安徽大学历年组合数学试卷

求可重复排列，11 个无区别的球，7 个有区别的盒子。

1.无空盒，求排列数；C(11-1,7-1)

2.允许空盒，但 1 号盒子最多只有一个球，求排列数

C(6+11-1,11) + C(6+10-1,10)

a(n)=a( n-1 ) +C( n-2，3)之类。书上课后布置的题一样吧递推。

三、n个0、1的二进制的排列，求仅起始二位出现11 的排列数。

bn = bn-1 + bn-2;

an = bn-3=bn-4 + bn-5;

即an = an-1 + an-2; a1 = 0; a2 =1;

四、由1、2、3三个数字，组成的五位数的个数。要求1和3出现

2 出现奇次数。偶次数，

(1+x2/2! + x4/4 ！)2 (x + x3/3! + x5/5!)

五、n 对夫妻排成一行，求每对夫妻不在一起的排列数。

六、3*3 数格问题。红蓝二种涂色，翻转和旋转结果一致的不重复计数。

1.求方案数

(1)^9 一个；(1)^3 (2)^3 四个；(1)^1(2)^4 一个；(1)^1(4)^2 两个故总方

案N = (2^9 + 4*2^6 + 2^5 + 2*2^3)/8

2.用 2 红7 蓝涂色，方案数。画出结果

N = (r+b)^9 + 4*(r+b)^3(r^2 + b^2)^3 + (r+b)(r^2+b^2)^4 + 2*(r +

b)(r^4+b^4)^2

3.不记得题目了。

2011-2012组合数学期末考试试题

一．A={1,2,3,4,5,6,7} ，从A中取11个数组成非递减序列，1最多出现1次，求方案数。二．a1=0,a2=2，从a3开始，a n是a n-1与a n-2连线的中点，求a n

an = (an-1 + an-2)/2

特征方程为2x^2 - x -1 =0

解得x1 = -1/2 x2 = 1 ;

令an = A(-1/2)^n + B(1)^n

又a1 = 0 ,a2 = 2 代入求得

A = 8/3

B = 4/3

故an = 8/3*(-1/2)^n + 4/3

三．写出n 个元素的错排公式，并给出证明(方法不限)

Dn = (1 - 1 + 1/2! -1/3! + _+1/n ！)n！

证明; 记Ai 为数i 在原来位置的排列

|Ai| = (n-1) ！|Ai ^ Aj| =(n-2)! 依次类推|A1^A2 ^An| =1

则错排Dn =| A1^A2^...^An | =n! - C(n,1)(n-1) ！+C(n,2)(n-2)! +-C(n,n) 1!

= (1 - 1 + 1/2! -1/3! + _+1/n ！)n！

得证

四．4 个有区别的球放进4个有区别的盒子中，求有一个空盒的方案数。

C( 4,1)* (x +x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! )^3

五．某班有85名学生，在新学期的选课中有4门不同的课程，可以选其中的 1 门、2门或者3门，证明至少有7 名学生所选的课程相同。

C(4,1) + C(4,2) + C(4 ，3) = 14 85/14 =6 1

六．如下图所示的图形

(1) 用红、蓝两种颜色涂染，求方案数。

(1)^8 一个(4)^2 两个(2)^4 一个(1)^2(2)^3 四个

N = (2^8 + 2*2^2 + 2^4 + 4*2^5 ) /8

(2)用 4 红 4 蓝涂染的方案数。

N = (r+b)^8 + 2*(r^4+b^4)^2 + (r^2+b^2)^4 + 4*(r+b)^2(r^2+b^2)^3

找到r^4b^4 的系数C(8，4) + 2*C(2 ，1) +C(4 ，2) + 4*[C(2 ，2)C(3 ，1)+C(2 ，0)C(3,2)]

(3)用8 中不同的颜色涂染，每块一种颜色，求方案数。

8!/8

一、a,a,a,a,a,b,c,d,e九个字母，全排列：

1）没有两个 a 相邻的排列数

4 ！ a ＿ａ＿ａ＿ａ＿ａ

2）b,c,d,e 中任意两个字母都不相邻的排列数ｐ（６，４） =360 ＿ａ＿ａ＿ａ＿ａ＿ａ＿

二、已知 a[n]=a[n-1]+n*n（n-1）/2+1,a[1]=1, 求 a[n] 。

三、n 个球放到 m 个盒子里，根据球和盒子是否有区别、是否允许空盒，有八种不同的情况。请列出全部八种的情况和对应的方案个数，并给出球和盒子都无区别、有空盒这一情况的计数理由。

四、求满足下列条件 x1+x2+x3=11

0<=x1<=5;0<=x2<=5;0<=x3<=8

３０

的整数解的数目。

五、某学生 37 天内坐了 60 题，已知它每天至少做一题。求证：必存在连续的若干天，在这些天里该生恰坐了 13 题。

六、考虑对正四面体的六条边染色的方案书，经过空间运动可以互转化的方案算同一种方案。

1）用红蓝两种颜色，有多少种不同的方案？

2）将四条边染成红色，两条边染成蓝色，有多少方案？

3）若用 6 种不同的颜色对六条边染色，每条边具有不同的颜色，有多少种方案？

、证明：在n 个不同元素中取r 个作允许重复的组合，其组合数为C（n+r-1, r ）

、给出6个a，5个b，4个c，3个d。

1、将上面给出的字母排成一行，要求 d 不相邻，问有多少中不同的排列方式？

2、在上面给出的18 个字母中选出4个，问有多少种不同的组合方案？

三、求解下列递推关系：

1、a n = -a n-1 + 6a n-2， a1=1 ，a2 = 17；

2、a n = 12a n-1 - 36a n-2， a1=4 ，a2=12；

四、我院今年新进 4 名教师，每个新教师要安排一个教学部门，有 4 个不同的教学部门可安排，问恰有一个部门没有安排新教师的方案数是多少？

五、用M n表示S={1 2 3 n}的圆排列中不出现12,23,34，（n-1）n，n1 排列数，求M

六、用红蓝两色对正8 边形的8 个顶点染色，每个顶点染一种颜色，翻转使之一致作为相同处理，求

1、不同的染色方案数；

2、其中有 4 个顶点染成红色， 4 个顶点染成蓝色的不同的染色方案数