递归最小二(RLS)自适应均衡算法

第三章 递归最小二乘(RLS)自适应均衡算法

§3.1 引言

在自适应滤波系统中，最陡梯度(LMS )法由于其简单获得了广泛的应用。但各种LMS 算法均有收敛速度较慢(收敛所需码元数多)，对非平稳信号的适应性差(且其中有些调整延时较大)的缺点。究其原因主要是LMS 算法只是用以各时刻的抽头参量等作该时刻数据块估计时平方误差均最小的准则，而未用现时刻的抽头参量等来对以往各时刻的数据块均作重新估计后的累积平方误差最小的原则(即所谓的最小平方(LS )准则)。

为了克服收敛速度慢，信号非平稳适应性差的缺点，根据上述内容，可采用新的准则，即在每时刻对所有已输入信号而言重估的平方误差和最小的准则(即LS 准则)。从物理概念上可见，这是个在现有的约束条件下利用了最多可利用信息的准则，即在一定意义上最有效，信号非平稳的适应性能也应最好的准则。这样建立起来的迭代方法就是递归最小二乘(RLS ：Recursive Least Square )算法，又称为广义Kalman 自适应算法。

用矩阵的形式表示RLS 算法非常方便，因此我们首先定义一些向量和矩阵。假定在时刻t ，均衡器的输入信号为t r ，线性均衡器对于信息符号的估计可以表示为

∑-=--=K

K j j t j r t c t I )1()(ˆ 式(3-1)

让)1(-t c j 的下标j 从0=j 到1-=N j ，同时定义K t v t y +=)(，则)(ˆt I

变为 ∑-=--=1

0)()1()(ˆN j j

j t y t c t I )()1(t Y t C N N

-'= 式(3-2) 其中)1(-t C N 和)(t Y N 分别为均衡器系数)1(-t c j ，1,,1,0-=N j 和输入信号)(j t y -，1,,1,0-=N j 的列向量。

类似的，在DFE 均衡器结构中，均衡器系数)(t c j ，1,,1,0-=N j 的前11+K 个系数为前向滤波器系数，剩下的112--=K N K 为反馈滤波器系数。用来预测)(ˆt I 的数据为21~,~,,,11K t t t K t I I r r --++ ，其中21,~K j I j t ≤≤-为判决器先前作出判决的数

据。这里，我们忽略判决器判错的情况，因而21,~K j I I j t j t ≤≤=--。同时为方便起

见定义

⎪⎩⎪⎨⎧-≤<≤≤=--+-+)

1()0()(1111N j K I K j v j t y j K t j K t 式(3-3) 因此

])1(,),1(),([)('+--=N t y t y t y t Y N

],,,,,,[2111'=--++K t t t t K t I I r r r 式(3-4)

§3.2 RLS 自适应算法

RLS 算法对于)(ˆt I 的估计可以从下面的式子得到。假定我们的观测向量为)(n Y N ，t n ,,1,0 =，我们期望得到均衡器的系数向量)(t C N 使得均方误差的加权平方和

∑=-=t

n N n t t n e w n 02|),(|)(ε 式(3-5)

最小。其中误差定义为

)()()(),(n Y t C n I t n e N N

N '-= 式(3-6)

w 代表遗忘因子，10<

关于权向量)(t C N 的)(n ε最小化便得到下面的线性方程

)()()(t D t C t R N N N = 式(3-7) 其中)(t R N 为信号的自相关矩阵，定义为

∑=-'=t

n n N n t N n Y n Y w t R 0*)()()( 式(3-8)

)(t D N 为互相关向量

∑=-=t

n N n t N n Y n I w t D 0*)()()( 式(3-9)

式(3-7)的解为著名的Wiener －Hopf 方程

)()()(1t D t R t C N N

N •=- 式(3-10) 为了避免复杂的求逆运算，引入一N N ⨯矩阵

)()(1t C t P N

N -= 式(3-11) 由式(3-8)有

∑=-'=t n N

N n t N n Y n Y w

t R 0*)()()( )()()1(*t Y t Y t wR N

N N '+-= 式(3-12) 又由矩阵求逆引理有：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-'+-'---=-----)()1()()1()()()1()1(1)(*11

*

111

t Y t R t Y w t R t Y t Y t R t R w t R N N N N N N N N N

式(3-13) 在上式中定义)()(1

t R t P N N -=，令

)()1()()(*

n Y t P t Y t N N N N -'=μ

式(3-14) )

()

()1()(*

t w t Y t P t K N N N N μ+-=

式(3-15) )(t N μ为一标量，)(t K N 为一N 维矢量，称为Kalman 增益向量。则

[])1()()()1(1

)(-'--=t P t Y t K t P w t P N N N N N

式(3-16) 假定我们在式(3-16)两边右乘以)(*

t Y N ，

)]()1()()()()1([1)()(*

*

*t Y t P t Y t K t Y t P w t Y t P N N N N N N N N -'--=

)]}()()()]({[1

t t K t K t w w N N N N μμ-+=

)(t K N =

式(3-17) 因此，Kalman 增益向量可以被定义为)()(*

t Y t P N N 。

由于

)()()(t D t P t C N N N =

)()()1()(*

t Y t I t wD t D N N N +-=

式(3-18) 我们得到

)]()()1()][1()()()1([1

)(*

t Y t I t wD t P t Y t K t P w t C N N N N N N N +--'--=

)()1()(1)1()1(*

t Y t P t I w t D t P N N N N -+--=

)1()1()()('

---t D t P t Y t K N N N N