概率论与数理统计教案-大数定律及中心极限定理
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设随机变量 X 的数学期望 E X 及方差 D X 存在，则对于任意的 0 ，有
P
X
E
X
DX
2
.
2、随机变量序列极限的定义方式
设 X1, X2,是 一 个 随 机 变 量 序 列 。 如 果 存 在 一 个 常 数 c ， 使 得 对 任 意 一 个 0 ， 总 有
lim
n
P(|
Xn
c | ) 1
。那么，称随机变量序列
X1, X2,依 概 率 收 敛 于
c， 记 作
X n P c 。
即对任意 0, P(| X n c | ) 0, n 。
1
二、定理与性质
1、如果 X n P c ，Yn P b ，且函数 g(x, y) 在 (a, b) 处连续，那么
g( X n ,Yn ) P g(a, b) 。
2、切比雪夫大数定律
设随机变量序列
X1,
X 2,,
X n , 相互独立（或两两不相关），若存在常数
c
，使得
D
Xi
=
2 i
c
，
i 1, 2, , n, .则对任意 0 ，有
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E Xi
1.
也可以表示为 X
1 n
n i 1
Xi
P 1 n
概率论与数理统计教学教案
第五章大数定律及中心极限定理
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材 大纲要求
第五章 第一节 大数定律
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
切比雪夫不等式和依概率收敛的定义，三个大数 定律的讲解 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》
Hale Waihona Puke Baidu
课的类型 教学手段 教学难点
作业布置
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 独立同分布，且 X i B(1, p) ， i 1, 2, 。则对任意 0 ，有
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
p
1.
三、主要例题：
例 1 设X ~ N (, 2 )，（1）求 P( X 3 ) ；（2）用切比雪夫不等式估计概率 P( X 3 ) 。
理解切比雪夫不等式的意义
P X EX
掌握用切比雪夫不等式求解概率
的上界
理解依概率收敛的定义 掌握切比雪夫大数定律 掌握伯努利大数定律 掌握辛钦大数定律 理解大数定律在实际中的应用
新知识课
黑板多媒体结合
用切比雪夫不等式求解概率上 界；理解依概率收敛的定义 课后习题
教 学 基本内容
一、基本概念： 1、切比雪夫不等式
授课序号 02
教学基本指标
教学课题 第五章 第二节 中心极限定理 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学重点 中心极限定理求解
课的类型 教学手段 教学难点
新知识课
黑板多媒体结合
中心极限定理求解
参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》
作业布置 课后习题
大纲要求 掌握 应用中心极限定理求解相互独立随机变量之和的近似概率值
且均服从U (0.5, 0.5) 。（1）如果将 1200 个数相加，求误差总和的绝对值超过 20 的概率；（2）要
使误差总和的绝对值不超过 5 的概率超过 0.95，最多有多少个加数？
3
例 2 高尔顿钉板实验 有一个板上面有 n 排钉子，每排相邻的两个钉子之间的距离均相等。上一排钉子的
水平位置恰巧位于下一排紧邻的两个钉子水平位置的正中间。从上端入口处放入小球，在下落过程中小球碰到 钉子后以相等的可能性向左或向右偏离，碰到下一排相邻的两个钉子中的一个。如此继续下去，直到落入底部 隔板中的一格中。问当有大量的小球从上端依次放入，任其自由下落,问小球最终在底板中堆积的形态. 设钉子 有 16 排。在街头赌博中,庄家在高尔顿钉板的底板两端距离原点超出 8 格的位置放置了值钱的东西来吸引顾客， 试用中心极限定理来揭穿这个街头赌博中的骗术。
例 3 某单位的局域网有 120 个终端,每个终端有 5%的时间在使用,如果各个终端使用与否是相互独立的. （1）计算在任何时刻同时有 10 个或更多个终端在使用的概率；（2）用中心极限定理计算在任何时刻同时有 10 个或更多个终端在使用的概率近似值；（3）用泊松定理计算在任何时刻同时有 10 个或更多个终端在使用的概 率近似值。
例 2
设 X 1, X 2 , 是独立同分布的随机变量序列.在下列三种情形下,当 n
时,试问 X
，
1 n
n i 1
X
2 i
分别依概率收敛于什么值？
（1） X i B (m, p ),i 1, 2,;
（2） X i E , i 1, 2,;
2
（3） X i N , 2 , i 1,2, .
4
教 学 基本内容
一、基本概念： 1、列维-林德伯格中心极限定理
设 随 机 变 量 序 列 X1, X 2,, X n, 独 立 同 分 布 ， 若 E Xi ， D Xi 2 ， 且
0 2 , i 1, 2,, n, 。则对任意实数 x ，有
n
Xi n
lim P i1
n i 1
E
Xi
。
3、独立同分布大数定律
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 独立同分布，若 E X i ， D X i = 2 ， i 1, 2, 。则
对任意 0 ，有
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
1.
也可以表示为
X
1 n
n i 1
Xi
P
.
4、贝努利大数定律
x x.
n
n
2、德莫弗—拉普拉斯中心极限定设随机变量序列 X1, X 2 ,, X n , 独立同分布，且 X i B(1, p) ， i 1, 2, 。则对任何实数 x ，有
n
X i np
lim P i1
x x.
n np 1 p
二 主要例题： 例1 已知某计算机程序进行加法运算时，要对每个加数四舍五入取整。假设所有取整的误差相互独立，并
P
X
E
X
DX
2
.
2、随机变量序列极限的定义方式
设 X1, X2,是 一 个 随 机 变 量 序 列 。 如 果 存 在 一 个 常 数 c ， 使 得 对 任 意 一 个 0 ， 总 有
lim
n
P(|
Xn
c | ) 1
。那么，称随机变量序列
X1, X2,依 概 率 收 敛 于
c， 记 作
X n P c 。
即对任意 0, P(| X n c | ) 0, n 。
1
二、定理与性质
1、如果 X n P c ，Yn P b ，且函数 g(x, y) 在 (a, b) 处连续，那么
g( X n ,Yn ) P g(a, b) 。
2、切比雪夫大数定律
设随机变量序列
X1,
X 2,,
X n , 相互独立（或两两不相关），若存在常数
c
，使得
D
Xi
=
2 i
c
，
i 1, 2, , n, .则对任意 0 ，有
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E Xi
1.
也可以表示为 X
1 n
n i 1
Xi
P 1 n
概率论与数理统计教学教案
第五章大数定律及中心极限定理
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材 大纲要求
第五章 第一节 大数定律
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
切比雪夫不等式和依概率收敛的定义，三个大数 定律的讲解 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》
Hale Waihona Puke Baidu
课的类型 教学手段 教学难点
作业布置
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 独立同分布，且 X i B(1, p) ， i 1, 2, 。则对任意 0 ，有
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
p
1.
三、主要例题：
例 1 设X ~ N (, 2 )，（1）求 P( X 3 ) ；（2）用切比雪夫不等式估计概率 P( X 3 ) 。
理解切比雪夫不等式的意义
P X EX
掌握用切比雪夫不等式求解概率
的上界
理解依概率收敛的定义 掌握切比雪夫大数定律 掌握伯努利大数定律 掌握辛钦大数定律 理解大数定律在实际中的应用
新知识课
黑板多媒体结合
用切比雪夫不等式求解概率上 界；理解依概率收敛的定义 课后习题
教 学 基本内容
一、基本概念： 1、切比雪夫不等式
授课序号 02
教学基本指标
教学课题 第五章 第二节 中心极限定理 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学重点 中心极限定理求解
课的类型 教学手段 教学难点
新知识课
黑板多媒体结合
中心极限定理求解
参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》
作业布置 课后习题
大纲要求 掌握 应用中心极限定理求解相互独立随机变量之和的近似概率值
且均服从U (0.5, 0.5) 。（1）如果将 1200 个数相加，求误差总和的绝对值超过 20 的概率；（2）要
使误差总和的绝对值不超过 5 的概率超过 0.95，最多有多少个加数？
3
例 2 高尔顿钉板实验 有一个板上面有 n 排钉子，每排相邻的两个钉子之间的距离均相等。上一排钉子的
水平位置恰巧位于下一排紧邻的两个钉子水平位置的正中间。从上端入口处放入小球，在下落过程中小球碰到 钉子后以相等的可能性向左或向右偏离，碰到下一排相邻的两个钉子中的一个。如此继续下去，直到落入底部 隔板中的一格中。问当有大量的小球从上端依次放入，任其自由下落,问小球最终在底板中堆积的形态. 设钉子 有 16 排。在街头赌博中,庄家在高尔顿钉板的底板两端距离原点超出 8 格的位置放置了值钱的东西来吸引顾客， 试用中心极限定理来揭穿这个街头赌博中的骗术。
例 3 某单位的局域网有 120 个终端,每个终端有 5%的时间在使用,如果各个终端使用与否是相互独立的. （1）计算在任何时刻同时有 10 个或更多个终端在使用的概率；（2）用中心极限定理计算在任何时刻同时有 10 个或更多个终端在使用的概率近似值；（3）用泊松定理计算在任何时刻同时有 10 个或更多个终端在使用的概 率近似值。
例 2
设 X 1, X 2 , 是独立同分布的随机变量序列.在下列三种情形下,当 n
时,试问 X
，
1 n
n i 1
X
2 i
分别依概率收敛于什么值？
（1） X i B (m, p ),i 1, 2,;
（2） X i E , i 1, 2,;
2
（3） X i N , 2 , i 1,2, .
4
教 学 基本内容
一、基本概念： 1、列维-林德伯格中心极限定理
设 随 机 变 量 序 列 X1, X 2,, X n, 独 立 同 分 布 ， 若 E Xi ， D Xi 2 ， 且
0 2 , i 1, 2,, n, 。则对任意实数 x ，有
n
Xi n
lim P i1
n i 1
E
Xi
。
3、独立同分布大数定律
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 独立同分布，若 E X i ， D X i = 2 ， i 1, 2, 。则
对任意 0 ，有
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
1.
也可以表示为
X
1 n
n i 1
Xi
P
.
4、贝努利大数定律
x x.
n
n
2、德莫弗—拉普拉斯中心极限定设随机变量序列 X1, X 2 ,, X n , 独立同分布，且 X i B(1, p) ， i 1, 2, 。则对任何实数 x ，有
n
X i np
lim P i1
x x.
n np 1 p
二 主要例题： 例1 已知某计算机程序进行加法运算时，要对每个加数四舍五入取整。假设所有取整的误差相互独立，并