材料力学第九章 组合受力与变形2
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q
Mz
z
FN
F
A
F
B
l
+ =
M max y FN N M IZ A FN Mzy max A IZ min
何斌
Page 3
一桥墩如图示。承受的荷载为：上部结构 传递给桥墩的压力F0＝1920kN，桥墩墩帽及墩 身的自重F1＝330kN，基础自重F2＝1450kN，车 辆经梁部传下的水平制动力FT＝300kN。试绘出 基础底部AB面上的正应力分布图。已知基础底 面积为b×h＝8m×3.6m的矩形。
3
1602 1442 6 3 10 2 . 691 cm 80106
d
何斌
32Wz
32 2691
30.2m m
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材料力学
第9章 组合受力与变形
例题3
圆截面杆尺寸与受力如图所示，已知[ ]=160MPa，试用第四强度理 论校核该杆强度。
何斌
Page 19
材料力学
第9章 组合受力与变形
强度条件与设计公式
对于第三强度理论
1 3 4
2 2
对于第四强度理论
2 3 2
2 M 2 Mx
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
（6）在拉伸和弯曲组合变形圆截面杆的外边界上，各点主 应力必然是σ1 ＞0， σ2＝0， σ3＜0 。（ × ）
试判断下列论述是否正确，正确的在括号内打 “√”，错误的打“×”
（7）承受斜弯曲的杆件，其中性轴必然通过横截面的形心， 而且中性轴上正应力必为零。（ √ ） （8）承受偏心拉伸（压缩）的杆件，其中性轴仍然通过横 × 截面的形心。 （ ） （9）偏心拉压杆件中性轴的位置，取决于梁截面的几何尺 寸和载荷作用点的位置，而与载荷的大小无关。 （ √ ） （10）拉伸（压缩）与弯曲组合变形和偏心拉伸（压缩）组 合变形的中性轴位置都与载荷的大小无关。 （ ） ×
为简单起见，可以用轴线 受力图代替原来的受力图。这 种图称为传动轴的计算简图。
何斌
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材料力学
第9章 组合受力与变形
危险点及其应力状态
为了对承受弯曲与扭转共同作用的圆轴进行强度设计，一般需 画出弯矩图和扭矩图（剪力一般忽略不计），并据此确定传动轴上 可能的危险面。因为是圆截面，所以当危险面上有两个弯矩My和 Mz同时作用时，应按矢量求和的方法，确定危险面上总弯矩M的 大小与方向。 M y y My My Mz Mx O
F
FN M y z M z y A Iy Iz
ez
y
Fez z Fey y A Iy Iz
令y0，z0代表中性轴上任一点的坐标
F
iy
Iy A
z
A
z Fe 0 e yy Fe y FFe e z e y z y 0 z 0 y 0 z 0 z 0 00 1 1 0 2 2 2 i 2 I A i i A I i y z z z y z F M z Fey F Fez z0 Fey y0 中性轴是一条不通过截面形心的直线 2 2 0 A iy A i2z A y i z M y Fez E y, z y a z 0 o y 0 D C ey 2 i B y 0 0 az zo y ez
2 y
2 z
Iy
z
①
d
1 O
d 8 d 8
A
y
材料力学
第9章 组合受力与变形
第9章 组合受力与变形
斜弯曲 拉伸（压缩）与弯曲的组合
弯曲与扭转组合 圆柱形薄壁容器应力状态与强度计算
结论与讨论
何斌
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材料力学
第9章 组合受力与变形
弯曲与扭转组合
何斌
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材料力学
M z Fey
B
3.应力计算
FN M y z M z y A Iy Iz
FN M y M z D A W y Wz
FN M y M z A A W y Wz FN M y M z B A Wy Wz FN M y M z C A Wy Wz
将和的表达式代入上式，并考虑到WP＝2W，便得到
W
何斌
2 M 2 0.75M x
W
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材料力学
第9章 组合受力与变形
强度条件与设计公式
2 M 2 Mx
W 引入记号
2 M 2 0.75M x
W
2 M r3 M 2 M x2＝ M x2 M y M z2
需要指出的是，对于承受纯扭转的圆轴，只要令Mr3的表达 式或Mr4的表达式中的弯矩M＝0，即可进行同样的设计计算。
何斌
Page 22
试判断下列论述是否正确，正确的在括号内打 “√”，错误的打“×”
（1）杆件发生斜弯曲时，杆变形的总挠度方向一定与中性轴向垂 直。 （ ）×
（2）若偏心压力位于截面核心的内部，则中性轴穿越杆件 × 的横截面。 （ ）
图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下 表面的轴向正应变分别为εa＝1×10－3、 εb ＝ 0.4×10－3，材料的弹性模量E＝210GPa 。(1).试 绘出横截面上的正应力分布图；(2).求拉力F及偏 心距δ的距离。 210MPa
F
a
F
5 25
b
84MPa
F bh a b 18.38kN 2
2 2 2 M r4 M 2 0.75M x ＝ 0.75M x My M z2
M r3 W
M r4 W
式中，Mr3和Mr4分别称为基于第三强度理论和基于第四强度理 论的计算弯矩或相当弯矩（equivalent bending moment）。
何斌
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P Pl/4
30° C 30°
l/2
l
M max
1 l Pl P cos 30 ( ) 18.75kN m 4 cos 30 4
30°
P
Pl/4
C
30° l/2 l
In a section to the left of the applied force :
P sin 30 M max c max 8.07MPa (upper ) A Wz P sin 30 M max 't max 7.55MPa (lower ) A Wz In a section to the right of the applied force :
第9章 组合受力与变形
例题2
m A m=144N.m
C
Q=800N
B
危险点位于C截面外缘上、
M图
下的a、b两点。 C截面 a z
b y
b点
T图
⊕ 160N.m 144N.m ⊕
Wz
1 Wz
r 3 2 4 2
M 2 T 2
d 3
32
3
M 2 T 2
2 z
当偏心力的作用点位于形心附近的一个限界上 时,可使得中性轴恰好与周边相切,这时横截面上只 出现压应力. 该限界所围成的区域-----截面的核心
求直径为D的圆截面的截面核心.
d a y1 2
iz2 ay ey
4 d2 d 64 a z1 i i 2 A d 4 16 2 d iy ey ez 0 az 8 ez
a E a 210MPa
FN M F 6 F a A W bh bh 2 F M F 6 F b N 2 A W bh bh
b E b 84MPa
bh 2 a b 1.786mm 12 F
截面核心
ey z
x
Mz
Mx O z
x
z
何斌
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材料力学
第9章 组合受力与变形
危险点及其应力状态
根据截面上的总弯矩M和扭矩Mx的实际方向，以及它们分别 产生的正应力和剪应力分布，即可确定承受弯曲与扭转作用的圆 轴的危险点及其应力状态。
y
M
危险点
Mx O x
z
微元截面上的正应力和剪应力分别为
Mx M , W WP
材料力学
第9章 组合受力与变形
例题2
图示卷扬机，已知Q=800N ， R=180mm ，[ ]=80MPa， 试按第三强度理论确定圆轴直径d。
A
0.4m Q m A B m 解： 0.4m B a P Q d C R
Q
何斌
m QR 800 0.18 144N .m
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材料力学
何斌
πd πd W , WP 32 16
3
3
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材料力学
第9章 组合受力与变形
强度条件与设计公式
危险点应力状态的主应力
1 1 2 4 2 2 2
2 0 1 2 2 3 － 4
2 2
因为承受弯曲与扭转作用 的圆轴一般由韧性材料制成， 故可用最大剪应力准则或畸变 能密度准则作为强度设计的依 据。于是，得到强度条件：
0.229
An inclined beam , P=25kN , l=3m , b×h=160×300mm2 , Determine the maximum tensile and compressive stresses . Solution : The upper half : bending The lower half : bending and compression
第9章 组合受力与变形
弯曲与扭转组合
计算简图
危险点及其应力状态
强度条件与设计公式
何斌
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材料力学
第9章 组合受力与变形
计算简图
借助于带轮或齿轮传递功 率的传动轴，工作时在齿轮的 齿上均有外力作用。 将作用在齿轮上的力向轴 的截面形心简化便得到与之等 效的力和力偶，这表明轴将承 受横向载荷和扭转载荷。
材料力学20
何斌 njhebin@gmail.com
2016年12月20日星期二
材料力学
第9章 组合受力与变形
第9章 组合受力与变形
斜弯曲 拉伸（压缩）与弯曲的组合
弯曲与扭转组合 圆柱形薄壁容器应力状态与强度计算
结论与讨论
何斌
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材料力学
第9章 组合受力与变形
拉伸（压缩）与弯曲的组合
材料力学
第9章 组合受力与变形
强度条件与设计公式
M r3 W
M r4 W
将W＝d3／32代入上式，便得到承受弯曲 与扭转的圆轴直径的设计公式：
32M r 3 M r3 3 d 10 π
3
32M r 4 M r4 d 3 3 10 π
ay
e ,e
y z
y
az
中性轴
z
ay
e ,e
y z
y
中性轴与偏心力的作用点总是位于形心的相对 两侧.且偏心力作用点离形心越近,中性轴就离形心 越远. 当偏心距为零时,中性轴位于无穷远处.
az
中性轴
z0 0 y0 0
i y ay o ey 2 iy az zo ez
M Fe
B
y
F F
A
e
B
单向偏心压缩时, 偏心力作用的一侧边缘总是产生压应力,而最大正应 力(考虑正负)总是发生在距偏心力较远的另一侧,其值可能是拉应力,也 可能是压应力.
双向偏心拉伸（压缩）
ey z
F F
z
ez
M z Fey
y
A
M y Fez
D
E y, z
y
C
FN F
M y Fez
（3）若压力作用点离截面核心越远，则中性轴离截面越远。 （ × ）
试判断下列论述是否正确，正确的在括号内打 “√”，错误的打“×”
（4）在弯扭组合变形圆截面杆的外边界上，各点的应力状 态都处于平面应力状态。（ √ ） （5）在弯曲与扭转组合变形圆截面杆的外边界上，各点主 应力必然是σ1＞ σ2 ，σ2＝0，σ3＜0 。 （ ） √
M max M max ' 't max 2 7.81MPa Wz bh / 6
Baidu Nhomakorabea
(lower )
t max ' 't max 7.81MPa
偏心拉伸（压缩） 单向偏心拉伸（压缩）
e
F F
M Fe
F
M Fe
FN Fey A IZ
FN
A
z
Mz
z
FN
F
A
F
B
l
+ =
M max y FN N M IZ A FN Mzy max A IZ min
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一桥墩如图示。承受的荷载为：上部结构 传递给桥墩的压力F0＝1920kN，桥墩墩帽及墩 身的自重F1＝330kN，基础自重F2＝1450kN，车 辆经梁部传下的水平制动力FT＝300kN。试绘出 基础底部AB面上的正应力分布图。已知基础底 面积为b×h＝8m×3.6m的矩形。
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1602 1442 6 3 10 2 . 691 cm 80106
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32Wz
32 2691
30.2m m
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例题3
圆截面杆尺寸与受力如图所示，已知[ ]=160MPa，试用第四强度理 论校核该杆强度。
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第9章 组合受力与变形
强度条件与设计公式
对于第三强度理论
1 3 4
2 2
对于第四强度理论
2 3 2
2 M 2 Mx
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
（6）在拉伸和弯曲组合变形圆截面杆的外边界上，各点主 应力必然是σ1 ＞0， σ2＝0， σ3＜0 。（ × ）
试判断下列论述是否正确，正确的在括号内打 “√”，错误的打“×”
（7）承受斜弯曲的杆件，其中性轴必然通过横截面的形心， 而且中性轴上正应力必为零。（ √ ） （8）承受偏心拉伸（压缩）的杆件，其中性轴仍然通过横 × 截面的形心。 （ ） （9）偏心拉压杆件中性轴的位置，取决于梁截面的几何尺 寸和载荷作用点的位置，而与载荷的大小无关。 （ √ ） （10）拉伸（压缩）与弯曲组合变形和偏心拉伸（压缩）组 合变形的中性轴位置都与载荷的大小无关。 （ ） ×
为简单起见，可以用轴线 受力图代替原来的受力图。这 种图称为传动轴的计算简图。
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第9章 组合受力与变形
危险点及其应力状态
为了对承受弯曲与扭转共同作用的圆轴进行强度设计，一般需 画出弯矩图和扭矩图（剪力一般忽略不计），并据此确定传动轴上 可能的危险面。因为是圆截面，所以当危险面上有两个弯矩My和 Mz同时作用时，应按矢量求和的方法，确定危险面上总弯矩M的 大小与方向。 M y y My My Mz Mx O
F
FN M y z M z y A Iy Iz
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y
Fez z Fey y A Iy Iz
令y0，z0代表中性轴上任一点的坐标
F
iy
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2 y
2 z
Iy
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①
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1 O
d 8 d 8
A
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第9章 组合受力与变形
第9章 组合受力与变形
斜弯曲 拉伸（压缩）与弯曲的组合
弯曲与扭转组合 圆柱形薄壁容器应力状态与强度计算
结论与讨论
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弯曲与扭转组合
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M z Fey
B
3.应力计算
FN M y z M z y A Iy Iz
FN M y M z D A W y Wz
FN M y M z A A W y Wz FN M y M z B A Wy Wz FN M y M z C A Wy Wz
将和的表达式代入上式，并考虑到WP＝2W，便得到
W
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2 M 2 0.75M x
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强度条件与设计公式
2 M 2 Mx
W 引入记号
2 M 2 0.75M x
W
2 M r3 M 2 M x2＝ M x2 M y M z2
需要指出的是，对于承受纯扭转的圆轴，只要令Mr3的表达 式或Mr4的表达式中的弯矩M＝0，即可进行同样的设计计算。
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试判断下列论述是否正确，正确的在括号内打 “√”，错误的打“×”
（1）杆件发生斜弯曲时，杆变形的总挠度方向一定与中性轴向垂 直。 （ ）×
（2）若偏心压力位于截面核心的内部，则中性轴穿越杆件 × 的横截面。 （ ）
图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下 表面的轴向正应变分别为εa＝1×10－3、 εb ＝ 0.4×10－3，材料的弹性模量E＝210GPa 。(1).试 绘出横截面上的正应力分布图；(2).求拉力F及偏 心距δ的距离。 210MPa
F
a
F
5 25
b
84MPa
F bh a b 18.38kN 2
2 2 2 M r4 M 2 0.75M x ＝ 0.75M x My M z2
M r3 W
M r4 W
式中，Mr3和Mr4分别称为基于第三强度理论和基于第四强度理 论的计算弯矩或相当弯矩（equivalent bending moment）。
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P Pl/4
30° C 30°
l/2
l
M max
1 l Pl P cos 30 ( ) 18.75kN m 4 cos 30 4
30°
P
Pl/4
C
30° l/2 l
In a section to the left of the applied force :
P sin 30 M max c max 8.07MPa (upper ) A Wz P sin 30 M max 't max 7.55MPa (lower ) A Wz In a section to the right of the applied force :
第9章 组合受力与变形
例题2
m A m=144N.m
C
Q=800N
B
危险点位于C截面外缘上、
M图
下的a、b两点。 C截面 a z
b y
b点
T图
⊕ 160N.m 144N.m ⊕
Wz
1 Wz
r 3 2 4 2
M 2 T 2
d 3
32
3
M 2 T 2
2 z
当偏心力的作用点位于形心附近的一个限界上 时,可使得中性轴恰好与周边相切,这时横截面上只 出现压应力. 该限界所围成的区域-----截面的核心
求直径为D的圆截面的截面核心.
d a y1 2
iz2 ay ey
4 d2 d 64 a z1 i i 2 A d 4 16 2 d iy ey ez 0 az 8 ez
a E a 210MPa
FN M F 6 F a A W bh bh 2 F M F 6 F b N 2 A W bh bh
b E b 84MPa
bh 2 a b 1.786mm 12 F
截面核心
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Mz
Mx O z
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危险点及其应力状态
根据截面上的总弯矩M和扭矩Mx的实际方向，以及它们分别 产生的正应力和剪应力分布，即可确定承受弯曲与扭转作用的圆 轴的危险点及其应力状态。
y
M
危险点
Mx O x
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微元截面上的正应力和剪应力分别为
Mx M , W WP
材料力学
第9章 组合受力与变形
例题2
图示卷扬机，已知Q=800N ， R=180mm ，[ ]=80MPa， 试按第三强度理论确定圆轴直径d。
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0.4m Q m A B m 解： 0.4m B a P Q d C R
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强度条件与设计公式
危险点应力状态的主应力
1 1 2 4 2 2 2
2 0 1 2 2 3 － 4
2 2
因为承受弯曲与扭转作用 的圆轴一般由韧性材料制成， 故可用最大剪应力准则或畸变 能密度准则作为强度设计的依 据。于是，得到强度条件：
0.229
An inclined beam , P=25kN , l=3m , b×h=160×300mm2 , Determine the maximum tensile and compressive stresses . Solution : The upper half : bending The lower half : bending and compression
第9章 组合受力与变形
弯曲与扭转组合
计算简图
危险点及其应力状态
强度条件与设计公式
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材料力学
第9章 组合受力与变形
计算简图
借助于带轮或齿轮传递功 率的传动轴，工作时在齿轮的 齿上均有外力作用。 将作用在齿轮上的力向轴 的截面形心简化便得到与之等 效的力和力偶，这表明轴将承 受横向载荷和扭转载荷。
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第9章 组合受力与变形
第9章 组合受力与变形
斜弯曲 拉伸（压缩）与弯曲的组合
弯曲与扭转组合 圆柱形薄壁容器应力状态与强度计算
结论与讨论
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第9章 组合受力与变形
拉伸（压缩）与弯曲的组合
材料力学
第9章 组合受力与变形
强度条件与设计公式
M r3 W
M r4 W
将W＝d3／32代入上式，便得到承受弯曲 与扭转的圆轴直径的设计公式：
32M r 3 M r3 3 d 10 π
3
32M r 4 M r4 d 3 3 10 π
ay
e ,e
y z
y
az
中性轴
z
ay
e ,e
y z
y
中性轴与偏心力的作用点总是位于形心的相对 两侧.且偏心力作用点离形心越近,中性轴就离形心 越远. 当偏心距为零时,中性轴位于无穷远处.
az
中性轴
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i y ay o ey 2 iy az zo ez
M Fe
B
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F F
A
e
B
单向偏心压缩时, 偏心力作用的一侧边缘总是产生压应力,而最大正应 力(考虑正负)总是发生在距偏心力较远的另一侧,其值可能是拉应力,也 可能是压应力.
双向偏心拉伸（压缩）
ey z
F F
z
ez
M z Fey
y
A
M y Fez
D
E y, z
y
C
FN F
M y Fez
（3）若压力作用点离截面核心越远，则中性轴离截面越远。 （ × ）
试判断下列论述是否正确，正确的在括号内打 “√”，错误的打“×”
（4）在弯扭组合变形圆截面杆的外边界上，各点的应力状 态都处于平面应力状态。（ √ ） （5）在弯曲与扭转组合变形圆截面杆的外边界上，各点主 应力必然是σ1＞ σ2 ，σ2＝0，σ3＜0 。 （ ） √
M max M max ' 't max 2 7.81MPa Wz bh / 6
Baidu Nhomakorabea
(lower )
t max ' 't max 7.81MPa
偏心拉伸（压缩） 单向偏心拉伸（压缩）
e
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