求函数值域的9种经典方法

求函数值域的９种经典方法

函数值域的求法方法有好多,函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域

常用求值域方法

（1）、直接观察法

例2、 求函数x 3y -=的值域。（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数2

21x

y

+=

的值域. （★★）

解：}2

1

0{≤<

y y

（2）、配方法

例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2

-∈+-=的值域。（★★★）

解：将函数配方得：

4)1x (y 2

+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]

例4、设02x ≤≤，求函数1

()4321x

x f x +=-+的值域．

解：1

2()432

1(23)8x

x x f x +=-+=--，

02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．

∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，

∴函数的值域为[84]--，

． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。（★★★★）（配方法、换元法）

解：()()[]

713421342

1

13426421+-+-=-+-=

x x x x y =

()

31134212++-x ，所以2

7≥y ，故所求函数值域为[7

2 ，+∞]。 （3）、换元法：（三角换元法） 例1、

求()f x x =+

0t =>，则2

1(0)x t t =-≥，

2

2

2

155

()(1)1244

f x f t t t t ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭≤，

所以函数值域为5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦

，4．

例2、求函数221x x x y +-=的值域。 解：设⎪⎭

⎫

⎝

⎛≤

=2sin πααx ，则 ()⎪⎭⎫

⎝

⎛-+=-+=+=42sin 22212cos 1212sin 21sin cos sin 2πααααααy 。

所以22

1221+≤≤-y ，故所求函数值域为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-221221，。 （4）、函数有界性法（方程法）

例1、求函数3

sin 3

sin +-=

x x y 的值域。

解：因为03sin ≠+x ，所以3sin 3sin -=+x y x y ，则()y

y x -+=

113sin 由于1sin ≤x ，所以

()1113≤-+y

y ，解得212-≤≤-y 。故所函数的值域为[-2，-12 ]。 求函数11

22+-=x x y 的值域

110112<≤-∴≥-+=

y y

y

x [)11-∴原函数的值域为

（5）、数形结合法（函数的图像）：

求函数2223(20)()23(03)

x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩，

≤ ≤≤的值

域．

解：作图象如图所示．

(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，

∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的

值域为

[40]-，．

例1、 求函数2

2)8x ()2x (y ++-=的值域.

解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=

上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。 由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-= 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞

例3、求函数

5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域. 解：原函数可变形为：

2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=

上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和，

由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，

43)12()23(|AB |y 2

2min =+++==， 故所求函数的值域为],43[+∞

（6）均值不等式法：利用基本关系,0)]([2

≥x f 两个正数的均值不等式ab b a 2≥+在应用时要注意“一

正二定三相等”；利用基本不等式

abc 3c b a ,ab 2b a 3

≥++≥+)R c ,b ,a (+∈ 例1、求函数)1(1

2

22->+++=

x x x x y 的值域 解：原函数可化为 )1(21

1

111)1(2->≥+++=+++=

x x x x x y 当且仅当0=x 时取等号，故值域为[)∞+,2

例2、 求函数

4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 2

2-+++

=的值域.