西安交通大学复数与复变函数教学PPT

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从而得
两个复数乘积的模等于它们模的乘积； 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。 注意 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 两边都是无限集合。
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两个复数相乘的几何意义
z1 z2 r1 r2e
i (1 2 )
先将z1按逆时针方向旋转角度 2 ,
Argz arg z 2k . k N .
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3）复数的三角表示和指数表示
根据极坐标有
x r cos , y r sin ,
得
z r cos i sin
三角表示式
再利用Euler公式 e i cos i sin 得
z re i
3.几何表示
1) 复平面
z=x+iy
一一对应
（x， y）
o
r
x x
复数集
一一对应
xo y平面上的点的全体 （xo y平面上以o为起点的向量全体）
复平面——以x轴为实轴, y轴为虚轴构成的平面。
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2)．复数的模与辐角
模
z r
2
y y
z x iy
P ( x, y)
x y
2
2
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绪论
合理 有理数
1. 数的发展
自然数
实数
整数
复数
实数
难以接受
16世纪，产生于代数方程的求解
G. Cardano (意大利)
求解方程
x(10 x ) 40
得到 x 5 15, 5 15 很长一段时间内不被人们所理睬。 令人困惑，250年几乎没有进展。
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一个诺贝尔奖的故事
从20世纪初化学家就知道，当X射线穿过晶体时， 光线碰到晶体原子而发生散射或衍射。将胶片放在晶 体后面，X射线穿过晶体在胶片上产生衍射图案。 化学家迷惑的是，不能准确的判定晶体中原子的 位置。这是因为衍射图只能探测出X射线的振幅，但不 能探测其相位。化学家对此困惑了40 多年。 1950年，一位数学家H.Hauptman,对此产生兴趣。 他认识到，这事能形成一个纯粹的数学问题。他利用 100年前的数学方法——傅里叶变换，解决了此问题， 1985年获得诺贝尔化学奖。
x 0, y 0, z iy 称为纯虚数 x 0, y 0, z x 为实数
复数不能比较大小！
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2. 代数运算
设
z1=x1+iy1和z2=x2+iy2
和与差： z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ) 积：
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 )
i
得
1 ( r ) cos 2 cos , r
r 1
z e i
1 ( r ) sin 0 r
从而
z n z n e in e in cos n i sin n cos n i sin n 2 cos n
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再将模变到原来的r2倍
y
r1r2
z1 z2
r2
2
z2 1 2
r1 z1
1 2
o
1
x
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类似得
z1 r1 i (1 2 ) e . z2 r2
从而
两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.
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2）复数的乘幂与方根 n次幂
z r e z .z ...z
18世纪： 1. 欧拉（L.Euler）建立复数理论，
并应用于水利学，地图制图学。
2. 韦塞尔(C.Wessel),阿尔冈(R.Argand ) ,高斯(K.F.Gauss) 等分别建立复平面。 复数 平面向量（点）
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2. 复变函数理论的产生
微积分： 实变函数
产生新现象、新结果
复变函数
提供研究实变函数的新方法
a 2 b2 1 ab x x 2 1
解得 a x, 所以
b x2 1
1 2ix x 2 1 ( x i x 2 1)
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例3.证明 | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ), 并说明几何意义 证：| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
例5. 用复数方程表示曲线：
1). ( x 1) 2 ( y 2) 2 4 2). y 5
解： ( x 1)2 ( y 2)2 | x 1 i ( y 2) |2 | z (1 2i ) |2 1） 所以，1）的方程为 或 z (1 2i ) 2e i , ( ) | z (1 2i ) | 2 2）
共轭复数运算的性质
3). z z Re( z ) Im( z ) .
2 2
4). z z 2Re( z ), z z 2i Im( z ).
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记
C={z | z=x+iy, x, y R }
y y
复数域
z x iy
P ( x, y)
注意：幅角的多值性！
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arctan 2 arg z 2 arctan arctan y x x0
x 0, y 0 x 0, y 0 y + x y - x x 0, y 0 x 0, y 0
指数表示式
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4 复数的乘幂与方根
1）积与商的模与幅角
设
则 其中
z1 r1e i1 ,
z2 r2e i 2
i1 i 2
z1 z2 r1 r2e e
r1 r2e
i (1 2 )
e i1 e i 2 (cos1 i sin1 )(cos 2 i sin 2 ) (cos1 cos 2 sin1 sin 2 i (sin1 cos 2 + cos1 sin 2 ) cos(1 2 ) i sin(1 2 ) e i (1 2 )
2). 结合律 ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 );
z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 .
3). 分配律 z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
z1 z1 1). z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; z2 z2 2). z z .
西安交通大学 Xi’an Jiaotong University
数学与统计学院 赫孝良 理科楼-310 Email: hexl@mail.xjtu.edu.cn
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教材：
1.王绵森等（西安交通大学），复变函数，高等 教育出版社，2008 。 2.张元林（东南大学），积分变换，高等教育 出版社，2003年。
即
故 得
ne i n re i ,
n r,
n 2kπ ( k N ),
i
i
w n z n re
n re
2kπ
n
( k N ). ( k 0, 1, 2,n 1).
2kπ
n
注：n z 有n个根，
ei 2π 1 1 几何上看，就是以原点为中心、半径为 r n 的圆的内接正n边形的n个顶点.
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例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
n n
n in
r (cos n i sin n ).
n
棣莫佛（De Movie）公式（ r=1）
(cos i sin ) cos n i sin n .
n
n次方根
wnz
（方程wn=z的解）
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设 则
z re i ,
w e i ,
( e i )n re i ,
r
o

x
x
zz z z 2
三角不等式 z1 z2 z1 z2 , ( z1 z2 z1 z2 )
辐角 —— x 轴正向与向量OP 的夹角（转角）
arg z ,
A rg z arg z 2k
z 0 幅角不确定
k N
A rg z 的主值
几何意义 平行四边形对角线的平方和等 于两邻边平方和的二倍。
z1 z2
z1
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例4. 设 证明
zz
1
2 cos , arg z ,
z n z n 2 cos n , n N
z re i ,
1
证： 设
由条件
2 cos z z
所以
1 i 1 1 re e ( r ) cos i ( r ) sin r r r
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4. 体现数学之美
简明 深刻
和谐
第一章 复数与复变函数
§1.复数及其运算
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1.复数
( x 2 1 0) பைடு நூலகம்数单位： i 1 x, y 为实数 复数：z = x+iy, x =Re(z), z 的实部 y =Im(z), z 的虚部
z的共轭复数： z x iy
( z1 z 2 )( z1 z 2 ) | z1 | 2 | z 2 | 2 z1 z 2 z 2 z 1
同理
（1） （2）
z1 z2
z2
| z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 z1 z2 z2 z1
（1）+（2）得
| z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 )
w2
i
2 k 3
记
w1 1 i 3, w2 2, w3 1 i 3
o
w3
2
x
几何意义如图
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例2.化简
1 2ix x 2 1
，其中x为实数，|x|>1.
解：设
故
1 2ix x 2 1 (a ib)
则 1 2ix x 2 1 (a ib)2 a 2 b2 2abi
z1 x1 x 2 y1 y2 x 2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 z2 x2 y2 x 2 y2
z1 z2 z2 z2
商：
z2 0
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复数运算的性质
1). 交换律 z1 z2 z2 z1 ;
z1 z2 z2 z1 .
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹, 故方程表示的是连接点2i和-2的线段的垂直平分线。 y
2i
其实数方程为：
y x
-2
o
2
x
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3. 复变函数与积分变换的应用
1) 电磁学：研究电(磁)场强度. 2）流体力学：
飞机机翼剖面压力的计算, 机翼的造型问题.
计算渗流问题，如：大坝、钻井的浸润曲线.
3) 热学 研究平面热传导问题，如：热炉中温度的计算.
4）电力工程、通信和控制等领域
信号分析、频谱分析、图象处理等（积分变换）
1）柯西建立了复变函数的积分理论。 2）黎曼给出了解析函数的条件。 3）魏尔斯特拉斯建立了级数理论。

40年
积分变换是以复变函数为基础的一种重要数 学方法.
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《古今数学思想》 评价: 从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复 变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,
它也被称为抽象科学中最和谐的理论之一。
y Im( z )
所以，2）的方程为
Im( z ) 5
z z 10i 0
zz zz ,y 方程较复杂时，一般用： x 2 2i
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例6 说明下列方程所表示的平面图形.
1. z 2i z 2 2. z 1, Im z 0
解：
1. z 2i z 2