高中数学 1.2.2.2分段函数与映射课件 新人教版必修1

通法提炼 研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原 则，尤其是在作分段函数的图象时，可先将各段的图象分 别画出来，再将它们连在一起得到整个函数的图象.
画下列函数的图象并求其值域： (1)y＝1x 0<x<1，
x x≥1； (2)y＝|x＋1|＋|x－2|.
解：(1)函数y＝1x 0<x<1， x x≥1
的图象如图，观察图象得函数的值域为[1，＋∞)．
(2)将原函数的解析式中的绝对值符号去掉，化为分段 函数
－2x＋1 x≤－1， y＝3 －1<x≤2，
2x－1 x>2.
它的图象如图．
观察图象，显然函数值y≥3，所以函数的值域为[3， ＋∞ ).
映射问题
【例3】 下列对应关系中，哪些是从集合A到集合
(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为 ________．
解析：由于f(x)的图象由两条线段组成， 因此可设 f(x)＝acxx，＋0b≤，x－≤11≤. x<0，
将点(－1,0)(0,1)代入f(x)＝ax＋b， 点(1，－1)代入f(x)＝cx可得 f(x)＝x－＋x1，，0－≤1x≤≤1x<. 0，
5．映射与函数的关系是什么？ 提示：(1)映射是函数概念的推广，而函数是一种特殊 的映射． (2)函数是非空数集A到非空数集B的映射，而映射不一 定是函数，因为A，B不一定是数集．
理解分段函数应注意的问题 ①分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域” 的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区 间的端点需不重不漏． ②求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一 段，就用哪一段的解析式．
B的映射？ (1)A＝B＝N*，对应关系f：x→y＝|x－3|；
(2)A＝R，B＝{0,1}，对应关系f：x→y＝
1，x≥0 0，x<0
；
(3)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f：矩形的
面积．
【解析】 依据映射的定义来判断 → 紧扣定义中的“任意一个”、“唯一”
【解】 (1)集合A中的3，在f作用下得0，但0∉B，即3 在集合B中没有相对应的元素，所以f不是从集合A到集合B 的映射．
重点难点 重点：分段函数求值、分段函数的图象及应用； 难点：分段函数及映射定义的理解.
预习篇01
新知导学
分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的 取值范围，有着不同的 对应关系 ，则称这样的函数为 分段函数．
1．分段函数的定义域部分可以相交吗？ 提示：分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是 由函数定义中的唯一性决定的．
2．分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是 由几个函数构成的吗？
提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几 个函数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样 而已．
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一 个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范 围．
3．分段函数分几段，其图象就有相应的几个吗？ 提示：分段函数是一个函数，只有一个图象，作图时 只能将各段函数图象画在同一坐标系中，而不能将它们分 别画在不同的坐标系中．
映射Βιβλιοθήκη Baidu
设A、B是两个 非空 的集合，如果按某一个确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B 中都有 唯一确定 的元素y与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．
4．如何判断一个对应是不是映射？ 提示：只要检验对于A中的任意一个元素，按对应关系 f，是否在B中有唯一确定的元素与之对应即可．若是，则 这个对应是映射，否则，不是映射．
③研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤 其是作分段函数的图象时，可将各段的图象分别画出来， 从而得到整个函数的图象．
课堂篇02
合作探究
分段函数的解析式与求值
【例1】
x＋2x<0， 已知函数f(x)＝x20≤x<2，
12xx≥2.
(1)求f(f(f(－12)))的值． (2)若f(x)＝2，求x的值．
答案：f(x)＝x－＋x1，，0－≤1x≤≤1x<0
(2)已知函数f(x)＝x－2＋2x1，，xx>≤0，0， 若f(x)＝10，则x＝ ________.
解析：当x≤0时，f(x)＝x2＋1＝10，∴x＝－3， 当x>0时，f(x)＝－2x＝10，∴x＝－5(舍去)， 综上可知，x＝－3.
答案：－3
第一章
集合与函数的概念
1.2 函数及其表示
1．2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数与映射
预习篇 课堂篇 提高篇
巩固篇 课时作业
学习目标 1.能记住什么是分段函数，并会求分段函数的值； 2.能画出一些简单分段函数的图象，并通过图象指出
函数的某些性质如值域； 3.能说出映射的定义，并能判断一些对应是否是映射.
【解析】 分段考虑求值即可． (1)先求f(－12)，再求f(f(－12))， 最后求f(f(f(－12)))； (2)分别令x＋2＝2，x2＝2，12x＝2，分段验证求x.
【解】 (1)f(－12)＝(－12)＋2＝32. ∴f(f(－12))＝f(32)＝(32)2＝94， ∴f(f(f(－12)))＝f(94)＝12×94＝98. (2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0，不符合x<0. 当f(x)＝x2＝2时，x＝± 2，其中x＝ 2符合0≤x<2. 当f(x)＝12x＝2时，x＝4，符合x≥2.综上，x的值是 2或 4.
分段函数的图象及应用
【例2】
已知f(x)＝x2 1
－1≤x≤1， x>1，或x<－1，
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
【解】 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－ 1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x>1或x<－1时，f(x) ＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．
通法提炼 1分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的 范围，代入相应的解析式求得.2多层“f”的问题，要按照 “由里到外”的顺序，层层处理.3已知分段函数的函数值 求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变 量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判 断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.