高数函数-极限和连续总结

第一章函数.极限和连续

第一节函数

1.决定函数的要素：对应法则和定义域

2.基本初等函数：（六类）

（1）常数函数（y=c）；（2）幂函数（y=x a）；

（3）指数函数（y=a x，a>0,a≠1）;（4）对数函数（y=log a x，a>0,a≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。

注:分段函数不是初等函数。特例：y=√x2是初等函数

3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。

4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。

5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。

第二节极限

1.分析定义

∀&>0(任意小) ∃∂>0

当|x|>ð（或0<|x−x0|<ð）时

总有|f(x)−A|<&

称lim

x→∞f(x)=0 (或lim

x→x0

f(x)=A)

2.极限存在的充要条件

lim x→x0f(x)=A↔lim

x→x0+

f(x)=lim

x→x0−

f(x)=A

3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理

f1（x）≤f(x)≪f2(x) ,且lim

x→x0f1(x)=A=lim

x→x0

f2(x)

所以lim

x→x0

f(x)=A

（2）单调有界准则

单调有界数列一定有极限。

4.无穷小量与无穷大量

，则称 时，f （x ）为无穷小量 ， 则称 时，f （x ）为无穷大量 注：零是唯一的可作为无穷小的常数。

性质 1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。

注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量

性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。 5. 定义 设 是同一极限过程中的无穷小， 则 若

则称 是比高阶的无穷小,记作 若

则称是比 低阶的无穷小 若

则称 是的同阶无穷小;

特别地，当c=1 时，则称 是的等价无穷小,记作

若

则称是关于 的 k 阶无穷小。 6.在求两个无穷小量之比的极限时，分子及分母都可以用各自的等价无穷小，

当x →0时，

sin x ~x， tan x ~x， arc sin x ~x , 1−cos x ~12x 2, √1+x n −1~1

n x , ln (1+x )~x 7.两个重要极限

第二节 函数的连续性

(x)在ðð处连续的充要条件： lim x →x 0+f (x )=f（x 0）=lim x →x 0

−f (x ) 2.函数的间断点

3.初等函数的连续性

∞=→)(lim 0

x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0)(,)(x x ββαα==,0)(≠x β且,0lim

=βα);

(βαo =,lim ∞=βα,0lim ≠=C βα);(βαO =;~βα,0lim ≠=C k

βα1sin lim 0=→x x x e x x x =+∞→)1(lim 1

性质1：连续函数的四则运算也连续。

性质2：连续函数的复合运算也连续。

对连续函数求极限时，极限符号和连续函数符号，可交换顺序。

4.闭区间连续函数的性质

（1）最值定理（2）介值定理（零点定理）