第5章 动态回归与误差修正模型(讲稿)

第5章动态回归与误差修正模型本章假定变量具有平稳性，第6章将把误差修正模型的应用向非平稳变量扩展。

5.1 均衡与误差修正机制1. 均衡均衡指一种状态。

达到均衡时将不存在破坏均衡的内在机制。

这里只考虑平稳的均衡状态，即当系统受到干扰后会偏离均衡点，而内在均衡机制将努力使系统重新回到均衡状态。

1）实例下面通过一个例子说明系统均衡概念。

以两个地区某种商品的价格为例，假设地区A中该商品物价由于某种原因上升时，该商品就会通过批发商从价格低的B地区向价格高的A地区流动。

从而使批发商从中获利。

这种活动将直接导致该商品在B地区的需求增加，从而使该商品在B地区的价格上涨。

从A地区看，由于增加了该商品的供给，则导致价格下降，反过来的情形也是一样，从而使两各地区的该商品价格越来越接近。

用该两个地区的价格数据绘制一张平面图，价格A = 价格B的直线表示此问题的均衡状态。

如上所述，当价格离开这条直线后，市场机制这只无形的“手”就会把偏离均衡点的状态重新拉回到均衡状态。

随着时间推移，无论价格怎样变化，两个地区的价格都保持一致。

y t表示A地区价格，x t表示B地区价格，均衡状态下：y t =x t2）均衡的表示当然这种均衡不意味着一定是1比1的关系。

当二者之间存在一个固定的常数差y t - x t =0或y t =0 +x t当x t , y t之间存在一个固定的常数差和比例关系- 1 x t = 0yy t = 0 + 1 x t均衡表达式表示的是长期关系，即t的取值要大。

3）非均衡误差若两个变量x t ,y t永远处于均衡状态，则偏差为零。

然而由于各种因素的影响，x t , y t并不是永远处于均衡位置上，从而使u= y t -x t0，称u t为非均衡误差。

当系统偏离均衡点时，平均来说，系统将在下一期移向均衡点。

这是一个动态均衡过程。

本期非均衡误差u t是y t下一期取值的重要解释变量。

当u t > 0时，说明y t 相对于x t 取值高出均衡位置。

平均来说，变量y t 在T +1期的取值y t +1将有所回落。

所以说u t = f (y t , x t ) 具有一种误差修正机制。

非均衡状态下，y t 与x t 的关系表示y t =x t +u ty t =0 +x t +u ty t = 0 + 1 x t +u t5.2 “一般到特殊”建模法1）分布滞后模型：如果回归模型中不仅包括解释变量的本期值，而且包括解释变量的滞后（过去）值，则这种回归模型称为分布滞后模型。

例 tn i i t i t u x y ++=∑=-00βα u t IID(0, σ 2 )（5.1)上述模型的一个明显问题是x t 与x t -1 , x t -2,…, x t -n 高度相关，从而使 j 的OLS 估计值很不准确。

实际上对于分布滞后模型，这并不是一个严重问题，因为人们的注意力并不在单个回归系数上，而是在这些回归系数的和式，∑=ni i 0β上。

通过这个和式可以了解当x t 变化时，对y t 产生的长期影响。

尽管对每个j 估计得不很准确，但这些估计值的和却是相当精确的。

看下式Var(∑=n i i 0ˆβ) =∑=n i i 0)ˆ(Var β+ 2∑∑=-=n i i k k i 010)ˆ,ˆ(Cov ββ, (5.2) 若x t - i 与x t - k , (i ≠ k ) 是正相关的（实际中常常如此），则（5.2）式中的协方差项通常是负的。

当这些项的值很大（绝对值）且为负时，Var(∑=ni i 0ˆβ)比 ∑=ni i 0)ˆ(V ar β小，甚至比每个Var(i βˆ) 还小。

2）动态模型(自回归模型)：如果在回归模型的解释变量中包括被解释变量的一个或几个滞后值，则称这种回归模型为动态模型(或自回归模型)。

例 y t = 0 + 1 y t -1 + 0 x t + u t3）动态分布滞后模型：如果在分布滞后模型中包括被解释变量的若干个滞后值作解释变量，则称之为动态分布滞后模型或自回归分布滞后模型。

例tp j n i i jt ji m i i t i t u x y y ∑∑∑==-=-+++=1000βααu t IID (0, σ 2) (5.3) 用ADL (m , n , p ) 表示，其中m 是自回归阶数，n 是分布滞后阶数，p 是外生变量个数。

对ADL (m , n , p ) 模型可采用OLS 法估计，参数估计量是有偏的，但具有一致性。

最常见的是ADL (1, 1)模型，y t = 0 + 1 y t -1 +0 x t + 1 x t -1 + u t , u t IID (0, σ 2 ), (5.9)和ADL (2, 2)y t = 0 + 1 y t -1 + 2 y t -2 + 0 x t + 1 x t -1+ 2 x t -2 + u t ,u t IID (0, σ 2 )4）长期关系对于ADL (1, 1) 模型 (5.9)，x t 和y t 的长期关系是：y t -1 y t -1= 0 + 0 x t + 1 x t -1 + u t , 就长期而言 (1 -1)y t = 0 +( 0 + 1 )x t -1 + u tt t t x k k x y 101101011+=-++-=αββαα (5.10) 上式称作静态模型，参数k 0、k 1称作静态参数或长期参数。

长期参数描述变量之间的均衡关系。

动态模型 (5.9) 中的参数称作动态参数或短期参数。

短期参数描述变量通向均衡状态过程中的非均衡关系。

通过对0 , 0 和1施加约束条件，从ADL 模型（5.9）可以得到许多特殊的经济模型。

下面以9种约束条件为例，给出特定模型如下：(1)当α1 = β1 = 0 成立，摸型（5.9）变为y t = α0 +β0 x t + u t . (5.11)这是一个静态回归模型。

(2) 当0= 1= 0时，由模型（5.9）得y t = α0 + α1 y t-1 + u t . (5.12)这是一阶自回归模型。

= 0 时，则有(3) 当1 0y t = α0 + β1 x t-1 + u t . (5.13)x t-1是y t的超前指示变量。

此模型称为前导模型。

(4) 当约束条件是 1 ， 1 - 0时，（5.9）式变为y t = α0 + β0 ∆ x t+ u t . (5.14)这是一个一阶差分模型。

当x t与y t为对数形式时，上述模型为增长率模型。

(5) 若 1 = 0成立，模型（5.9）则变为一阶分布滞后模型。

y t = α0 + β0 x t+β1 x t - 1 + u t. (5.15)(6) 取 1 0，则模型（5.9）变为标准的局部调整模型（偏调整模型）。

y t = α0 + α1 y t -1 + β0x t+ u t.(5.16)0 时，由模型（5.9）得(7) 当y t = α0 + α1 y t -1 + β1 x t -1 + u t . (5.17) 模型中只有变量的滞后值作解释变量，y t的值仅依靠滞后信息。

这种模型称为“盲始”模型。

（8）给定β1 - 1 ，模型（5.9）化简为y t = α0 + α1 ( y t-1 - x t-1 ) + β0 x t+ u t(5.18)此模型称为比例响应模型。

解释变量为x t与( y t-1-x t-1)。

5）一般到特殊建模法以上所列举的例子说明实际上许多有特殊经济意义的模型都是由一个一般的ADL模型化简得到的。

这种建立模型的方法是首先从一个包括了尽可能多解释变量的“一般”ADL模型开始，通过检验回归系数的约束条件逐步剔除那些无显著性变量，压缩模型规模，（在这个过程中要始终保持模型随机误差项的非自相关性。

）最终得到一个简化（或“特殊”）的模型。

这种方法称为“一般到特殊”建模法。

也称作亨德里（Hendry）建模法。

关于检验约束条件是否成立的方法将在5.4节讨论。

在1.5节中曾讨论，模型若丢失重要解释变量将导致回归系数的OLS估计量丧失无偏性和一致性。

“一般到特殊”建模法的主要优点是能够把由于选择变量所带来的设定误差减到最小。

因为在初始模型中包括了许多变量，所以不会使回归系数的OLS 估计量存在丢失变量误差。

虽然因为在初始模型中包括了许多非重要解释变量，从而使回归参数估计量缺乏有效性，但随着检验约束条件的继续，那些非重要的解释变量被逐步剔除掉，从而使估计量缺乏有效性的问题得到解决。

5.3 误差修正模型（ECM）误差修正模型由Sargan 1964年提出，最初用于存储模型。

1977年由Hendry-Anderson和Davidson 完善。

(1)模型的表达式ECM模型由ADL (m, n, p) 模型变换而来。

下面通过ADL (1, 1) 模型推导简单的ECM模型。

有y t = 0 + 1 y t-1 + 0 x t + 1 x t-1+ u t, |α1 | < 1,u t IID (0, σ2 ), (5.25)其中u t应不存在自相关和异方差。

如果这个条件不能满足，可通过增加x t和y t的滞后项或加入新的变量从而使u t满足要求。

从上式两侧同时减y t-1，在右侧同时加减0 x t -1得y t =0+0∆x t+ ( 1 -1) y t-1+ (0+ 1)x t-1+u t (5.26)上式右侧第三、四项合并，y t = 0 + 0∆x t + ( 1 - 1) ( y t-1 - k1 x t-1) + u t(5.28) 其中k 1 = (0+ 1) / (1 - 1 )。

在上述变换中没有破坏恒等关系，所以不会影响模型对样本数据的解释能力，也不会改变OLS 估计量的性质。

进一步变换(5.28) 式y t = 0∆x t + (1- 1) ( y t-1 - k0 - k1 x t-1) + u t (5.29)其中k 0 = 0 / (1 - 1 ), k1 = (0+ 1) / (1 - )。

1y t -1 = k0 + k1 x t –1是x t和y t的长期关系，y t = 0∆x t + (1- 1) (•)是x t和y t的短期关系。

上式称为ECM模型，( 1 -1) ( y t-1- k1 x t-1) 或(1- 1) ( y t-1 - k0 - k1 x t-1)称为误差修正项。

( y t -1- k1 x t -1) 或( y t-1 - k0 - k1 x t-1)表示前一期的非均衡误差，由(5.25) 式知，若y t平稳，必有|α| < 1，所以非均衡误差项的系数( 1 -1) 必为负。

说明误差修正项对y t有一个反向修正作用。