浙江师范大学第五届初等数学竞赛

浙江师范大学第五届初等数学竞赛 暨浙江省教育局统一考试模拟试题 本试卷分为第Ⅰ卷（共50分）和第Ⅱ卷（共100分）两部分，满分150分， 考试时间为120分钟，请在答题纸上作答，在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1·a 2}的集合M 的个数是

（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4

（2）设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则z

z 等于 （A ）1 （B ）—i (C)±1 (D) ±i

（3）函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜2

π)＝的图象是

（4）设函数f (x )＝｜x +1｜+｜x -a ｜的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为

(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1

（5）已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)6

7sin(,354πα- （A ）—532 （B ）532 (C)—54 (D) 5

4 （6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几

何体的表面积是

(A)9π （B ）10π

(C)11π (D) 12π

（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为

（A ）

511 （B ）68

1 （C ）3061 （D ）4081

（8）（X -31

x ）12展开式中的常数项为

（A ）-1320 （B ）1320 （C ）-220 (D)220

(9) 设椭圆C 1的离心率为13

5，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为

（A ）1342222=-y x (B)15

1322

22=-y x (C) 1432222=-y x (D)112

1322

22=-y x （10）已知圆的方程为X 2+Y 2-6X -8Y ＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （A ）106 （B ）206 （C ）306 （D ）406

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（11）已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（

1,3-），n ＝（cosA,sinA ）.

若m ⊥n ，且acosB+bcosA=csinC ，则角B ＝ (12) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦距为2c ，以O 为圆心，

A 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率是 ．

(13)若不等式｜3X-B ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为

（14）在平面直角坐标系xOy 中，若D 表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 内随机地投一点，则落在E 中的概率

（15）以下是有关新课程改革的命题，请判断正误。（每空1分）

1、新课程改革实际上就是新一轮的教材改革。（ ）

2、新课程改革的核心目的是培养全面发展的人。（ ）

3、新课程在小学阶段是以分科课程为主，在初中阶段是以综合课程为主。（ ）

4、新课程把中小学教材由“国定制”改为“国审制”，形成了教材编写、出版、选用混乱的局面，不利于教师把握教学和考试的标准。（ ）

5、《纲要》提出的要使学生“养成健康的审美情趣”的培养目标，只能在语文、美术、音乐课中才能实现，其他课程没有办法培养学生的审美情趣。（ ）

(16) 已知1,(0,0)x y x y +=>>,求1x +2y

的最小值. 解: ∵1,(0,0)x y x y +=>>，∴令

22cos ,sin x y θθ==, 则22221212tan 2cot 3cos sin x y θθθθ

+=+=++≥3+22. ∴当且仅当21,22x y =-=-时，12x y

+的最小值为3+22. 试说出： （1）此题涉及的主要知识点是 (2分)

（2）此题的解题过程用到的数学方法有 （2分）

（3）此题的解题思路体现的数学思想是 （1分）

三、综合题：本大题共6小题，共70分。

（17）概率统计（本小题满分12分）

甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为3

2，乙队中3人答对的概率分别为2

1,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分. （Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；（4分） (Ⅱ) 用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )。（8分）

.(18) 空间几何 (本小题满分12分)

如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面

ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.

（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （4分）

（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正