直线与方程专题复习(教师)

直线与方程专题复习
一、知识归类
1.直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 （)900≠α.
（2）直线倾斜角的范围是 .
（3）直线过))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k .
2.两直线垂直与平行的判定
（1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有：⇔21//l l ；⇔⊥21l l .
（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率
不存在时，两条直线 .
3.直线方程的几种形式
4.几个距离公式
（1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P .
（2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d .
（3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d .
二、典型例题
题型一：直线的倾斜角与斜率问题
例1 已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A .（1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角.
（2）若D 为ABC ∆的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围.
变式训练1、直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，5π6 2、直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k 的取值范围是( )
A ．－1＜k ＜15
B ．k ＞1或k ＜12
C ．k ＞15或k ＜1
D ．k ＞12
或k ＜－1
本题小结：数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点.当直线绕定点由与x 轴平行（或重合）位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到∞+（即斜率不存在）；按顺时针方向旋转到与y 轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到∞-（即斜率不存在）.这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围.
题型二：直线的平行与垂直问题
例2 已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求下列直线l '的方程, l '满足
（1）过点)3,1(-，且与l 平行； （2）过)3,1(-，且与l 垂直.
变式训练1、已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( )
A ．0或3或－1
B ．0或3
C ．3或－1
D ．0或－1
2、已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3，若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )
A ．－10
B ．－2
C ．0
D ．8
本题小结：与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为01=++C By Ax ，再由其 他条件列方程求出1C ；与直线0=++C By Ax 垂直的直线方程可设为 02=+-C Ay Bx ，再由其他条件求出2C .
题型三：直线的交点、距离问题
例3 已知直线l 经过点A )4,2(,且被平行直线01:01:21=--=+-y x l y x l 与所截得的线段的中点M 在直线03=-+y x 上，求直线l 的方程.
变式训练、已知点P (2，－1)，试求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，并求出原点到直线的最大距离．
本题小结：解此类题目常用的方法是待定系数法，然后由题意列出方程求参数；也可综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线的特征，然后由已知条件写出直线的方程.
题型四：直线方程的应用
例4 已知直线0355:=+--a y ax l .（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；
（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.
变式训练、已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3，4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程
(1)证明 直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2，3)．
(2)设直线l 恒过定点A (－2，3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15
， ∴直线l 的斜率k l ＝－5.
故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.
本题小结：含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可研究直线过定点.
【检测反馈】
1.若直线过点),32,4(),2,1(+则此直线的倾斜角是（ ）.
（A ）030 （B ）045（C ）060 （D ） 090
2.过点)1,1(E 和)0,1(-F 的直线与过点)0,2(k M -和点)4
,0(k N 直线的位置关系是（ ） （A ）平行（B ）重合（C ）平行或重合（D ）相交或重合
3.过点)3,1(-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）.
(A)012=-+y x (B) 052=-+y x (C) 052=-+y x (D) 072=+-y x
4.已知点),1,3(),2,1(B A 则到B A ,两点距离相等的点的坐标满足的条件是（ ）.
（A ）524=+y x （B ）524=-y x （C ）52=+y x （D ）52=-y x
5.直线),0,0(0:,0:21b a b a a y bx l b y ax l ≠≠≠=+-=+-在同一直角坐标系中的图形大致是（ ）.
6.直线l 被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是原点
O ，则直线l 的方程为
. 7.已知,0>a 若平面内三点),3
(),,2(),,1(32a C a B a A -共线，则a = . 8.过点),4,1(A 且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）.
（A ）1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
9.已知直线l 过点)1,1(P ，且被平行直线01343=--y x 与0743=+-y x 截得的线段长为24，求直线l 的方程.
﹡﹡10、在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大．
解：设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA |－|PB |的值最大．
设B ′的坐标为(a ，b )，
则k BB ′·k l ＝－1，
A 1
2
即b －4a
·3＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①
又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0， 即3a －b －6＝0.②
①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3，3)． 于是AB ′的方程为y －13－1＝x －4
3－4
，即2x ＋y －9＝0. 解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5， 即l 与AB ′的交点坐标为P (2，5)．
总结、反思：。