四年级奥数第26讲追及问题(教师版)

四年级奥数第26讲追及问题（教师版）

λ根据“路程和＝速度和×时间”解决简单的直线上的追及问题

λ通过画图使较复杂的问题具体化、形象化,融合多种方法达到正确理解题目的目的

有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间（追及时间）内：

追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间

＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间

＝速度差×追及时间.

一般地,追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间,即=t

S V

差差

例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上,甲位于起点(0米)处,乙位于中间5米处,经过时间t

后甲乙同时到达终点,甲乙的速度分别为v

甲

和v

乙

,那么我们可以看到经过时间t后,甲比乙多跑了5米,或者可以说,在时间t内甲的路程比乙的路程多5米,甲用了时间t追了乙5米

例1、小明步行上学,每分钟行70米．离家12分钟后,爸爸发现小明的明具盒忘在家中,爸爸带着明具盒,立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明?当爸爸追上小明时他们离家多远?

【解析】

教学目标

知识梳理

典例分析

小明12分钟走的路程

200米/分

当爸爸开始追小明时,小明已经离家：70×12=840(米),

即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米,

我们把这个距离叫做“路程差”,爸爸出发后,两人同时走,每过1分,

他们之间的距离就缩短280-70=210(米),也就是爸爸与小明的速度差为280-70=210 (米/分),

爸爸追及的时间：840÷210=4 (分钟)．当爸爸追上小明时,小明已经出发12+4=16 (分钟), 此时离家的距离是：70×16=1120(米)

例2、下午放学时,弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后,哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家,哥哥出发后,经过几分钟可以追上弟弟?（假定从学校到家有足够远,即哥哥追上弟弟时,仍没有回到家）.

【解析】若经过5分钟,弟弟已到了A地,此时弟弟已走了40×5=200（米）；

哥哥每分钟比弟弟多走20米,几分钟可以追上这200米呢?

40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟）,哥哥10分钟可以追上弟弟.

例3、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞,向同一方向飞行,甲机每小时行300千米,乙机每小时行340千米,飞行4小时后它们相隔多少千米?这时候甲机提高速度用2小时追上乙机,甲机每小时要飞行多少千米?

【解析】（1）4小时后相差多少千米：（340-300）×4=160（千米）．

（2）甲机提高速度后每小时飞行多少千米：160÷2+340=420（千米）．

例4、王芳和李华放学后,一起步行去体校参加排球训练,王芳每分钟走110米,李华每分钟走70米,出发5分钟后,王芳返回学校取运动服,在学校又耽误了2分钟,然后追赶李华．求多少分钟后追上李华?

【解析】已知二人出2分钟后,王芳返回学校取运动服,这样用去了5分钟,

在学校又耽误了2分钟,王芳一共耽误了5×2+2= 12(分钟)．

李华在这段时间比王芳多走：70×12= 840(米),

速度差为：110-70=40 (米/秒),

王芳追上李华的时间是：840 ÷40=21(分钟)

例5、两地相距900米,甲、乙二人同时、同地向同一方向行走,甲每分钟走80米,乙每分钟走100米,当乙到达目标后,立即返回,与甲相遇,从出发到相遇共经过多少分钟?

【解析】甲、乙二人开始是同向行走,乙走得快,先到达目标．

当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行,

把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加,

就是共同经过的时 乙到达目标时所用时间：9001009÷=(分钟),

甲9分钟走的路程：809720⨯=(米),

甲距目标还有：900720180-=(米),

相遇时间：180(10080)1÷+=(分钟),

共用时间：9+1=10 (分钟)．

例6、龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟,心想：“我小兔每分钟能跑100米,而你乌龟每分钟只能跑10米,哪是我的对手．”比赛开始后,当小兔跑到全程的一半时,发现把乌龟甩得老远,便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时,小兔醒了,拔腿就跑．请同学们解答两个问题： 它们谁胜利了?为什么?

500米终点

起点

【解析】（1） 乌龟胜利了．因为兔子醒来时,乌龟离终点只有40米,乌龟需要40104÷=(分钟)就能到达终点,而兔子离终点还有500米,需要5001005÷=(分钟)才能到达,所以乌龟胜利了．

（2）乌龟跑到终点还要40104÷=(分钟),而小兔跑到终点还要100021005÷÷=(分钟),慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时,小兔离终点还有：1001100⨯=(米)．

例7、小红和小蓝练习跑步,若小红让小蓝先跑20米,则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红

让小蓝先跑4秒钟,则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少?

【解析】小红让小蓝先跑20米,则20米就是小红、小蓝二人的路程差,

小红跑5秒钟追上小蓝,5秒就是追及时间,

÷=(米/秒)；

据此可求出他们的速度差为2054

若小红让小蓝先跑4秒,则小红6秒可追上小蓝,

在这个过程中,追及时间为6秒,

根据上一个条件,由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差,

这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程,

⨯=(米),也即小蓝在4秒内跑了24米,

路程差就等于4624

所以可求出小蓝的速度,也可求出小红的速度．

÷⨯÷=(米/秒),

综合列式计算如下：小蓝的速度为：205646

+=(米/秒)

小红的速度为：6410

例8、刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访,以10千米/时的速度行进,下午1点到；以15千米/时的速度行进,上午11点到.如果希望中午12点到,那么应以怎样的速度行进?

【解析】这道题没有出发时间,没有学校到韩丁家的距离,也就是说既没有时间又没有路程,似乎无法求速度.这就需要通过已知条件,求出时间和路程.

假设有A,B两人同时从学校出发到韩丁家,

A每小时行10千米,下午1点到；

B每小时行15千米,上午11点到.B到韩丁家时,A距韩丁家还有10×2=20（千米）,

这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多

行15-10=5（千米）,

所以B从学校到韩丁家所用的时间是20÷（15-10）=4（时）.

由此知,A,B是上午7点出发的,学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）

.刘老师要想中午12点到,即想（12-7=）5时行60千米,

刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）．

例9、甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发,沿同一山道行进。两人的上山速度都是20米/分,下山的速度都是30米/分。甲到达山脚立即返回,乙到达山顶休息30分钟后返回,两人在距山顶480米处再次相遇。山道长多少米。

÷=（分钟）后可以返回山顶,

【解析】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走4802024

如果乙不休息,那么这个时候乙应该到达山脚,

所以这个时候乙还需要30分钟到达山脚,