2_8向量组的正交化

(a3, b1) (b1, b1)
b1
(a 3 , (b2,
b2 ) b2 )
b2
a3
(a 3 , (b1,
b1 ) b1 )
a1
(a3 (b2
, ,
b2 b2
) )
[a 2
(a2 , (b1,
b1 ) b1 )
a1 ]
bm
am
(am , b1) (b1, b1)
a1
(am , b2 ) (b2, b2)
另外：①很明显，向量组a1,a2,,am可由向量组b1,b2,,bm线性
表示.
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②向量组b1,b2,,bm也可由向量组a1,a2,,am线性表示，因为：
b1 a1 b2 a2
(a 2 (b1
, ,
b1 ) b1 )
b1
a2
(a2 , (b1,
b1 ) b1 )
a1
b3
a3
= (a1 , k2a2)+ + (a1 , kmam) =k2 (a1 , a2)+ + km (a1 , am)=0 这与(a1 , a1)≠0矛盾，所以a1，a2，，am线性无关.
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施密特正交化方法
定理2 对于线性无关的向量组a1,a2,,am，令
b1 a1
b2
（b
3
，b
2b
）
2
1
1
2
2
(2, 0, 6, 8)T 12 (1, 1, 1, 1)T 32 (2, 2,2,2)T
4
16
(1, 1, 1, 1)T
此时 b1, b2, b3 为正交组.
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(2)再将正交化后的向量组标准化，即令
b 1
1（1,1,1,1）T
1 || b 1|| 2
线性无关，试将它们正交化、标准化.
解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令
b1a1(1, 1, 1, 1)T
b2 a2 （（ab12，，bb11））b1
(3, 3, 1, 1)T 4 (1, 1, 1, 1)T (2, 2, 2, 2)T
4
（a ，b ） （a ，b ）
b 3
a 3
3 1b （b ，b ） 1
b 2
1（1,1,-1,-1）T
2 || b2 || 2
b 3
1（-1,1,-1,1）T
3 || b3 || 2
此时 1,2,3 即为所求标准正交组.
说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化.
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作业：
P84页 20（2）
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2.8 向量组的正交化
定理1 正交向量组是线性无关的向量组.
证明: (反证)
设a1，a2，，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向 量线性表示，不妨设a1可由a2，，am线性表示，即有一组数
k2，，km，使
a1＝k2a2+ +kmam ，于是 (a1 , a1)= (a1 , k2a2+ +b1) (b1, b1)
b1
b3
a3
(a3, b1) (b1, b1)
b1
(a3, b2 ) (b2, b2)
b2
bm
am
(am , b1) (b1, b1)
b1
(am , b2 ) (b2, b2)
b2
(am , bm1) (bm1, bm1)
b m 1
则向量组b1,b2,,bm是正交向量组.
[a 2
(a2 , b1) (b1, b1)
a1]
由此可知，若向量组a1,a2,,am为AX=o的一个基础解系，则向
量组b1,b2,,bm也为AX=o的一个基础解系.
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例1．已知向量组a1(1,1,1,1)T, a2(3,3,-1,-1)T, a3(-2, 0, 6, 8)T,