中考复习教案-代数式求值的常用方法

代数式求值的常用方法
代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型，它除了按常规代入求值外，还要根据其形式多样，思路多变的特点，灵活运用恰当的方法和技巧.本文结合2006年各地市的中考试题，介绍几种常用的求值方法，以供参考.
一、化简代入法
化简代入法是指把字母的取值表达式或所求的代数式进行化简，然后再代入求值.
例1先化简，再求值：
()
11b a b
b
a a
b +
+
++，其中2
a =
，2
b =
.
解：由2
a =2
b =得，1a b ab +=
=.
∴原式()
()
2
2
()()
()
()
ab a a b b
a b a b ab a b ab a b ab a b ab a b ab
+++=
+
+
=
=
=++++二、整体代入法
当单个字母的值不能或不用求出时，可把已知条件作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法. 通过整体代入，实现降次、归零、约分，快速求得其值.
例2已知
114a b
-=，则
2227a ab b a b ab
---+的值等于（ ）.
A ．6
B ．－6
C ．215
D ．27
-
解：由
114a b
-=得，
4b a ab
-=，即4a b ab -=-.
∴
()()2242662272787a b ab a ab b ab ab ab a b ab
a b ab
ab ab
ab
-------=
=
=
=-+-+-+-.故选A.
例3若1233215,7x y z x y z
++=++=，则111x
y
z
++
= .
解：把1235x
y
z
++=与
3217x
y
z
+
+
=两式相加得，
44412x
y
z
+
+
=，
即111412x
y
z ⎛⎫+
+
=
⎪⎝⎭，化简得，111
3x y z
++=.故填3. 三、赋值求值法
赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的
值的一种方法.这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围.
例4先化简
2
3321
1
x x x +-
--，然后选择一个你最喜欢的x 的值，代入求值．
解：原式()
()()
312321111
1
1
1
x x x x x x x +=
-=-=+-----．
依题意，只要1x ≠±就行，如当2x =时，原式1=． 四、倒数法
倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法. 例5若
2
2237
y y ++的值为
14
，则
2
1461
y y +-的值为（ ）.
A ．1
B ．－1
C ．－17
D ．15
解：由
2
21237
4
y y =
++，取倒数得，
2
237
42
y y ++=，即2
231y y +=.
所以()2246122312111y y y y +-=+-=⨯-=，即
2
11461
y y =+-.故选A.
五、主元代换法
所谓主元法就是把条件等式中某一个未知数（元）视为常数，解出其余未知数（主元），再代入求值的一种方法.
例6已知230a b c ++=，350a b c ++=，则
2
2
22
2
2
2322a b c a b c
-+--的值______.
解：把已知条件看作关于,a b 的方程组230,350.
a b c a b c ++=⎧⎨
++=⎩ 解得,2.
a c
b
c =⎧⎨
=-⎩
∴
()()2
2
22
2
222
2
2
2
2
2
2
2322391229222c c c
a b c c a b c
c
c c c
--+-+-=
=
=------.故填1.
六、配方法
通过配方，把已知条件变形成几个非负数的和的形式，利用“若几个非负数的的和为零，则每个非负数都应为零”来确定字母的值，再代入求值.
例7若2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则23
a b c ++=____
解：由222a b c ab bc ca ++=++，得222
2222220a b c ab bc ca ++---=. 所以()()()2
2
2
0a b b c a c -+-+-=，由非负数的性质得，0,0,0a b b c a c -=-=-=， 即a b c ==.又∵2312a b c ++=，∴2a b c ===. 原式=2322214++=.故填14.
七、数形结合法
在数学研究中，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。

数形结合法是指根据题目中的数或形的意义，利用“式结构”或“形结构”的特点及其相互转化，达到求值的一种方法.
例8如图1，数轴上点A
A 关于原点的对称点为
B ，设点B 所表示的数为x
，求(
x -
+的值．
解： 点A
B 与点A 关于原点对称，
∴点B 表示的数是x =
∴(
(
(121x -
+=+=-=-.
例9如图2，一次函数5y z =+的图象经过点(),P a b 和(),Q c d ，则
()()a c d b c
d ---的值为_________． 解：由点(),P a b 和(),Q c d 在一次函数5y z =+的图象上，则
5b a =+，5d c =+，即5a b -=-，5c d -=-.
所以()()()()()()5525a c d b c d c d a b ---=--=-⨯-=.故填25.
八、利用根与系数的关系
如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可以看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值. 当所求的代数式不是轮换对称式，可根据其特点构造对称式或利用方程根的定义综合求值.
例10一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12,x x ，则221212x x x x +的值是（ ）.
Ａ．3
Ｂ．3-
Ｃ．1
3
Ｄ．13
-
解：由根与系数的关系得，123x x +=，121x x =-. 原式()()2
2
12121212133x x x x x x x x =+=+=-⨯=-.故填3.
例11如果αβ、是一元二次方程23 1 0x x +-=的两个根，那么2+2ααβ-的值是___________
解：由根与系数的关系得，3αβ+=-；由方程根的定义得，2
3 1 0αα+-=，即
2
31αα+=.所以()22
+2(+3)()134ααβαααβ-=-+=--=.故填4.
九、特殊值法
有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单.
例12若)3
2
3
0123x a a x a x a x =+++，则()()22
0213a a a a +-+的值为_______.
解：由
)
3
23
0123x
a a x a x a x =+++知，
若令1x =，则)
3
0123
1a a a a +++=-；若令1x =-，则)
3
0123
1
a a a a -+-=.
所以()()()()2
2
021*********a a a a a a a a a a a a +-+=++++--
))
)
3
3
3
1
1
1
11⎡⎤=
==⎣
⎦
.故填1.
十、常值代换法
常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换，然后通过计算或化简，求得代数式的值.
例13已知实数a b ，满足：1a b = ，那么2
2
1111a b +
++的值为_____．
解：把1a b = 代入，得
2
2
2
21111
1
ab
ab
b a a b a ab
b ab
a b
a b
+
=
+
=
+
=++++++. 故填1.
事实上，以上这些方法并不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题. 解题时，要仔细观测，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题.
练习：
1．已知221x y -=，那么2243x y -+=_________． 2．已知实数x 满足24410x x -+=，则代数式122x x
+
的值为_______．
3．如图3，数轴上与1A ，B ，点B 关于点A 的对称点为C ，设点C
表示的数为x ，则︱x -
+
2x
=________.
4．已知12,x x 是方程2560x x --=的两个根，则代数式22
12x x +的值是（ ）.
A ．37
B ．26
C ．13
D ．10
5．已知a 、b 为一元二次方程0922=-+x x 的两个根，那么b a a -+2的值为（ ）. A ．-7 B ．0 C ．7 D ．11 6．先化简后求值：2
5
22
4
12
+-÷
⎪⎭⎫
⎝⎛+-
-+x x x x x ， 其中22+=x
7．请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：()2
1112
1
a a a a -+-+
-.
答案：1．5； 2．2； 3．
4．A ； 5．D ； 6．原式12x
=
=-2
-
； 7．原式122
a =
+，
1a ≠的任意实数均可求得其值.。