8.4《直线与圆的位置关系》教案

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆

的位置关系；能根据给定两个圆的方程判

断两圆的位置关系．

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问

题．

3.初步了解用代数方法处理几何问题的思

想.

1.直线与圆的位置关系的判断、两圆位置关系的

判断是高考的常考内容，主要以选择题或填空题

形式考查，难度较为简单，如2012年重庆T3，

陕西T4等．

2.由直线与圆的方程求弦长或求参数是高考热

点之一，多以选择题或填空题形式考查，如2012

年天津T8等.

[归纳·知识整合]

1．直线与圆的位置关系

设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，

圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

方法

位置关系

几何法代数法

相交d0

相切d＝r Δ＝0

相离d>r Δ<0

[探究] 1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？

提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在．

2．圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).

[探究] 2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？

提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．

[自测·牛刀小试]

1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()

A．相交B．相切

C．相离D．不确定

解析：选A法一：圆心(0,1)到直线的距离

d＝

|m|

m2＋1

<1< 5.

法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的．

2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()

A．内切B．相交

C．外切D．相离

解析：选B两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．

3．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：选A a＝2，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝±2.因此p是q的充分不必要条件．

4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()

A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0

C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0

解析：选D 法一：圆心O (0,0)，C (3，－3)的中点P ⎝⎛⎭⎫32，－3

2在直线l 上，故可排除A 、B 、C.

法二：两圆方程相减得，6x －6y －18＝0，即x －y －3＝0.

5．(2012·重庆高考)设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3

D ．2

解析：选D 因为直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心 (0,0)，所以所得弦长|AB |＝2.

直线与圆、圆与圆的位置关系

[例1] (1)(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )

A ．[－3，－1]

B ．[－1,3]

C ．[－3,1]

D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) (2)(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．

[自主解答] (1)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|

2

≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]．

(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，因为两个圆有公共点，故(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解之得0≤k ≤43，故最大值为4

3

.

[答案] (1)C (2)4

3

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—————————————— 判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法

(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽

量不用代数法．

(2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解．

1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________． 解析：将x 2＋y 2－2y －3＝0化为x 2＋(y －1)2＝4.

由于直线l 过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l 与圆相交．

答案：相交

2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆

D ．圆

解析：选A 设圆心C (x ，y )，则题意得(x －0)2＋(y －3)2＝y ＋1(y >0)，化简得x 2＝8y －8.

有关圆的弦长问题

[例2] (1)(2012·北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________． (2)(2013·济南模拟)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．

[自主解答] (1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，

所以弦长为l ＝2×r 2－d 2＝24－2＝2 2.

法二：代数法：联立直线和圆的方程

⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x ，x 2＋(y －2)2＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2(2－0)2＝2 2.

(2)由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝

⎛⎭

⎪⎫

|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得

a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐

标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.

[答案] (1)22 (2)x ＋y －3＝0 —————

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求圆的弦长的常用方法