2019年江苏省苏州市中考数学试卷含答案解析

徐老师
江苏省苏州市2019年初中毕业暨升学考试
数学
（本试卷满分130分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题要求的。

）
1.5的相反数是
（）A .1
5B .1
5-C .5D .5
-2.有一组数据：2，2，4，5，7这组数据的中位数为（
）A .2B .4C .5
D .73.苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为
（）
A .80.2610⨯
B .82.610⨯
C .62610⨯
D .72.610⨯4.如图，已知直线//a b ，直线c 与直线a b ，分别交于点A B ，.若154∠=o ，则2∠=
（）
A .126o
B .134o
C .136o
D .144o
5.如图，AB 为O ⊙的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O ⊙交于点C ，延长BO 与O ⊙交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=o ，则ADC ∠的度数为（）
A .54o
B .36o
C .32o
D .27o
6.小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为
（
）A .15243x x =+B .15243x x =-C .15243x x =+D .15243x x
=-7.若一次函数y kx b =+（k b 、为常数，且0k ≠）的图像经过点()01A -，，()11B ，
，则不等式1kx b +＞的解为
（）
A .0x ＜
B .0x ＞
C .1x ＜
D .1x ＞8.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183m 的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是
（）
A .55.5m
B .54m
C .19.5m
D .18m 9.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，416AC BD ==，，将ABO △沿点A 到点C 的方向平移，得到A B C '''△，当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之间的距离为（）
A .6
B .8
C .10
D .12
10.如图，在ABC △中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC △的面积为
（）
徐老师
A.42
B.4
C.25
D.8
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在题中的横线上）
11.计算：23
a a⋅=.
12.因式分解：2x xy
-=.
136
x-x的取值范围为.
14.若28
+=，则a b+的值为.
a b
a b
+=，3418
15.“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东
方魔板”，图1是由边长10cm的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图2是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为______cm（结果保留根号）.
16.如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方形，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为.
17.如图，扇形OAB中，90
∠=︒。

P为»AB上的一点，过点P作PC OA
AOB
⊥，垂足为C，PC与AB交于点D，若2,1
==，则该扇形的半径长为.
PD CD
18.如图，一块含有45︒角的直角三角板，外框的一条直角边长为10cm ，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2cm ，则图中阴影部分的面积为2cm （结果保留根号）
三、解答题（本大题共10小题，共76分.解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤）
19.（本题满分5分）计算：()20
322π+---20.（本题满分5分）
解不等式组：()15
2437
x x x +<⎧⎪⎨+>+⎪⎩21.（本题满分6分）先化简，再求值：2361369x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝
⎭，其中23x =-.
徐老师
22.（本题满分6分）
在一个不透明的盒子中装有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀.
（1）从盒子任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是：；
（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率（请用画树状图或列表等方法求解）.
23.（本题满分8分）
某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴题小組.要求每人必须参加.并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情況，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出）.请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数.并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m=，n=；
（3）若某校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人？
24.（本题满分8分）
如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G .
（1）求证：EF BC =；
（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数.
25.（本题满分8分）
如图，A 为反比例函数k y x
=（其中0x ＞）图像上的一点，在x 轴正半轴上有一
点B ，4OB =.连接OA ，AB ，且OA AB ==.
（1）求k 的值；
（2）过点B 作BC OB ⊥，交反比例函数k y x
=（其中0x ＞）的图像于点C ，连接OC 交AB 于点D ，求AD DB 的值.
26.（本题满分10分）
如图，AE 为O e 的直径，D 是»BC
的中点BC 与AD ，OD 分别交于点E ，F .（1）求证：DO AC ∥；
徐老师
（2）求证：2DE DA DC ⋅=;
（3）若1
tan 2
CAD ∠=，求sin CDA ∠的值.
27.（本题满分10分）
已知矩形ABCD 中，5cm AB =，点P 为对角线AC 上的一点，且cm AP =.如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为()t s ，APM ∆的面积为()2cm S ，S 与t 的函数关系如图②所示：
（1）直接写出动点M 的运动速度为cm /s ，BC 的长度为cm ;（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()cm/s v .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM △与DPN △的面积为()21cm S ，()
22cm S .①求动点N 运动速度()cm/s v 的取值范围;
②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.
图1图2图3
28.（本题满分10分）
如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知ABC △的面积为6.
（1）求a 的值；
（2）求ABC △外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB △的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.
（图①）（图②）
徐老师
江苏省苏州市2019年初中毕业暨升学考试
数学答案解析
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题
1.【答案】D
【解析】∵5(5)0+-=，∴5的相反数是5-，故选D 。

【考点】相反数的概念
2.【答案】B
【解析】这组数据已经从小到大进行排序，且共有5个数，∴中位数为第3个数，
即为4，故选B.
【考点】求一组数据的中位数
3.【答案】D
【解析】726000000 2.610=⨯，故选D.掌握用科学记数法表示较大的数的方法是解
答本题的关键.
【考点】用科字记数法表示较大的数
4.【答案】A
【解析】如图，∵a b ∥，∴3154∠=∠=︒，∴23180∠+∠=︒，
∴2180318054126∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选A.
【考点】平行线的性质，平角的定义
5.【答案】D
【解析】∵AB 是O e 的切线，OA 是半径，∴OA AB ⊥，即90BAO ∠=︒，∠B=36°，
∴54AOC ∠=︒，∴1272ADC AOC ∠=∠=︒，故选D.
【考点】切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理
6.【答案】A
【解析】根据题意软面笔记本每本售价为x 元，则硬面笔记本每本售价为() 3x +元，
∴15元能买
15x 本软面笔记本，24元能买243x +本硬面笔记本,根据“两人买到相同数量的笔记本”可列方程15243x x =+，故选A.【考点】列分式方程解应用题
7.【答案】D
【解析】由题意可得方程组1,1,b k b -=⎧⎨=+⎩解得1,2,b k =-⎧⎨=⎩
∴一次函数的解析方式为21y x =-，当211x -＞时，解得1x ＞，即不等式的解集为1x ＞，故选D.
【考点】一次函数的图像与性质
8.【答案】C
【解析】如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，则四边形DCBE 是矩形，
m DE BC ==，
在Rt ADE △中，30ADE ∠=︒，∴tan3018(m)3AE DE ︒=⋅==，又1.5m BE CD ==，∴18 1.519.5(m)AB AE BE =+=+=，即教学楼的高度是19.5m ，故选C.
作辅助线构造直角三角形和矩形是解答本题的关键.
【考点】解直角三角形的应用
9.【答案】C
【解析】在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相垂直平分，∵4AC =，16BD =，
徐老师
∴2AO CO ==，8BO DO ==，由平移可知'2CO AO ==，'8'B O BO ==，∴
42''6AO AC CO =+=+=，在Rt ''AB O △中，由勾股定理得'10AB =，即点A 与
点'B 之间的距离为10，故选C.
【考点】菱形的性质，平移的性质，勾股定理10.【答案】B
【解析】如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点E 作EN BC ⊥于点N ，AM EN ∥，
2AB AD ==，AD AB ⊥，∴BAD △是等腰直角三角形，∴45B ADB ∠=∠=︒，由
勾股定理得BD =，∴AM BM MD ===，又∵AD DE ⊥，∴90ADE ∠=︒，∴45EDN ∠=︒，∴DEN △是等腰直角三角形，∵1DE =，∴2
2
DN EN ==
，∴12EN AM =
，易证~CEN CAM V △，∴12
CE CN EN CA CM AM ===，∴点E 是AC 的中
点，点N 是CM 的中点，∴23222
CN MN MD DN ==++=，∴BC =，
∴11
422
ABC S AM BC ∆=⋅=⨯，即ABC △的面积为4，故选B.
作两条垂线是解答本题的关键。

【考点】等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，求
三角形的面积
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题11.【答案】5
a 【解析】23235a a a a +⋅==.掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键.【考点】整式的运算12.【答案】()
x x y -【解析】²()x xy x x y -=-.根据整式采取提公因式法分解因式是解答本题的关键。

【考点】因式分解13.【答案】6
x ≥【解析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得60x -≥，解得6x ≥，即x 的取
值范围是6x ≥.
掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键.【考点】二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
14.【答案】5
【解析】根据题意，可得方程组28,3418,a b a b +=⎧⎨
+=⎩。

解得2,
3,a b =⎧⎨
=⎩
235a b ∴+=+=列方程组求出a 和b 的值是解答本题的关键.【考点】解二元一次方程组，求代数式的值15.【答案】
52
2
【解析】如图，在正方形ABGC 中，10cm AB AC ==，490B C ∠=︒，AD BC ⊥，在
Rt ABC △中，由勾股定理得cm BC =，∴m CD DB ==，又
BEF △是
等腰直角三角形，∴BE EF DE ==，∴2BD BE DE DE =+=，∴52
cm 2
DE =，
即小正方形的边长为
cm 2
.
确定“七巧板”中各个图形边长的关系是解答本题的关键.
【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，数学文化16.【答案】
827
【解析】由题意可知，大正方体被分割成27个小正方体，只有大正方体每个顶角
上的小正方体的三个面涂有红色，∴共有8个小正方体的三个面涂有红色，∴所求概率8
27
P =.【考点】概率17.【答案】5
【解析】如图，连接OP ，在扇形AOB 中，OA OB =，090A B ∠=︒，∴AOB △是等
腰直角三角形，∴45OAB OBA ︒∠=∠=，∵PC OA ⊥，∴ACD △是等腰直角三角形，∴1AC CD ==，∵2PD =，∴3PC =，设扇形的半径为r ，则OA OP r ==，∴.1OC r =-，在Rt OPC △中，由勾股定理得222OP OC PC =+，即222(1)3r r =-+，解得5r =，即扇形的半径为5.
徐老师
设未知数利用勾股定理列方程是解答本题的关键.
【考点】等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程18.【答案】10+
【解析】如图所示，AB AC ⊥，8 cm AB AC ==，∴232cm ABC S =V ，∵
cm
PD DM EN HG EQ =====Q ，∴cm AM BH CQ ===，∴
2cm
HN EG ==，∴82(6DE MN ==-=-，
∴
22
1
(22cm
2
DEF S DE ∆==-，∴
((2=322210cm
ABC DEF S S S -=--=+△△阴影，即阴影部分的面积为
2(10cm +.
求内部小等腰直角三角形的直角边长是解答本题的关键.【考点】等腰直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理三、解答题
19.【答案】解：原式321
4
=+-=【解析】先计算二次根式、绝对值、实数的零次幂，再进行加减运算，从而求出原
式的值.
【考点】实数的综合运算
20.【答案】解：由15x +＜，解得4x ＜，由()2437x x ++＞，解得1x ＜，∴原不等式组的解集是1x ＜.
【解析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取公共部分即为原不等式组
的解集.
【考点】解一元一次不等式组
21.【答案】解：原式233
3(3)x x x x --=
÷
++2333(3)x x x x -+=⨯
-+13
x =
+.
当3x =时，原式
2=
==.
【解析】先将括号内的分式通分，计算分式的减法，再将分式除法转化为乘法，约分后将分式化为最简分式，最后将x的值代人最简分式，求出原分式的值.【考点】分式的化简求值，分解因式
22.【答案】（1）1
2
.
由表格可知，共有12种可能的结果，并且它们的出现是等可能的，其中两次抽取卡片数字和大于4的情况包括：(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共8种.
所以P（抽取两张卡片数学和大于4）
82 == 123
.
【解析】（1）由题知盒子中的卡片总数，再确定标有奇数的卡片数，代入概率公式，求出概率；
（2）先列表或画树状图得出所有等可能的情况数，再确定两张卡片标有的数字之和大于4的情况数，代入概率公式求出概率.
【考点】求随机事件的概率
23.【答案】（1）30=150
0.20
.
答：参加这次调查的学生人数为150人.
（2）36
m=，16
n=.
（3）12000.16192
⨯=
答：估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有192人.
徐老师
【解析】（1）根据参加“书法”课外兴趣小组的人数和对应的百分比，可求出参加
这次问卷调查的学生人数，再根据条形统计图中已知的人数，求出参加“航模”课外兴趣小组的人数，补全条形统计图；
（2）根据参加调查的学生人数和参加“摄影”课外兴趣小组的人数，可求出m 的
值；根据参加调查的学生人数和参加“围棋”课外兴趣小组的人数，可求出n 的值；
（3）用参加“围棋”课外兴趣小组的人数占总调查人数的百分比，乘该校学生总
人数，可估计出选择“围棋”课外兴趣小组的学生人数.【考点】统计，用样本估计总本
24.【答案】（1）证明：∵线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，
AC AF ∴=.CAF BAE ∠=∠Q ，
CAF CAE BAE CAE ∴∠+∠=∠+∠，
即EAF BAC =∠∠.
在ABC △和AEF △中，,
,
.AB AE BAC EAF AC AF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ABC AEF SAS △≌△，∴EF BC =
.
（2）∵AE AB =，∴65AEB ABC ︒∠=∠=.∵ABC AEF V V ≌，∴65AEF ABC ︒
∠=∠=180FEC AEB AEF
︒∠=-∠-∠180656550︒︒︒︒
=--=∵FGC ∠是EGC △的外角，28ACB =︒∠，∴502878FCC FEC ACB ︒︒︒∠=∠+∠=+=.
【解析】（1）根据旋转性质得两条线段相等，根据已知角代换得两个角相等，结合
已知线段相等，可证明ABC AEF △≌△，得对应边相等；
（2）根据等边对等角求出AEB ∠的度数，根据全等三角形的对应角相等求出AEF
∠
的度数，进而求出FEC ∠的度数，再利用三角形外角的性质，可求出FGC ∠的度数.
【考点】旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角
的性质
25.【答案】（1）过点A 作AE OB ⊥于点E.
∵OA AB ==，4OB =，∴1
22
OE BE OB ===，在Rt OAE △中，
6AE ===，
∴点A 坐标为()2,6.∵点A 是反比例函数k
y x
=图象上的点，∴62
k
=
，解得12k =.（2）记AE 与OC 的交点为F.
∵4OB =且BC OB ⊥，点C 的横坐标为4，又∵点C 为反比例函数12
y x
=
图象上的点，∴点C 的坐标为()43，
，∴3BC =.设直线OC 的表达式y mx =，将()43C ，
代人可得34
m =，∴直线OC 的表达式34
y x =，
∵AE OB ⊥，2OE =，∴点F 的横坐标为2将2x =代入3
4
y x =可得32
y =号，即32
EF =.
∴39622
AF AE EF =-=-=.
∵AE ，BC 都与x 轴垂直，∴AE BC ∥，∴AFD BCD ∠=∠，FAD CBD ∠=∠，∴ADF BDC △∽△，∴
3
2
AD AF DB BC ==.【解析】（1）过点A 作x 轴的垂线AE ，根据已知条件求出OE 的长，再根据勾股
徐老师
定理求出AE 的长，从而求出点A 的坐标，即可求出k 的值；
（2）根据OB 的长得点C 的横坐标，代人反比例函数解析式求出点C 的坐标，从
而求出直线OC 的函数解析式，根据OE 的长得点F 的横坐标，代入直线OC 的解析式，求出EF 的长，从而求出AF 的长，根据平行线判定ADF BDC V V ∽，得对应线段成比例，从而求出
AD
DB
的值.【考点】反比例函数的图象与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
26.【答案】（1）证明：∵D 是»BC
的中点，∴»»CD DB =，∴CAD BAD ∠=∠，∴2CAB BAD ∠=∠.在O e 中，2DOB BAD ∠=∠.∴CAB DOB ∠=∠.∴DO AC ∥.
（2）证明：∵»» C
D OB =，∴CAD BCD ∠=∠.又∵ADC CD
E ∠=∠，∴ACD CED △∽△..∴
DA DC
DC DE
=，∴2
DE DA DC ⋅=（3）解法一：如图1，作CG AD ⊥于点G .
图1
∵AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，∴90ACB ∠=︒.∵1tan 2CAD ∠=
，∴12
CE AC =，设(0)CE k k =>，则2AC k =，
AE ==.
∵ACD CED △∽△，∴
1
2
CD ED CE AD CD AC ===.设(0)DE x x =>，则2,4CD x AD x ==.
∵AD AE DE =+，
∴4x x =+
，得x =.∴25
23
CD x k ==
.∵CG AD ⊥，∴90CGA CGD ︒∠=∠=，则ACE CGA ∠=∠.
又∵CAE AGC ∠=∠，∴ACE AGC △∽△.
∴
CE AE GC AC =，即52k GC k =，∴25
5
GC =.
在Rt CDG △中，25
35sin 5
253
k
CG CDA CD ∠=
=.解法二：如图2，链接BD
.
∵AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，∴90ACB ∠=︒.
∵DO AC ∥，∴90OFB ACB ∠=∠=︒，∴90BFD ∠=︒.
∴CAD CBD ∠=∠（同弧所对的圆周角相等）.∴1tan tan 2
CBD CAD ∠=∠=，∴1
2
DF BF =.设(0)DF k k =>，则2BF k =.
设OB OD r ==，则OF OD DF r k =-=-.在Rt BOF △中，有222OF BF OB +=.即222()(2)r k k r -+=，化简得52
r k =.∴32
OF OD DF r k =-=-=.
∴33
2sin 55
2
k
OF CBA OB k ∠=
==.∵CDA CBA ∠=∠（同弧所对的圆周角相等）.
徐老师
∴3sin sin 5
CDA CBA ∠=∠=
.【解析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，结合圆周角定理得出同位角相等，从而
判定两直线平行；
（2）根据已知角相等和等弧所对的圆周角相等，证明ACD △、CED △，得比例式，
改为乘积式即可；
（3）作CG AD ⊥，根据直径所对的圆周角是直角结合锐角函数的正切值，求出
CE
AC
的值，设CE k =，利用勾股定理表示出AE ，根据相似三角形的性质求出
CD ED
AD CD
=
的值，设DE x =，再由AD AE DE =+，列出方程，从而表示出CD ，再根据两组对应角相等证明ACE AGC V V ∽，将含k 的代数式表示的线段长代入比例式，表示出CG 的长，利用锐角三角函数的定义即可求解；或连接BD ，根据直径所对的圆周角是直角及平行线的性质得90BFD ∠=︒，根据圆周角的性质得CAD CBD ∠=∠，根据已知正切值得器的值，设DF k =，OB OD r ==，根据已知条件表示出其他线段的长度，再利用勾股定理得到r 与k 的关系，即可得到sin CDA ∠.
【考点】圆的性质，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角
三角函数的定义，勾股定理27.【答案】解：（1）2，10.
（2）①∵动点M ，N 相遇后停止运动，
∴动点M 和动点N 运动的距离之和为20(cm)AB BC DC ++=..
又∵动点M ，N 运动速度分别是2(cm /s),(cm /s)v ，且两个动点的运动时间均为(s)x ，∴220x xv +=，∴202v x +=
.∵动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），∴5215x ≤＜，解得5
152
2
x ≤＜，设20y x =
.由反比例函数的图象和性质得：883y ≤，即8283v +＜≤，∴2
63
v ＜≤..答：动点N 运动速度(cm /s)v 的取值范围为2
63
v ＜≤.
②解法一：过点P 作PQ AD ⊥于点Q ，PH BC ⊥于点H .
10,5,AD CD AC ==∴=Q .
,90AP PQ AD ADC
︒=⊥∠=Q ，
//PQ CD ∴，
APQ ACD ∴△∽△，
APQ ACD ∴△∽△，AP PQ AQ AC CD AD ∴==，2,4PQ AQ ∴==，3,6PH DQ ∴==.
∵动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），
1 ABC MPC MAB
S S S S ∆∆∆=--111
1053(152)(25)5222
x x =⨯⨯-⨯⨯---⨯215
x =-+2DCP MCP DCU S S S S ∆∆∆=+-111
563(152)5(152)222
x x =⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯-2x =.
∴12(215)2S S x x
⋅=-+⨯2430x x
=-+2
15225444x ⎛
⎫=--+
⎪⎝
⎭∵51515242
，∴当154x =时，12S S ⋅取得最大值，最大值为
225
4.答：当154x =时，12S S ⋅取得最大值，最大值为225
4
.
图1图2图3
解法二：过点P 作PQ AD ⊥于点Q ，PH BC ⊥于点H .
∵10AD =，5CD =，∴AC =..
∵AP =PQ AD ⊥，90ADC ∠=︒，∴PQ CD ∥，∴APQ ACD △∽△，∴
AP PQ
AC CD
=
，∴2PQ =.
徐老师
第21页
∵动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），
∴12MAD APD S S S S ∆∆+=-111051021522
=⨯⨯-⨯⨯=，∴2115S S =-.∴()212111152251524S S S S S ⎛⎫⋅=-=--+ ⎪⎝⎭
.∴当1152S =时，12S S ⋅取得最大值，最大值为2254
.∵1 ABC MPC MAB S S S S ∆∆∆=--1111053(152)(25)5222
x x =⨯⨯-⨯⨯---⨯215x =-+∴当1152S =
时，12S S ⋅取得最大值，最大值为2254.答：当154x =时，12S S ⋅有得最大值，最大值为2254.【解析】（1）根据函数图象可求出动点M 的运动速度和BC 的长；
（2）①根据动点M ，N 相遇后停止运动可求出两点运动的距离之和，从而列出方
程，求出v 与x 的关系式，再求出x 的取值范围，根据反比例函数的图象与性质可求出v 的取值范围；②作垂线，根据勾股定理求出AC 的长，利用平行线判定APQ ACD △∽△，根据比例式求出相关线段的长，从而求两个三角形的面积与x 的函数关系式，根据两个三角形的面积之积列出二次函数关系式，配方后，根据顶点坐标得x 的值和函数的最大值；或作垂线，根据勾股定理求出AC 的长，利用平行线判定APQ ACD △∽△，根据比例式求出PO 的长，从而求出两个三角形的面积之和，用其中一个三角形的面积代换另一个三角形的面积，根据两个三角形面积之积列出二次函数关系式，配方后，根据顶点坐标得其中一个三角形的面积和函数最大值，再利用其中一个三角形的面积与x 的函数关系式求得x 的值.
【考点】矩形的性质，反比例函数与二次函数的图象与性质，勾股定理，平行线的
判定，相似三角形的判定与性质
28.【答案】（1）∵抛物线2(1)y x a x a =-++-.
∴令0y =，解得1x =或x a =，
∵点A 位于点B 的左侧，
∴点A 的坐标为(,0)(0)a a <，B 的坐标为(1,0)
令0x =，解得y a =-，
第22页∴点C 的坐标为(0,)a -.
∴1AB a =-，∴1(1)()62
ABC S a a =-⨯-=V ，
即2120a a --=.
解得3a =-或4a =.
∵0a ＜，∴3a =-.
（2）∵3a =-，∴(3,0),(0,3)A C -，
∴3AO OC ==，又90AOC ∠=︒，
∴45OAC OCA ∠=∠=︒，
∴线段AC 的垂直平分线与AOC ∠的角平分线所在的直线y x =-重合.
∵45OAC OCA ∠=∠=︒
∵(3,0),(1,0)A B -，
∴线段AB 的垂直平分线是过点10-(，
)且平行于y 轴的直线.ABC △外接圆圆心在线段AB 的垂直平分线上，又在线段AC 的垂直平分线上.
∴ABC V 外接圆圆心的坐标为11-(，).（3）过点A 作AE PB ⊥于点E ，过点Q 作QF PB ⊥于点F ，记PA 与BQ 的交点为G ，
延长PQ 与x 轴交于点H
.
∵4AB =，点P 到x 轴的距离为d ，∴122APB S AB d d =⨯⨯=V .
∵2QPB S d =V ，∴APB QPB S S =V V ，∴1122
PB AE PB QF ⨯⨯=⨯⨯，
∴AE OF =，∴,AE PB QF PB ⊥⊥，
∴四边形AEFQ 为矩形，∴AQ BP ∥.
∵PAQ AQB ∠=∠，∴GQ GA =.
∵AQ BP ∥，∴,PAQ APB AQB QBP ∠=∠∠=∠，
∴GB GR =，∴GB GQ GP GA +=+，即PA BQ =.
徐老师
第23页在APB △与QBP △中，,,,PA BQ APB QBP PB BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴APB QBP V V ≌.
∵45CAO ︒∠=，且AQ BP ∥，
∴45ABP CAO ︒∠=∠=.
又∵APB QBP V V ≌，
∴45QPB ABP ︒∠=∠=，∴90PHB ∠=︒，
∴点P 在抛物线223y x x =--+上，
设点P 的坐标为()2,23t t t --+，
∴点H 的横坐标也为t ，
∵BH PH =，∴()2123t t t -=---+，
解得4t =-或1t =（舍去）.
∴点P 的横坐标为4-，∴点Q 的横坐标也为4-.
∵直线AC 经过点(3,0),(0,3)A C -，
∴利用待定系数法可得直线AC 的表达式为3y x =+.
∵点Q 在AC 上，∴点Q 的坐标为(4,1)--.
【解析】（1）根据抛物线的解析式，求出点B 的坐标并用含a 的代数式表示出点A
和C 的坐标，从而表示出线段的长，利用三角形的面积列方程求出a 的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据a 的值求出点A ，C 的坐标，得OA OC =，再证得等腰直角三角形，从而
判定两线重合，再根据线段AB 的垂直平分线求得今ABC 外接圆圆心的坐标；
（3）作垂线，表示出APB △的面积，结合QPB △的面积，得AE QF =，可证四边形
AERQ 是矩形，再根据等角对等边证得GQ GA =，利用平行线的性质进行代换，证明PA BQ =，从而证明APB QBP V V ≌，求出QPB ABP ∠=∠，从而判定P ，Q ，H 三点的横坐标相等，根据抛物线解析式设定点P 的坐标，根据BH PH =列方程，求出方程的解，从而求出点Q 的横坐标，根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而求出点Q 的坐标.
【考点】二次函数的图象与性质，三角形的面积公式，角平分线和线段的垂直平分
线的性质，三角形的外接圆，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程。