二次函数待定系数法
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．（2019秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ， 把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ；∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0). 举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】已知：抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点坐标及对称轴．【答案】设52-+=bx ax y (a ≠0)，据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=42b a ，所得函数为5422-+-=x x y 对称轴方程：1=x ，顶点()31-,.2.（2019•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得： a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2． 【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．则有930,3,1,2a b c c ba⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线解析式为223y x x =-++．解法二：设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0)． 由图象知，抛物线与x 轴两交点为(-1，0)，(3，0)． 则有(1)(3)y a x x =+-，即223y ax ax a =--． 又33a -=，∴ 1a =-．∴ 抛抛物物解析式为223y x x =-++．解法三：设二次函数解析式为2()y a x h k =-+(a ≠0)． 则有2(1)y a x k =-+，将点(3，0)，(0，3)代入得40,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =-⎧⎨=⎩∴ 二次函数解析式为2(1)4y x =--+，即223y x x =-++．【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数解析式； (2)求△ABC 的面积． 【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+-，∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-． 即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)， ∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△． 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．立定跳远是体育中考选考项目之一，体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表：则下列关于这组数据的说法，正确的是（ ） A ．众数是2.3 B ．平均数是2.4 C ．中位数是2.5D ．方差是0.012．如图，直线a ∥b ．将一直角三角形的直角顶点置于直线b 上，若∠l ＝28°，则∠2的度数是（ ）A.108°B.118°C.128°D.152°3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 在函数y ＝kx（x ＞0）的图象上，若∠C ＝60°，AB ＝2，则k 的值为（ ）AB C ．1 D ．24．在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲乙两人同时出发，甲骑自行车从A 地到B 地，乙骑自行车从B 地到A 地，到达A 地后立即按原路返回B 地.如图是甲、乙两人离B 地的距离(km)y 与行驶时间(h)x 之间的函数图象，下列说法中①A 、B 两地相距30千米；②甲的速度为15千米/时；③点M 的坐标为(23，20)；④当甲、乙两人相距10千米时，他们的行驶时间是49小时或89小时. 正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，6BC =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，点E 是AC 的中点，点P是CD上的一动点，则PA PE+的最小值是（）A．B．6 C．D6．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．87．如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y＝kx上（k＞0，x＞0），则k的值为（）A．B．C．9 D．8．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（）A．4()3b a-元B．4()3b a+元C．5()4b a-元D．5()4b a+元9．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．跳远项目中，以测量最靠近起跳线的点到起跳线的距离作为成绩．如图是小慧在跳远训练中的一跳，下列线段中，它的长度能作为她的成绩的是（）A.线段PAB.线段PBC.线段ADD.线段BD11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（）A.120°B.130°C.140°D.150°12．如图所示几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.二、填空题13．在△ABC 中，AB ＝AC ，CD 是AB 边上的中线，点E 在边AC 上（不与A ，C 重合），且BE ＝CD ．设ABBC＝k ，若符合条件的点E 有两个，则k 的取值范围是_____．14．如图，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC=3，EF=2，G 为 DE 上一动点，把三角尺DEF 绕直角顶点 F 旋转一周，在这个旋转过程中，B ，G 两点的最小距离为_____.15．已知x 满足（x+3）3＝64，则x 等于_____． 16．分解因式：29m - =___________.17．若把代数式245x x --化为()2x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=______． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x+1的图象l 与y 轴交于点C ，A 1的坐标为（1，0），点B 1在直线l 上，且A 1B 1平行于y 轴，连接CA 1、OB 1交于点P 1，过点A 1作A 1B 2∥OB 1交直线l 于点B 2，过点B 1作B 1A 2∥CA 1交x 轴于点A 2，A 1B 2与B 1A 2交于点P 2，……，按此进行下去，则点P 2019的坐标为_____．三、解答题19．在箱子中有10张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x ，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y ，试求x+y 是10的倍数的概率．20．(1)计算)0-4cos60°+（13）-1. (2)先化简,再求值:（2-43-3x x x +-13x -）·(22-21-32x x x x ++-2-2x ),其中x=4.21．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y ＝mx的图象在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴于D ，若OB ＝3，OD ＝6，△AOB 的面积为3． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当x ＞0时，比较kx+b 与mx的大小．22．计算：214)0452-︒⎛⎫ ⎪⎝⎭． 23．解不等式组()214111143x x x x ⎧+-⎪⎨+--≤⎪⎩＞24．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC D ⊥于点.（1）如图1，点E 、F 在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =. （2）点M ，N 分别在直线AD ，AC 上，且90BMN ∠=︒. ①如图2，当点M 在AD的延长线上时，求证：AB AN +=；②当点M 在点A ，D 之间，且30AMN =︒∠时，已知AB =AM 的长.25．有一块含30°角的直角三角板OMN ，其中∠MON ＝90°，∠NMO ＝30°，ON ＝，将这块直角三角板按如图所示位置摆放．等边△ABC 的顶点B 与点O 重合，BC 边落在OM 上，点A 恰好落在斜边MN 上，将等边△ABC 从图1的位置沿OM 方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB ，AC 分别与斜边MN 交于点E ，F （如图2所示），设△ABC 平移的时间为t （s ）（0＜t ＜6）．（1）等边△ABC 的边长为 ；（2）在运动过程中，当 时，MN 垂直平分AB ；（3）当0＜t ＜6时，求直角三角板OMN 与等边△ABC 重叠部分的面积S 与时间t 之间的函数关系式．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．3k <<且1k ≠ 14． 15．16．(m －3)(m ＋3) 17．-718．20202019221,33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭三、解答题 19．1 【解析】 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，满足条件的事件x+y 是10的倍数的数对可以列举出结果数，根据等可能事件的概率公式得到结果． 【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果， 故形成的数对（x ，y ）共有100个．满足条件的事件x+y 是10的倍数的数对包括以下10个：（1，9），（9，1），（2，8），（8，2），（3，7），（7，3），（4，6），（6，4），（5，5），（10，10）．故“x+y 是10的倍数”的概率为 1100.1100P ==． 【点睛】本题考查等可能事件的概率，是一个关于数字的题目，数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，然后根据概率公式计算．20．（1）；（2）x-2，2. 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质、绝对值的意义、零指数幂、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的意义逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可；（2）先根据分式的运算法则将所给代数式化简，再把x=4代入计算即可. 【详解】解:(1)原式4×12+3(2)原式=2-43-3x x x ++1-3x ·2(-1)(-1)(-2)x x x -2-2x=2(-2)-3x x ·-1-2x x -2-2x=2(-2)-3x x ·-3-2x x=x-2,当x=4时,原式=4-2=2. 【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义及分式的运算法则是解答本题的关键. 21．(1) 223y x =-,12y x =;(2) 当0＜x ＜6时，kx+b ＜m x ,当x ＞6时，kx+b ＞mx【解析】 【分析】（1）根据点A 和点B 的坐标求出一次函数的解析式，再求出C 的坐标6，2） ，利用待定系数法求解即可求出解析式（2）由C （6，2）分析图形可知，当0＜x ＜6时，kx+b ＜m x ,当x ＞6时，kx+b ＞mx【详解】 （1）S △AOB ＝12OA•OB＝3，∴OA＝2，∴点A的坐标是（0，﹣2），∵B（3，0）∴2 30 bk b=-⎧⎨+=⎩∴232 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴y＝23x﹣2．当x＝6时，y＝23×6﹣2＝2，∴C（6，2）∴m＝2×6＝12．∴y＝12x．（2）由C（6，2），观察图象可知：当0＜x＜6时，kx+b＜mx,当x＞6时，kx+b＞mx．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于求出C的坐标22．1【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4﹣3+12＝2﹣1＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．-5≤x＜5 2【解析】【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．【详解】解：() 214111143x xx x⎧+-⎪⎨+--≤⎪⎩＞①②由①得x＜52；由②得x≥-5；∴不等式组的解集为-5≤x＜52．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．24．（1）见解析；（21.【解析】【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAD=45°，进而得出∠CAD=∠B，再判断出∠BDE=∠ADF，进而判断出△BDE≌△ADF，即可得出结论；（2）①先判断出AM=PM，进而判断出∠BMP=∠AMN，判断出△AMN≌△PMB，即可判断出AP=AB+AN，再判断出，即可得出结论；②先求出BD，再求出∠BMD=30°，最后用三角函数求出DM，即可得出结论．【详解】（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，∴∠CAD=∠B，AD=BD，∵∠EDF=∠ADC=90°，∴∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE=AF；（2）①如图1，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，∴∠AMP=90°，∵∠PAM=45°，∴∠P=∠PAM=45°，∴AM=PM，∵∠BMN=∠AMP=90°，∴∠BMP=∠AMN，∵∠DAC=∠P=45°，∴△AMN≌△PMB（ASA），∴AN=PB，∴AP=AB+BP=AB+AN，在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，∴，∴AM；②如图，在Rt△ABD中，AD=BD=2∵∠BMN=90°，∠AMN=30°，∴∠BMD=90°-30°=60°，在Rt△BDM中，DM=1BDtan BMD==∠，∴．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BDE≌△ADF是解（1）的关键，构造出全等三角形是解（2）的关键．25．（1）3；（2）3；（3）22(03)84(36)tSt+<⎪=+<<….【解析】【分析】（1）根据，∠OMN＝30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，由此即可解决问题；（3）分两种情形分别求解：当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．根据S＝S△MEB﹣2S△MDC，计算即可．②当3＜t ＜6时，S＝S△MEB．【详解】解：（1）在Rt△MON中，∵∠MON＝90°，ON＝M＝30°∴OM＝6，∵△ABC为等边三角形∴∠AOC＝60°，∴∠OAM＝90°∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，∴OA＝12OM＝12×6＝3．故答案为3．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，所以t＝3．故答案为3．（3）易知：OM＝6，MN＝，S△OMN＝12×6＝∵∠M＝30°，∠MBA＝60°，∴∠BEM＝90°．①当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．∵∠ACB＝60°，∠M＝30°，∠FCB＝∠M+∠CFM，∴∠CFM＝∠M＝30°，∴CF＝CM，∵CD⊥FM，∴DF＝DM，∴S△CMF＝2S△CDM，∵△MEB∽△MON，∴2MEBMONS BMS MB⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△MEB＝2822t-+，∵△MDC∽△MON，∴2MDCMONS MCS MN⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△MDC＝2848t-+，∴S＝S△MEB﹣2S△MDC＝﹣284+．②当3＜t＜6时，S＝S△MEB＝2822-+，综上所述，S＝22(03)(36)tt+<<<⎩…．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．b 2•b 3＝b 6 B ．（﹣a 2）3＝a 6C ．（ab ）2＝ab 2D ．（﹣a ）6÷（﹣a ）3＝﹣a 32．如图的四个转盘中，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）A. B. C. D.3．若关于x ，y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y ＝6的解，则k 的值为（ ）A.34B.43C.﹣34D.﹣434．6月15日“父亲节”，小明准备送给父亲一个礼盒（如图所示），该礼盒的俯视图是（ ）A. B. C. D.5．下列标志中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠CAB ＝30°，AC ＝则图中阴影部分的面积是（ ）A ．32π-B ．32π C ．3924π- D ．3π-7．在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①22S S >乙甲；②22S S <甲乙.③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的是（ ）A.①③B.①④C.②④D.②③8．如图所示的几何体的左视图是（）A.B.C.D.9．如图，DE∥MN，Rt△ABC的直角顶点C在DE上，顶点B在MN上，且BC平分∠ABM，若∠A＝58°，则∠BCE的度数为（）A．29°B．32°C．58°D．64°10．如图,在菱形ABCD中,AB=8,∠B=60°,P是AB上一点,BP=5,Q是CD边上ー动点,将四边形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A`.当CA`的长度最小时,则CQ的长为( )A．7 B．C．D．11．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，AC 与BD 相交于点O ，则下列判断不正确的是（ ）A ．△ABC ≌△DCB B ．△AOD ≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC二、填空题 13．二次函数223y x =的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形(其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y 轴上，相邻的菱形在y 轴上有一个公共点)，则第2017个菱形的周长=______．14．写出一个解为11x y =⎧⎨=-⎩的二元一次方程是_____．15．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P 满足S △PAB =13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点的距离之和PA+PB 的最小值为______．16．中国的领水面积约为3700000km 2，将3700000用科学记数法表示为_____． 17．计算：＝_____．18．利用标杆测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆的高为米，测得米，米,则建筑物的高为__米．三、解答题19．2019年初，电影《流浪地球》和《绿皮书》陆续热播，为了解某大学1800名学生对两部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取了该大学20名学生对两部电影打分，过程如下．收集数据20名大学生对两部电影的打分结果如下：《流浪地球》78 75 99 98 79 67 88 78 76 98 88 79 97 91 78 80 93 90 99 99《绿皮书》88 79 68 97 85 74 96 84 92 97 89 81 91 75 80 85 91 89 97 92整理、描述数据绘制了如下频数分布直方图和统计表，请补充完整．(说明：60≤x＜70表示一般喜欢，70≤x＜80表示比较喜欢，80≤x＜90表示喜欢，90≤x＜100表示超级喜欢)分析数据、推断结论(1)估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有人；(2)你认为观众更喜欢这两部电影中的(填《流浪地球》或《绿皮书》)，理由是．20．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B 型净水器的数量相等（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元，试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金．若公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的最大利润不低于20200元但不超过23000元，求a 的取值范围．21．某学校打算假期组织老师外出旅游，初步统计，参加旅游的人数约在30～60人左右．该校联系了两家报价均为1200元的旅行社，甲旅行社的优惠措施是30人以内（包括30人）全额收费，超出部分每人打六折；乙旅行社的优惠措施是每人打九折，若人数在30人（包括30人）以上，还可免去两个人的费用． （1）该校选择哪一家旅行社合算？（2）若该校最终确定参加旅游的人数为48人，学校可给每位参加旅游的教师补贴200元，则参加旅游的教师每人至少要花多少钱？22．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D ．（1）求证：∠APO ＝∠CPO ；（2）若⊙O 的半径为3，OP ＝6，∠C ＝30°，求PC 的长．23．（1）计算：（0+3tan30°﹣2|+11()2-（2）解方程：3+1x xx x -= 24．已知四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，148BCD ∠=︒.（Ⅰ）如图①，若E 为AB 上一点，延长DE 交O 于点P ，连接AP ，求APD ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点A 作O 的切线，与DO 的延长线交于点P ，求APD ∠的大小.25．春暖花开，树木萌芽，某种时令蔬菜的价格呈上升趋势，若这种蔬菜开始时的售价为每斤20元，并且每天涨价2元，从第六天开始，保持每斤30元的稳定价格销售，直到11天结束，该蔬菜退市． （1）请写出该种蔬菜销售价格y 与天数x 之间的函数关系式；（2）若该种蔬菜于进货当天售完，且这种蔬菜每斤进价z 与天数x 的关系为z ＝﹣21(8)8-x +12（1≤x≤11），且x 为整数，那么该种蔬菜在第几天售出后，每斤获得利润最大？最大利润为多少？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．806814．x+y=01516．7×10617．318．15三、解答题19．补全统计图与统计表见解析；(1)720；(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题干中所给数据，整理可补全直方图；再根据众数和中位数的定义可得；（2）答案不唯一，合理即可．【详解】（1）补全《流浪地球》的分布直方图如下：填统计表如下：估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有1800×820＝720(名)，故答案为：720；(2)答案不唯一，喜欢《绿皮书》理由：在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数； 为《绿皮书》打分在80分以上的有16人，而为《流浪地球》打分在以上的只有12人．故答案为：《绿皮书》，在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数．【点睛】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解本题的关键．20．（1）每台A 型、B 型净水器的进价分别是2000元、1800元；（2）a 的取值范围是20≤a≤90．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以求得x 的取值范围和利润与x 的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）设每台A 型的进价为m 元，5000045000200m m =-， 解得，m ＝2000，经检验，m ＝2000是原分式方程的解，∴m ﹣200＝1800，答：每台A 型、B 型净水器的进价分别是2000元、1800元；（2）2000x+1800（50﹣x ）≤98000，解得，x≤40，设公司售完50台净水器并捐款后获得的利润为w 元，w ＝（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x ）﹣ax ＝（120﹣a ）x+19000，当a≥120时，w≤19000不合题意，当a ＜120时，120﹣a ＜0，当x ＝40时，w 取得最大值，∴20200≤40（120﹣a ）+19000≤23000，解得，20≤a≤90，即a 的取值范围是20≤a≤90．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答，注意分式方程要检验．21．（1）当旅游人数小于46人时，选乙旅行社；人数为46人时，两家旅行社费用一样；人数大于46人时，选甲旅行社；（2）820.【解析】【分析】（1）设x 人参加旅游，用x 分别表示甲和乙旅行社的费用，两费用相等则列方程求出对应的人数，谁家费用较大列不等式求出对应的人数范围．（2）人数为48人则选甲旅行社花费少，把总费用求出后再减去学校补贴总额200×48元，得到总旅游费用，再除以48记得人均费用．【详解】解：（1）设参加旅游的人数为x人（30＜x＜60），甲旅行社费用为y1元，乙旅行社费用为y2元，得：y1=1200×30+1200×0.6（x-30）=720x+14400y2=1200×0.9（x-2）=1080x-2160当y1=y2时，720x+14400=1080x-2160解得：x=46当y1＞y2时，720x+14400＞1080x-2160解得：x＜46当y1＜y2时，720x+14400＜1080x-2160解得：x＞46答：当旅游人数小于46人时，选乙旅行社；人数为46人时，两家旅行社费用一样；人数大于46人时，选甲旅行社．（2）由（1）得，人数为48人时选甲旅行社费用更低．∴（720×48+14400-200×48）÷48=820（元）答：参加旅游的教师每人至少要花820元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，是选择方案的常考题．22．（1）详见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据切线长定理证明；（2）根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据勾股定理求出AP，根据含30°的直角三角形的性质计算即可．【详解】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠CPO；（2）解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，∴AP=，在Rt△CAP中，∠C＝30°，∴PC＝2AP＝．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握切线长定理、勾股定理是解题的关键．23．（1）；（2）x＝﹣1.5．【解析】【分析】（1）根据0指数幂、特殊的三角函数值、绝对值及负整数指数幂即可解答.（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）原式＝13221+-++=+（2）去分母得：x 2＝x 2﹣2x ﹣3，移项合并得：﹣2x ＝3，解得：x ＝﹣1.5，经检验x ＝﹣1.5是原方程的解．【点睛】本题考查了0指数幂、特殊的三角函数值、绝对值、负整数指数幂及解分式方程，掌握各种运算的法则是关键，解分式方程必须检验.24．（Ⅰ）；58APD ∠=︒；（Ⅱ）26APD ∠=︒.【解析】【分析】（Ⅰ）连接BD ，根据圆内接四边形的对角互补得出BAD 32∠=︒，再根据直径所对的圆周角是直角得出ADB 90∠=︒，从而求出ABD ∠，再根据同弧所对的圆角角相等即可得出APD ∠的度数.（Ⅱ）连接AD,根据等腰三角形的性质，可得ADO OAD 32∠∠==︒，再根据切线的性质和三角形即可得出APD ∠度数.【详解】解：（Ⅰ）连接BD ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴BCD BAD 180.∠∠+=︒∵BCD 148,∠=︒∴BAD 32.∠=︒又AB 是O 的直径，∴BDA 90.∠=︒∴BAD ABD 90,∠∠+=︒∴ABD 58.∠=︒∴APD ABD 58.∠∠==︒（Ⅱ）连接AD,由（Ⅰ）可知：BAD 32,∠=︒又OA OD =，可得ADO OAD 32,∠∠==︒∵DP 切O 于点A,∴OA PA ⊥，即PAO 90.∠=︒则PAD PAO OAD 122,∠∠∠=+=︒在APD 中，∵PAD ADO APD 180,∠∠∠++=︒∴APD 26∠=︒.【点睛】本题考查了圆内接四边形定理、圆周角定理、切线的性质等知识，熟练掌握相关的定理定义是解题的关键.25．（1）202(1)218(16)30(611)x x x y x +-=+<⎧=⎨⎩…剟；（2）在第11天进货并售出后，所获利润最大，且为每件最大利润为19.125元．【解析】【分析】（1）根据销售价格随时间的变化关系设y 与x 之间的函数关系为y ＝kx+b,由分段函数求出其值即可;（2）根据利润＝售价﹣进价就可以表示出利润与时间之间的关系,由二次函数的性质就可以求出结论．【详解】解：（1）该种蔬菜销售价格y 与天数x 之间的函数关系式：y ＝()()()20212181630611x x x x ⎧+-=+≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩; （2）设利润为W,则W ＝y ﹣z ＝()()()()()()()222211218812141688113081281861188x x x x x x x x x ⎧++--=+≤≤⎪⎪⎨⎪+--=-+≤≤⎪⎩为整数为整数, W ＝21148x +,对称轴是直线x ＝0,当x ＞0时,W 随x 的增大而增大, ∴当x ＝5时,W 最大＝258+14＝17.125（元） W ＝()218188x -+,对称轴是直线x ＝8,当x ＞8时,W 随x 的增大而增大,∴当x＝11时,W最大＝18×9+18＝1918＝19.125（元）综上可知：在第11天进货并售出后，所获利润最大且为每件19.125元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用,待定系数法求函数的解析式的运用,二次函数的最值的运用,解答时求出利润的解析式是关键．。
用待定系数法求二次函数的解析式
确定二次函数的表达式一、用待定系数法求二次函数的解析式步骤：（1）设二次函数的解析式；（2）根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。
（3）解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。
二、二次函数解析式的的常见形式：1．一般式：.已知抛物线上三点或三对、的值，通常选择一般式.2．顶点式：.已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式.3．交点式：。
已知抛物线与轴交点的横坐标、，通常选用交点式。
三、例题选讲例1：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；例2：（一题多解）二次函数的图象经过点（1，0），（2，0），（3，4）求函数的解析式四、变式训练例1：已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象的对称轴是x=2,且最高点在直线y=12x+1上,求这个二次函数的表达式.[变式练习]：将上例中其它条件不变,“最高点”改为“顶点”求二次函数解析式(分a＞0和a＜0两种情).例2：已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,求这个二次函数的解析式.分析∵对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,由抛物线的对称性知,抛物线与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).由抛物线的交点式:y=a(x－x1)(x－x2)求出解析式.[变式练习1] 将经过的点与对称轴方程改为顶点坐标.已知二次函数的顶点坐标是(3,2),且图象与x轴的两个交点间距离是4.求这个二次函数的解析式.[变式练习2] 将与x 轴两交点的距离改为已知一交点坐标.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴分别交于A(3,0),B 两点,与y 轴交于(0,3)点,对称轴是x=1,求二次函数的解析式.五、题组训练，拓展迁移：1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y 轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．接近中考1、[2008年无锡市]已知抛物线22y ax x c =-+与它的对称轴相交于点(14)A -，，与y 轴交于C ，与x 轴正半轴交于B ．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线AC 交x 轴于D P ，是线段AD 上一动点（P 点异于A D ，），过P 作PE x ∥轴交直线AB 于E ，过E 作EF x ⊥轴于F ，求当四边形OPEF 的面积等于72时点P 的坐标．2、[2008佛山]. 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2) 求出这条抛物线的函数解析式；(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？O x y M 3 第2题图 AB C D P。
待定系数法确定二次函数表达式
拓展延伸
如图所示，已知抛物线的对称轴是过（3，0）的
直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A 、
C的坐标分别是(8，0) 、(0，4)，求这个抛物线的表达 式．
课堂小结，感悟收获
你学到哪些二次函数表达式的求法？
2．已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时， y有最小值－1， 求这个二次函数的表达式．
1.已知一条抛物线的开口大小与y=x2相同但 方向相反，且顶点坐标是（2,3），则该抛物 线的关系式是_________
2.已知一条抛物线是由y=2x2平移得到，并且 与x轴的交点坐标是（-1,0）、（2,0），则 该ห้องสมุดไป่ตู้物线的关系式是_________
例1 已知二次函数y＝ax2 的图像经过点(－2,8), 求a的值．
例2 已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图像经过
点（－2，8）和（－1，5），求a、c的值．
1.二次函数的顶点是（2，-1），该抛物 线可设为___________
2. 二次函数 与 轴交与点（0，-10）， 则可知C= .
3.抛物线的顶点坐标为（-2,3），且经 过点（-1,7），求此抛物线的解析式.
你能总结用顶点式求函数表达式的优点及方法
吗？
练习
已知抛物线的顶点为(1，-3)，与y轴交于(0，1) 求这个二次函数的解析式
3.抛物线与x轴交于点(1,0),(-3,0)， 求这个抛物线的解析式
x
根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的 表达式：
1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图像经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
例3 已知二次函数y＝ax2 ＋ bx ＋c经过点 （－3，6）、（－2，－1）和（0，－3），求这个 二次函数的表达式．
二次函数用待定系数法求解二次函数解析式专题讲义
.待定系数法求解析式一、知识要点近年高频考点中考频率所占分值1、用待定系数法求解二次函数解析式5~10分1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式知识点回顾：二次函数的表达形式有那些？二、知识要点详解1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式什么叫做待定系数法？一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下：（1）、找出符合方程的点；（2）、根据相应的点设不同形式的函数方程；（3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组；（4）、解出方程或方程组得到相应的系数（5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式如题：二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。
解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为：y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3）解之得：a=-1 解方程（4）∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5）一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法：若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式例题一1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋24．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．2、知识点二：利用“顶点式”求二次函数的解析式顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法：若是已知条件是图像上的顶点（h，k）及另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题二1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )A．y＝2(x＋1)2＋8B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝29(x－1)2＋8D．y＝2(x－1)2－82．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( ) A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－43．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为3、知识点三：利用“交点式”求二次函数的解析式交点式y＝a(x－x1)(x－x2)的求解方法：若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）及另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题三1．如图，抛物线的函数表达式是( )A．y＝12x2－x＋4B．y＝－12x2－x＋4C．y＝12x2＋x＋4D．y＝－12x2＋x＋42．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．3．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋24．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，该抛物线的解析式为5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．三、基础巩固考点题库1、已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式。
用待定系数法求二次函数表达式的三种形式
例题1 已知抛物线过点（1，0）（3，-2）（5，0）， 求该抛物线所对应函数的表达式。
例题2 抛物线对称轴为直线x=-1，最高点的纵坐标为4， 且与x 轴两交点之间的距离是6，求次二次函x1 数的解 析式。
巩固练习
• 1.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3， 0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
待定系数法求二次函数表达式常见 的三种形式 ：
一般式 • 1.
：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
• 2.顶点式：y=a（x+h）²+k
(a 0)顶点坐标（ h, k)
• 3.交点式： y a(x x1)(x x2 )
一、一般式 y ax2 bx c(a )
已知二次函数 y ax2 bx c 图象过某三
14.已知二次函数y=x²+2（n+3）x+16的顶点在坐标 轴上，求该二次函数表达式。
15.已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P（2,-1）， 图象与x轴交于A，B两点。若△PAB的x1 面积为6， 求该抛物线所对应函数的解析式。
•谢谢
14
பைடு நூலகம்
• 3.二次函数y=ax²+bx+c，x=6时，y=0;x=4时， y有最大值为8，求此函数的解析式。
• 4.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大值是 2，图象经过点（-2,4）且顶点在直线y=-2x上， 试求ab+c的值
三、交点式 y a(x x1)(x x2 )
已知二次函数图象与x轴两交点坐标分别为 (x1,0),(x2,0) 通常选用交点式，再根据其他即可解出a值，从而求
用待定系数法确定二次函数解析式
二、求二次函数的解析式 (1)关键是求出待定系数的值． (2)设解析式的形式：解（1）∵图象顶点为(1，－6)，
∴设其解析式为 y＝a(x－1)2－6.
∵图象经过点(2，－8)，
∴－8＝a(2－1)2－6.∴a＝－2.
∴函数解析式为 y＝－2(x－1)2－6.
例3拓展应用：抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过A(-2，-4),
O(0，0),B(2，0)三点 （1）求抛物线 y＝ax2＋bx＋c的解析式。 （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的 最小值。 y
-2
O。 B 。 x
。 M 。
A。
-4
x=1
。 A1 (4，-4)
【变式训练】
1.二次函数y x 2 bx c的图象的最低点为（ - 1,3），
此函数解析式 _____________ 2．抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图 所示， 求此抛物线的解析式。 3．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的 x，y 满足下表：
当已知抛物线上三个点时，设一般式
例1 二次函数的图象经过点A(1,3) ,B(0,3) ，C(－1,1)三点 求此函数的解析式；
解：设所求函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c，
∵图象经过点 A(1,3)， B(0,3)， C(-1,1)，
c＝3， ∴a＋b＋c＝3， a－b＋c＝1. a＝－1， 解得b＝1， c＝3.
二次函数待定系数法
二次函数待定系数法二次函数待定系数法是一种常用的参数估计方法，它可以用来评估二次函数的未知系数和参数。
该方法的核心思想是，通过观察函数的图像，获取未知参数的近似值，将其作为函数参数的初值，然后用迭代法来逼近它们的准确值。
二次函数待定系数法用于描述连续变化的事物，它具有准确性、稳定性和可拓展性等优点，可以准确表征曲线的弯曲程度，所以在实际应用中，常常被广泛使用。
二、二次函数待定系数法的实现步骤（一）构造二次函数模型首先，我们要构造二次函数模型，它由三个参数组成：函数上凸系数a、函数下凸系数b、函数拐点c。
二次函数模型的数学表达式可以用如下形式表示：y=ax2+bx+c（二）求取函数参数参数a、b、c是二次函数的“待定系数”，要获取这三个参数的准确值，可以通过以下迭代法来求取：①确定函数上凸系数a：首先，在函数图像上观察，求取函数的1/4顶点坐标（x1，y1），然后用以下公式：a=4(y1-c)/x1出参数a 的值；②确定函数下凸系数b：在函数图像上观察，求取函数的3/4顶点坐标（x2，y2），然后用以下公式：b=4(y2-c)/x2出参数b的值；③确定函数拐点c：通过将第①步和第②步求出的参数a和b代入到函数模型中，求出参数c的值。
（三）迭代法为了接近参数a、b、c的准确值，需要用迭代法对参数进行调整，使函数图像尽可能地拟合实际事件。
（四）最小二乘法在迭代的过程中，需要用最小二乘法确定参数的最佳状态：S=∑（y-y）2y=ax2+bx+c其中，S为误差平方和，“y”为实际数据，“y”为拟合函数值，a、b、c是待定系数。
参数a、b、c调整到使“S”最小的状态下，此时参数a、b、c的值就是最合适的数值，函数拟合实际事件的精度也就最高了。
三、二次函数待定系数法的应用二次函数待定系数法可以应用于多个领域，以优化事件及其关系的表达，其中包括：1、工程计算2、医学研究3、预测分析4、机器学习5、机器人控制这些领域都有一系列的实际物理参数，这些物理参数可以用二次函数待定系数法描述，从而更加准确、精确地表征事件及其关系，从而做出更准确的决策和预测。
用待定系数法求二次函数解析式(专题复习)
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3.交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
标,或一个交点的坐标及对称轴方程或顶 点的横坐标时选用两根式比较简便. (1)当△=b2- 4ac≥0 ,抛物线与x轴相交
y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) △=b2- 4ac＞0 ，交点有两个， 分别是: (x1, 0)和(x2, 0) △=b2- 4ac =0,交点只有一个 即顶点[-b/2a,(4ac-b2)/4a] △=b2- 4ac <0 ,无交点
解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x2-x+2
2. 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)已知对称轴
y=a(x-1)2+4 ∵抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为： y= -1(x-1)2+4= -x2+2x+3
解法3:（交点式） 由题意可知两根为x1=-1、x2=3 设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) 则有： y=a(x+1)(x-3) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a(1+1)(1-3) 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：
待定系数法求二次函数
待定系数法求二次函数待定系数法求二次函数是特别有用的，也是很常用的。
一、待定系数法的定义待定系数法是根据给定条件，构造一个形如ax2+bx+c=0的二次方程，其中a、b、c为未知的系数，条件可以是一个定值，也可以是两个不等的定值，或者点的坐标。
二、待定系数法的步骤1. 将给定条件拆分成ax2+bx+c=0的三个未知数a,b,c；2. 用给定条件来确定其中的三个未知数a,b,c；3. 根据第二步得出的三个系数来求解这个二次方程，得出最终的解。
三、待定系数法的几种应用1. 将给定定值拆分成ax2+bx+c=0：例如，已知定值m，构造ax2+bx+c=m的二次方程，待定三个系数a，b，c，以及定值m，根据拉格朗日定理，有2a+b=m，a+b+c=0，可求得a=-b，c=-2b，进而求解最终的二次方程；2. 将给定不等值拆分成ax2+bx+c=0：例如，已知不等值m和n，构造ax2+bx+c=m和ax2+bx+c=n的二次方程，待定三个系数a，b，c，由拉格朗日定理得2a+b=m+n，a+b+c=0，可求得a=(m+n)/2，b=-(m+n)/2，c=-m-n，故可得最终的二次方程；3. 将给定点的坐标表示成ax2+bx+c=0：例如，已知A(x1,y1)和B(x2,y2)，构造ax2+bx+c=0的二次方程，待定三个未知数b，a，c，令y1=ax12+bx1+c=0，y2=ax22+bx2+c=0，求得a=(y2-y1)/(x2-x1)，b=(x2y1-x1y2)/(x2-x1)，c=y1-ax12-bx1，故可得最终的二次方程。
四、总结用待定系数法来求解二次函数是一种特别有效的方法，当给出它们给定条件时，不管是一组定值，还是两个不等的定值，还是点的坐标，都可以很容易地解决构造成ax2+bx+c=0的二次方程，最后得出二次方程的解。
待定系数法求二次函数
待定系数法求二次函数
待定系数法是一种求解二次函数的有效方法。
在数学中，二次函数是指具有特定形式的函数，它以平方项开头，如 y = ax2 + bx + c，其中a，b和c是常数，x是一个变量。
此形式的函数可以用来表示一个物理或经济系统中的复杂关系，例如物理学中的力与位移之间的关系。
待定系数法是一种求解二次函数的有效方法，它旨在确定函数的参数，以描述物理或经济系统的关系。
使用此方法，用户可以提供两个点，然后使用这些点来解决函数的参数。
要使用此方法，首先需要准备一些基本信息。
如果有两个点（x1，y1）和（x2，y2），可以使用以下方程式：
ax2 + bx + c = y1
ax2 + bx + c = y2
由此可以推导出两个方程：
a(x2 - x1) = y2 - y1
b(x2 - x1) = (y2 - y1)x1 - (y2 - y1)x2
将以上结果代入到原始二次函数中，即可求出函数的参数：
a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
b = (y2 - y1)x1 - (y2 - y1)x2 / (x2 - x1)
c = y1 - ax1 - bx2
最后，可以将a，b和c代入到原始函数中，以获得完整的二次函数。
待定系数法是一种有效的求解二次函数的方法，它可以帮助用户解决复杂的物理或经济系统中的关系。
用待定系数法求二次函数的解析式
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例题
顶点式： y=a(x-h)2+k
例 题
选 讲
例1：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为 （0，－5）求抛物线的解析式？
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例题
顶点式： y=a(x-h)2+k
例 题
选 讲
例2： 已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3 时有最大值4，求出对应的二次函数解析式.
设顶点式求解析式时，最后结果一般都要化成一般形式。要注意哦！
用待定系数法求二次函数的解析式
y
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1.用待定系数法求函数解析式的一般步骤？ 一设、二代、三解、四还原
2. 二次函数的一般形式是什么?它有几个待定系数?
y=ax2+bx+c（a≠0)，有3个待定系数a、b、c 3. 二次函数的顶点式是什么?它有几个待定系数? y=a(x-h)2+k （a≠0)，有3个待定系数a、h、k
封面 例题
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求二次函数解析式的一般方法：
1、已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式
一般式： y=ax2+bx+c
2、当已知有顶点、对称轴、最值，设顶点式 顶点式：y=a(x-h)2+k
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待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求二次函数解析式一、用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ．3．已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标）， 设两根式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) ．（其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标） 例题分析例1 已知抛物线经过点A （－1，0），B （4，5），C （0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3 已知抛物线与x 轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）． 求抛物线的解析式．二、应用迁移 巩固提高1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
2.二次函数2y ax bx c =++，x =－2时y =－6, x =2时y =10, x =3时y =24,求此函数的解析式。
3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。
4.已知抛物线的顶点坐标为（4，－1），与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式5.二次函数的对称轴为x=3，最小值为－2，且过（0，1），求此函数的解析式。
6.抛物线的对称轴是x=2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。
7.已知二次函数的图象与x轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式8.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。
9. 二次函数2y ax bx c =++，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。
10、已知直线y=x-3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，二次函数的图象经过A 、B 两点，且对称轴方程为x=1，求这个二次函数的解析式。
第22章 第9课 用待定系数法求二次函数解析式(顶点式、交点式)
(2)点P为x轴上方抛物线上一点，若S△PAB＝6，求此时点P的坐标.
解：设P(x，y)，∴△PAB的高为y.
∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4.
∴S△PAB＝ ×4y＝6.解得y＝3.
当y＝3时，3＝－x2＋2x＋3.解得x1＝0，x2＝2.
∴P(0，3)或P(2，3).返回目录Fra bibliotek返回目录
4．抛物线上部分点的横、纵坐标的对应值如下表所列：
x
y
－2 －1
0
4
0
1
2
3
6
6
4
0
请选择合适的方法，求此抛物线的解析式.
解：由表知，抛物线与x轴的交点为(－2，0)和(3，0)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－3).
将(0，6)代入，得a×2×(－3)＝6.解得a＝－1.
∴此抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－3)，
y＝－x
(0，4)的抛物线的解析式________________________________.
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能力过关
3．根据图形求抛物线的解析式.
解：设抛物线的解析式为
y＝a(x－1)2＋4.
代入点A(3，0)，得4a＋4＝0，解得a＝－1.
∴y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1＝－3，x2＝
1，且与y轴交点为(0，－3).求这个二次函数的解析式和顶点坐标.
解：设二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1).
把(0，－3)代入，得a×3×(－1)＝－3，解得a＝1.
∴二次函数的解析式为y＝(x＋3)(x－1)，
二次函数解析式求法(待定系数法)
二次函数解析式求法------待定系数法1．二次函数的三种常用形式一般式：()20y ax bx ca =++≠； 顶点式：()()20y a x h k a =−+≠；交点式：()()()120y a x x x x a =−−≠． 2．求二次函数解析式的一般方法已知图象上三点或三点的对应值，通常选择一般式()20y ax bx c a =++≠；已知图象上顶点坐标（或对称轴和最值），通常选择顶点式()()20y a x h k a =−+≠；已知图象与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2，通常选择交点式()()()120y a x x x x a =−−≠．3．待定系数法求二次函数解析式的一般步骤用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：一设：指先设出恰当的二次函数解析式；二代：指根据题中所给条件，代入二次函数解析式，得到关于a 、b 、c （或h ，k ）的方程组；三解：指解方程或方程组；四还原：指将求出的a 、b 、c （或h ，k ）代回原解析式中．例题1、已知一个二次函数的图象经过（3，0）、（0，﹣3）、（1，﹣4）三点，求这个二次函数的解析式．2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点．（1）求出抛物线解析式；（2）判断点（﹣2，﹣40）是否在该抛物线上？说明理由．3、.已知抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），且过点（0，32）．（1）求此抛物线所对应的函数表达式；（2）求证：对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在此抛物线上．4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A−，，且过点(30)B，.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.变式练习1、已知一抛物线与x轴的交点是)0,2A，B（1，0），且经过点(−C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.2、已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．4.已知抛物线2=++的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为y ax bx c4，则抛物线的解析式为___ _____．5.已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC的面积．。
二次函数待定系数法
二次函数待定系数法二次函数待定系数法是一种常见的数学技术，是以解析函数的方式解决实际问题的有效方法。
它的主要思想是建立一个未知的待定的函数，然后利用已知的相关信息进行求解，从而求解未知参数，最终得到解析解。
它的特点是简单，易操作，令人欣喜，所以非常适合用于相关数学领域的分析和研究。
二次函数待定系数法是一种特殊的函数系数分析方法，它具有显著的特殊性和有用性，主要在工程中应用。
主要涉及系统分析、控制理论和数学模型分析等方面。
它建立在一组函数系数中，它们的形式由解析函数的参数决定，而它们的值由实际情况决定。
二次函数待定系数法通常分为两个步骤，第一步是确定函数形式，即确定对数据以及相关参数的函数假设；第二步是用已知数据计算函数参数，即用有限的已知数据和相关参数求解函数中的待定参数。
二次函数待定系数法的应用非常广泛，主要使用在求解复杂的模型参数的问题中。
比如，在飞行器控制中，可以使用二次函数待定系数法来求解有关飞行模型参数的问题；在智能控制中，可以使用二次函数待定系数法来求解机器人模型参数的问题；在渐近稳定性研究中，可以使用二次函数待定系数法来求解系统渐近稳定性相关参数的问题；在动力学研究中，可以使用二次函数待定系数法来求解各种动力学参数的问题。
另外，二次函数待定系数法在现实应用中也被广泛应用。
例如，二次函数待定系数法可以用于机械系统参数的研究，用于求解发动机的参数，用于求解换挡器的参数，用于求解机器人控制系统的参数，用于研究飞行器的参数，用于求解气动系统的参数，用于研究火箭的参数，用于求解热能源的参数，用于研究舰船的参数，等等。
总之，二次函数待定系数法是一种有用的和实用性强的方法，可以用于大量的实际问题中。
它可以使用有限的参数求解大量的复杂问题，具有良好的解析特性，并且可以高效快速的求解复杂的问题，是工程与科学研究中的重要方法。
用待定系数法确定二次函数表达式
用待定系数法确定二次函数表达式知识点一、二次函数解析式的三种形式1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）；2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）；3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）.例：二次函数化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（ ）A．B．C．D．【解答】A【解析】故选A．知识点二、待定系数法求二次函数表达式在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式.1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解.2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k.3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.例：若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为 ．【解答】y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．【解析】图象顶点坐标为（0，﹣2），可以设函数解析式是y＝ax2﹣2，又∵形状与抛物线y＝﹣3x2相同，即二次项系数绝对值相同，∴|a|＝3，∴这个函数解析式是：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2，故答案为y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．巩固练习一．选择题1．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（ ）A．﹣6B．﹣6或7C．3D．3或﹣2【解答】D【解析】∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，∴顶点（1，b﹣a）当a＞0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，函数有最小值，∴b﹣a＝﹣2，当a＜0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，函数有最大值，∴b﹣a＝3，故选D．2．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【解答】C【解析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：1=a(1―h)2+k 8=a(8―ℎ)2+k，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；，故C正确；若h＝6，则a=―13，故D错误；若h＝7，则a=―15故选C．3．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（ ）A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣4）2﹣1D．y＝（x+4）2﹣5【解答】B【解析】y＝x2+4x﹣1＝y＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，故选B．4．用配方法将二次函数y＝x2﹣6x﹣7化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣16C．y＝（x+3）2+2D．y＝（x+3）2﹣16【解答】B【解析】y＝x2﹣6x﹣7＝（x﹣3）2﹣16，故选B．5．将二次函数y＝2x2﹣4x+1的右边进行配方，正确的结果是（ ）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+1【解答】C【解析】提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+1，配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+1﹣2，即y＝2（x﹣1）2﹣1．故选C．6．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（ ）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3【解答】A【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．故选A．7．将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（ ）A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x﹣2）2+3【解答】C【解析】提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，即y＝2（x﹣1）2+3．故选C．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）A．y＝2B．y＝2C．y＝8x2D．y＝9x2【解答】C【解析】设正方形的边长为2a，∴BC＝2a，BE＝a，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE，∵EG⊥AF，FH⊥CE，∴四边形EHFG是矩形，∵∠AEG+∠BEC＝∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AEG＝∠BCE，∴tan∠AEG＝tan∠BCE，∴AGEG =BEBC，∴EG＝2x，∴由勾股定理可知：AE，∴AB＝BC＝，∴CE＝5x，易证：△AEG≌△CFH，∴AG＝CH，∴EH＝EC﹣CH＝4x，∴y＝EG•EH＝8x2，故选C．9．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（ ）A．y＝x2﹣x﹣2B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2【解答】D【解析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），∵OC＝2，∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．故选D．10．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式，正确的是（ ）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+1【解答】C【解析】y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x）+1＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1＝2（x﹣1）2﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1，故选C．11．将二次函数y＝﹣x2+4x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）A．y＝﹣（x+2）2﹣1B．y＝﹣（x+2）2+1C．y＝﹣（x﹣2）2+1D．y＝﹣（x﹣2）2﹣1【解答】D【解析】y＝﹣x2+4x﹣5，＝﹣（x2﹣4x+4）﹣1，＝﹣（x﹣2）2﹣1．故选D．12．与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）A．y＝﹣x2B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝x2+1【解答】D【解析】与抛物线y＝﹣x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同．即y＝x2+1，故选D．二．填空题13．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣3），且过点（2，0），则这个二次函数的解析式 ．【解答】y＝3x2﹣6x【解析】设此二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3．∵其图象经过点（2，0），∴a（2﹣1）2﹣3＝0，∴a＝3，∴y＝3（x﹣1）2﹣3，即y＝3x2﹣6x，故答案为y＝3x2﹣6x．14．二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），则此二次函数的解析式是 ．【解答】y＝x2﹣x﹣2．【解析】∵二次函数图象经过A（﹣1，0），B（2，0），∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将C（0，﹣2）代入，得：﹣2a＝﹣2，解得a＝1，则抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，故答案为y＝x2﹣x﹣2．15．若某抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，已知a，b为正整数，c为整数，b＞2a，且当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，则抛物线的函数解析式为 ．【解答】y＝x2+3x﹣2【解析】抛物线y＝ax2+bx+c中，a，b为正整数，c为整数，b＞2a，∴抛物线开口向上，对称轴直线x＜﹣1，∵当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，∴当x＝﹣1时y＝﹣4，x＝1时y＝2，∴a―b+c=―4①a+b+c=2②，②﹣①得2b＝6，∴b＝3，∵a，b为正整数，b＞2a，∴a＝1，∴1+3+c＝2，解得c＝﹣2，∴抛物线的函数解析式为y＝x2+3x﹣2，故答案为y＝x2+3x﹣2．16．若二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则此函数的解析式为 ．【解答】y＝﹣x2+4x﹣3【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得，0＝a+1∴a＝﹣1，∴函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1，所以该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是 ．【解答】y＝﹣x2+2x+3【解析】根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C（0，3）代入，得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，故答案为y＝﹣x2+2x+3．18．把二次函数y＝x2+4x﹣1变形为y＝a（x+h）2+k的形式为 ．【解答】y＝（x+2）2﹣5【解析】y＝x2+4x﹣1＝（x2+4x+4）﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，即y＝（x+2）2﹣5．故答案是：y＝（x+2）2﹣5．19．二次函数y＝x2+6x﹣3配方后为y＝（x+3）2+ ．【解答】（﹣12）【解析】∵y＝x2+6x﹣3＝（x2+6x）﹣3＝（x2+6x+32﹣32）﹣3＝（x+3）2﹣9﹣3＝（x+3）2﹣12，故答案为（﹣12）．20．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ．【解答】答案不唯一【解析】∵当x＜1时y随x增大而减小；当x＞1时y随x增大而增大，∴对称轴为x＝1，开口向上，∴符合条件的二次函数可以为：y＝（x﹣1）2，故答案为y ＝（x ﹣1）2（答案不唯一）．21．在平面直角坐标系中，点O （0，0），点A （1，0）．已知抛物线y ＝x 2+mx ﹣2m （m 是常数），顶点为P ．无论m 取何值，该抛物线都经过定点H ．当∠AHP ＝45°时，求抛物线的解析式是 ．【解答】y ＝x 2―145x +285或y ＝x 2―223x +443【解析】当x ＝2时，y ＝4+2m ﹣2m ＝4∴无论m 取何值，该抛物线都经过定点H （2，4）过点A 作AB ⊥PH 于点B ，过点B 作DC ⊥x 轴于点C ，过点H 作HD ⊥CD 于点D ，∴∠ABH ＝∠ACB ＝∠BDH ＝90°∴∠ABC +∠DBH ＝∠ABC +∠BAC ＝90°∴∠BAC ＝∠DBH∵∠AHP ＝45°∴△ABH 是等腰直角三角形，AB ＝BH在△ABC 与△BHD 中∠ACB =∠BDH∠BAC =∠HBD AB =BH∴△ABC ≌△BHD （AAS ）∴AC ＝BD ，BC ＝HD设点B 坐标为（a ，b ）①若点P 在AH 左侧，即点B 在AH 左侧，如图1，∴AC ＝1﹣a ，BC ＝b ，BD ＝4﹣b ，DH ＝2﹣a ∴1―a =4―b b =2―a 解得：a =―12b =52∴点B （―12，52）设直线BH 解析式为y ＝kx +h ∴―12k +ℎ=522k +ℎ=4解得：k =35ℎ=145∴直线BH ：y =35x +145，∵y ＝x 2+mx ﹣2m ，∴抛物线顶点P 为（―m 2，―m 24―2m ），∵点P （―m 2，―m 24―2m ）在直线BH 上∴35（―m 2）+145=―m 24―2m 解得：m 1=―145，m 2＝﹣4∵m ＝﹣4时，P （2，4）与点H 重合，要舍去∴抛物线解析式为y ＝x 2―145x +285；②若点P 在AH 右侧，即点B 在AH 右侧，如图2，∴AC ＝a ﹣1，BC ＝b ，BD ＝4﹣b ，DH ＝a ﹣2∴a ―1=4―b b =a ―2 解得：a =72b =32∴点B （72，32）设直线BH 解析式为y ＝kx +h+ℎ=32+ℎ=4解得：k =―53ℎ=223∴直线BH ：y =―53x +223，∵点P （―m 2，―m 24―2m ）在直线BH 上∴―53（―m 2）+223=―m 24―2m 解得：m 1=―223，m 2＝﹣4（舍去）∴抛物线解析式为y ＝x 2―223x +443，综上所述，抛物线解析式为y ＝x 2―145x +285或y ＝x 2―223x +443，故答案为y ＝x 2―145x +285或y ＝x 2―223x +443．22．若抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点是A （2，﹣1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为 ．【解答】y ＝x 2﹣4x +3【解析】设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣2）2﹣1，将B （1，0）代入y ＝a （x ﹣2）2﹣1得，a ＝1，函数解析式为y ＝（x ﹣2）2﹣1，展开得y ＝x 2﹣4x +3．故答案为y ＝x 2﹣4x +3．23．请写出一个开口向下，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．【解答】答案不唯一【解析】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，令a ＝﹣1，设抛物线的关系式为y ＝﹣（x ﹣h ）2+k ，∵对称轴为直线x ＝2，∴h ＝2，把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k ，解得，k ＝7，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，故答案为y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．24．已知函数y＝﹣x2+2x+c2的部分图象如图所示，则c＝ ，当x 时，y随x的增大而减小．【解答】c x＞1时，y随x的增大而减小【解析】图象过（3，0），将（3，0）代入y＝﹣x2+2x+c2，得：c2＝3，即c根据图象得：对称轴为x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．三．解答题25．已知二次函数的图象经过（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13）三点，求此二次函数的解析式．【解答】y＝5x2﹣7x+1．【解析】设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得a+b+c=―1c=1a―b+c=13，解得a=5b=―7c=1，所以抛物线解析式为y＝5x2﹣7x+1．26．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB =12．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值．【解答】（1）抛物线的解析式为y ＝﹣（x +1）2；（2）△ABC 面积的最大值是18．【解析】（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，a ），∴OA ＝1，OB ＝﹣a ，∵S △AOB =12．∴12×1×(―a)=12，解得，a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x +1）2；（2）∵A （﹣1，0），B （0，﹣1），∴直线AB 为y ＝﹣x ﹣1，过C 作CD ⊥x 轴，交直线AB 于点D ，设C （x ，﹣（x +1）2），则D （x ，﹣x ﹣1），∴CD ＝﹣（x +1）2+x +1，∵S △ABC ＝S △ACD +S △BCD =12[﹣（x +1）2+x +1]×1，∴S △ABC =―12（x +12）2+18，∵―12＜0，∴△ABC 面积的最大值是18．27．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +6经过点A （﹣2，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （1＜m ＜4）．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值．【解答】（1）y =―34x 2+32x +6；（2）m ＝3．【解析】（1））∵抛物线y ＝ax 2+bx +6经过点A （﹣2，0），B （4，0）两点，∴4a ―2b +6=016a +4b +6=0，解之，得：a =―34b =32，∴故抛物线的表达式为：y =―34x 2+32x +6；（2）设直线BC 解析式为y ＝kx +n ，将点B 、C 的坐标代入得：4k +n =0n =6，解得k =―32n =6，∴直线BC 的表达式为：y =―32x +6，如图所示，过点D 作y 轴的平行线交直线BC 于点H ，设点D （m ，―34m 2+32m +6），则点H （m ，―32m +6）∴S △BDC =12HD ×OB =12（―34m 2+32m +6+32m ﹣6）×4＝2（―34m 2+3m ），∵34S △ACO =34×12×6×2=92，即：2（―34m 2+3m ）=92，解得：m 1＝3，m 2＝1（舍去），故m ＝3．28．已知二次函数y ＝x 2+bx +2b （b 是常数）．（1）若函数图象过（1，4），求函数解析式；（2）设函数图象顶点坐标为（m ，n ），当b 的值变化时，求n 关于m 的函数关系式；（3）若函数图象不经过第三象限时，当﹣5≤x ≤3时，函数的最大值和最小值之差是20，求b 的值．【解答】（1）y ＝x 2+x +2；（2）n =―m 2﹣4m ；（3）b ＝﹣b ＝10﹣【解析】（1）将点（1，4）代入y ＝x 2+bx +2b ，得1+b +2b ＝4，∴b ＝1，∴函数解析式是y ＝x 2+x +2；（2）∵y ＝x 2+bx +2b ＝（x +12b ）2―14b 2+2b ，设函数图象顶点坐标为（m ，n ），∴m =―12b ，n =―14b 2+2b ，∴b ＝﹣2m ，∴n =―14×(―2m )2+2(―2m)=―m 2﹣4m ；（3）∵y ＝（x +12b ）2―14b 2+2b ，∴对称轴x =―12b ，在y ＝x 2+bx +2b 中，当x ＝﹣5时，y ＝25﹣5b +2b ＝25﹣3b ，当x ＝3时，y ＝9+3b +2b ＝9+5b ，分两种情况：①当b ≤0时，2b ＝c ≤0，函数不经过第三象限，则c ＝0；此时y ＝x 2，当﹣5≤x ≤3时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25，此种情况不符合题意；②当b＞0时，2b＝c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴b2﹣8b≤0，∴0＜b≤8，∴﹣4≤x=―b＜0，2b2+2b，当﹣5≤x≤3时，函数有最小值―14∵当x＝3和x＝﹣5对称时，对称轴是：x＝﹣1，∴当﹣4≤―b＜―1时，函数有最大值9+5b，2∵函数的最大值与最小值之差为20，b2+2b）＝20，∴9+5b﹣（―14∴b＝﹣6﹣，当﹣1＜―b＜0时，函数有最大值25﹣3b；2∵函数的最大值与最小值之差为20，b2+2b）＝20，∴25﹣3b﹣（―14∴b＝10﹣8（舍），综上所述b＝﹣b＝10﹣29．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B两点，对称轴为x＝1，与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m（1＜m＜4）．连接BC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△BCP的面积等于9时，求点P的坐标；2【解答】（1）y =―34x 2+32x +6；（2）点P(3，154)【解析】（1）依题意得4a ―2b +c =0―b 2a =1c =6解得a =―34b =32c =6，故抛物线的解析式为：y =―34x 2+32x +6；（2）A （﹣2，0）关于直线x ＝1的对称点B （4，0），如图所示，过点P 做y 轴的平行线交直线BC 于点D ，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴4k +b =0b =6，解得k =―32，∴直线BC 的解析式为y =―32x +6，设点P(m ，―34m 2+32m +6)，则点D(m ，―32m +6)，S △BPC =12PD ×OB =2(―34m 2+32m +6+32m ―6)=2(―34m 2+3m)，∴2(―34m 2+3m)=92，解得：m 1＝1，m 2＝3，又∵1＜m ＜4，∴m ＝3，∴y P =―34×9+32×3+6=154，∴点P(3，154)．30．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0）（1）求抛物线的解析式和顶点E 坐标；（2）该抛物线有一点D ，使得S △DBC ＝S △EBC ，求点D 的坐标．【解答】（1）y =45(x ―3)2―165，E 坐标为(3，―165)；（2）D (3―，165)或(3+，165)【解析】（1）由题意，设y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5），代入A （0，4），得a =45，∴y =45(x ―1)(x ―5)，∴y =45(x ―3)2―165，故顶点E 坐标为(3，―165)；（2）∵S △DBC ＝S △EBC ，∴两个三角形在公共边BC 上的高相等，又点E 到BC 的距离为165，∴点D 到BC 的距离也为165，则45（x ﹣3）2―165=165，解得x ＝则点D (3―，165)或(3+，165)．31．已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax +3+b （a ≠0）．（1）求出二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a ，b 满足4＜a +|b |＜9，求二次函数的表达式；（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤x 1≤t +1，当x 2≥5时，均有y 1≤y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．【解答】（1）对称轴是x=―4a2a=2；（2）y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；（3）当a＞0时，﹣1≤t ≤4【解析】（1）二次函数图象的对称轴是x=―4a2a=2；（2）该二次函数的图象经过点（1，3），∴a﹣4a+3+b＝3，∴b＝3a，把b＝3a代入4＜a+|b|＜9，得4＜a+3|a|＜9．当a＞0时，4＜4a＜9，则1＜a＜94．而a为整数，∴a＝2，则b＝6，∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+9；当a＜0时，4＜﹣2a＜9，则―92＜a＜―2．而a为整数，∴a＝﹣3或﹣4，则对应的b＝﹣9或﹣12，∴二次函数的表达式为y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；（3）∵当x2≥5时，均有y1≤y2，二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）的对称轴是x＝2，∵y1≤y2，∴①当a＞0时，有|x1﹣2|≤|x2﹣2|，即|x1﹣2|≤x2﹣2∴2﹣x2≤x1﹣2≤x2﹣2，∴4﹣x2≤x1≤x2，∵x2≥5，∴4﹣x2≤﹣1，∵该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥5时，均有y1≤y2，∴t≥―1 t+1≤5∴﹣1≤t ≤4．②当a ＜0时，|x 1﹣2|≥|x 2﹣2|，即|x 1﹣2|≥x 2﹣2∴x 1﹣2≥x 2﹣2，或x 1﹣2≤2﹣x 2，∴x 1≥x 2，或x 1≤4﹣x 2∵x 2≥5，∴4﹣x 2≤﹣1，∵该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤x 1≤t +1，当x 2≥5时，均有y 1≤y 2，∴t 比x 2的最大值还大，或t +1≤比4﹣x 2的最小值还小，这是不存在的，故a ＜0时，t 的值不存在，综上，当a ＞0时，﹣1≤t ≤4．32．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），C （0，3）两点，它的对称轴与x 轴交于点F ，过点C 作CE ∥x 轴交抛物线于另一点E ，连结EF ，AC ．（1）求该抛物线的表达式及点E 的坐标；（2）在线段EF 上任取点P ，连结OP ，作点F 关于直线OP 的对称点G ，连结EG 和PG ，当点G 恰好落到y 轴上时，求△EGP 的面积．【解答】（1）y ＝﹣（x ﹣1）2+4，E （2，3）；（2）S △EGP =12S △EGF =12×12×1【解析】（1）把A （﹣1，0），C （0，3）两点代入抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 中得：―1―b +c =0c =3，解得：b =2c =3，∴该抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴对称轴是：x ＝1，∵CE ∥x 轴，∴点C 与点E 是对称点，∴E （2，3）；（2）连接FG ，过P 作PM ⊥x 轴于M ，过E 作EN ⊥x 轴于N ，则PM ∥EN ，∵F 与G 关于OP 对称，且G 在y 轴上，∴OF ＝OG ＝1，∴FG =OGF ＝45°，∵OC ＝3，∴OG ＝3﹣1＝2＝CE ，∴△ECG 是等腰直角三角形，∴EG ＝CGE ＝45°，∴∠EGF ＝90°，∵E （2，3），F （1，0），易得EF 的解析式为：y ＝3x ﹣3，设P （x ，3x ﹣3），∵∠POM ＝45°，∴△POM 是等腰直角三角形，∴PM ＝OM ，即x ＝3x ﹣3，x =32，∴P （32，32），∴FM ＝MN =12，∵PM ∥EN ，∴FP ＝EP ，∴S △EGP =12S △EGF =12×12× 1.。
用待定系数法求二次函数的解析式公开课PPT通用课件
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1。 故顶点坐标为（ 1 ， 2） 所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 得a=-2 故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
4 图象顶点是M(1,16)且与x轴交于两点，已知 两交点相距8个单位.
解：设抛物线与x轴交于点A、点B y
∵顶点M坐标为（1,16）,对称轴为 16
x=1,又交点A、B关于直线x=1对
称,AB=8
∴A(-3,0)、B(5,0) ∴此函数解析式可设为
A -3 o 1
B
5
x
y=a(x-1)2+16
或y=a(+3)(x-5)
解：设抛物线为y=ax(x-40 ）
根据题意可知,点(20，16)在抛物线上
∴16=20a(20 – 40), a = - —1
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评价
选用两根式求解 ，方法灵活巧妙 ，过程也较简捷
3、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2， 图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点 （3，-6），求此二次函数的解析式。
由条件得：点M( 0,1 )在抛物线上 所以：a(0+1)(0-1)=1 得 ： a=-1
y
x o
故所求的抛物线为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=-x2+1
思考： 用一般式怎么解？
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为
___y_=_a_x__2+__b_x_+_c__(_a≠0)
二次函数待定系数法求解析式
二次函数待定系数法求解析式
二次函数待定系数法是求解二次函数解析式的一种常用方法。
它的基本思想是：已知二次函数的某些性质或特征，根据这些性质或特征列出方程组，通过待定系数的方式求解二次函数的解析式。
具体来说，二次函数待定系数法的求解步骤如下：
1. 根据题目条件列出方程组。
2. 假设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为待定系数。
3. 根据方程组解出 $a$，$b$，$c$ 的值，从而得到二次函数的解析式。
常用的二次函数待定系数法有以下几种：
1. 已知二次函数图像过某个点和另一个点的切线，求解析式。
2. 已知二次函数图像过三个点，求解析式。
3. 已知二次函数的对称轴和顶点坐标，求解析式。
4. 已知二次函数的零点和另一个点，求解析式。
5. 已知二次函数的一个根和一个点，求解析式。
6. 已知二次函数的一个根和对称轴的位置，求解析式。
二次函数待定系数法是数学中一个非常重要的方法，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。
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二次函数的待定系数法
1、已知抛物线y=a x2+bx+c，当x=1时，y=0，则a+b+c=_____，经过点（0,-3），则___________，经过点（4,5），则___________对称轴为直线x=1，则___________
2、已知抛物线y=a（x-h）2+k
(1)顶点坐标是（-3,4），则h=_____,k=______，代入得y=______________
(2) 代入得y=______________
对称轴为直线x=1，则___________代入得y=______________
交点式为：
二次函数的三种形式会选择！只看题选择设为哪种解析式解答比较简单。
1、已知一个二次函数的图象过点（0,-3），（4,5），（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？
2、已知一个二次函数的图象过点（0, -3），（-1,0），（3,0）三点，求这个函数的解析式？
3、已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
4、已知一个二次函数的图象过点（0,-3），（4,5）对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？例1
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．。