCD 面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；

⑶当线段BD 与AC （或CA ）的延工线垂直相交时，猜想顺次连接点A ，B ，C ，D ，A 所围成的封闭图形的面积是多少？ 解：⑴24，24，24；

⑵对于线段AC 与线段BD 垂直相交（垂足O 不与点A ，C ，B ，D 重合）的任意情形，四边形ABCD 的面积为定值24. 证明如下： ∵AC ⊥BD ， ∴OB AC S BAC ∙=∆2

1，OD AC S DAC ∙=∆2

1

∴OD AC OB AC S ABCD

∙+

∙=2

121四边形

242

1)(2

1=∙=

+∙=BD AC OD OB AC

⑶顺次连接点A ，B ，C ，D ，A 所围成的封闭图形的面积仍为24.

（河北省）如图⑴，⑵，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F 。

⑴如图⑴，当点E 在AB 边的中点位置时：

①通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ； ②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ； ③请证明你的上述两猜想。

⑵如图⑵，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系。

⑴ ⑵ 解：⑴①DE=EF ；②NE=BF

③证明：∵四边形ABCD 是正方形，N ，E 分别为AD ，AB 的中点，

∴DN=EB

∵BF 平分∠CBM ，AN=AE ，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135° ∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴ ∠NDE=∠BEF ∴△DNE ≌△EBF ∴ DE=EF ，NE=BF

⑵在DA 边上截取DN=EB （或截取AN=AE ），连结NE ，点N 就使得NE=BF 成立（图略） 此时，DE=EF

（宜昌市）如图，AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ,使DC =BD ,连接AC 交⊙O 与点F.

（1）AB 与AC 的大小有什么关系?为什么?

（2）按角的大小分类, 请你判断△ABC 属于哪一类三角形，并说明理由.

解：（1）（方法1）连接DO ∵OD 是△ABC 的中位线， ∴DO∥CA.∵∠ODB＝∠C，∴OD＝BO ∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠ACB， ∴AB＝AC （方法2）连接AD ， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AO⊥BC ， ∵BD＝CD ，∴AB＝AC

（方法3）连接DO ∵OD 是△ABC 的中位线，∴OD=2

1AC

OB=OD=

2

1AB ∴AB=AC

（2） 连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°

∴∠B＜∠A DC ＝90°.∠C＜∠A DC ＝90°.∴∠B、∠C 为锐角

∵AC 和⊙O 交于点F ，连接BF ，

∴∠A＜∠BF A ＝90°.∴△ABC 为锐角三角形 （宜昌市）如图1，已知△ABC 的高AE =5，BC =

403

，∠ABC ＝45°，F 是AE 上的点，G 是点E

关于F 的对称点，过点G 作BC 的平行线与AB 交于H 、与AC 交于I ，连接IF 并延长交BC 于J ，连接HF 并延长交BC 于K ．

（1）请你探索并判断四边形HIKJ 是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；

（2）当点F 在AE 上运动并使点H 、I 、K 、J 都在△ABC 的三条边上时，求线段AF 长的取值范

围．

（图2供思考用）

E C

B A

图2

图1